2.3.2离散型随机变量的方差(不错的课件)20110321.ppt

1 2 3 2离散性随机变量的方差 普宁华侨中学数学组林文城 2 温故而知新 1 离散型随机变量X的均值 数学期望 2 均值的性质 3 两种特殊分布的均值 1 若随机变量X服从两点分布 则 2 若 则 反映了离散型随机变量取值的平均水平 3 复习 4 如果其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 已知甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数x1 x2的分布列如下 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 显然两名选手的水平是不同的 这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性 探究 5 方差定义 一组数据的方差 在一组数 x1 x2 xn中 各数据的平均数为 则这组数据的方差为 类似于这个概念 我们可以定义随机变量的方差 新课 6 离散型随机变量取值的方差和标准差 定义 7 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量 它们的值越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 即越集中于均值 记忆方法 三个x 练习一下 8 1 已知随机变量x的分布列 求Dx和 x 解 2 若随机变量x满足P x c 1 其中c为常数 求Ex和Dx Ex c 1 c Dx c c 2 1 0 练习 9 练习一下 结论1 则 结论2 若 B n p 则E np 可以证明 对于方差有下面两个重要性质 则 结论 10 1 已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为 A 0 6和0 7 B 1 7和0 3 C 0 3和0 7 D 1 7和0 212 已知x B 100 0 5 则Ex Dx sx E 2x 1 D 2x 1 s 2x 1 D 50 25 5 99 100 10 3 有一批数量很大的商品 其中次品占1 现从中任意地连续取出200件商品 设其次品数为X 求EX和DX 2 1 98 练习 11 再看一例 例2 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 已知甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数x1 x2的分布列如下 如果对手在8环左右 派甲 如果对手在9环左右 派乙 思考 12 例题 甲乙两人每天产量相同 它们的次品个数分别为 其分布列为 判断甲乙两人生产水平的高低 解答 例题 13 E 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 E 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 D 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 结论 甲乙两人次品个数的平均值相等 但甲的稳定性不如乙 乙的生产水平高 期望值高 平均值大 水平高方差值小 稳定性高 水平高 14 例2 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 解 在两个单位工资的数学期望相等的情况下 如果认为自己能力很强 应选择工资方差大的单位 即乙单位 如果认为自己能力不强 就应选择工资方差小的单位 即甲单位 例题 15 课本第68页习题2 3A组第1 5题 课后作业 16 2 若 则 再回顾 两个特殊分布的方差 1 若X服从两点分布 则 2 若 则 两种特殊分布的均值 1 若X服从两点分布 则 17 方差的性质 平移变化不改变方差 但是伸缩变化改变方差 均值的性质 推论 常数的方差为 0 18 机动练习 117 10 0 8 19 3 若随机变量 服从二项分布 且E 6 D 4 则此二项分布是 设二项分布为 B n p 则 20 4 有场赌博 规则如下 如掷一个骰子 出现1 你赢8元 出现2或3或4 你输3元 出现5或6 不输不赢 这场赌博对你是否有利 对你不利 劝君莫参加赌博 21 5 随机变量X的分布列如下 其中a b c成等差数列 若E X 则D X 的值是 22 解析 a b c 1 又 2b a c 故b 由E X 故a D X 答案 23 对随机变量X的均值 期望 的理解 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义上的平均 2 E X 是一个实数 由X的分布列唯一确定 也就是说随机变量X可以取不同的值 而E X 是不变的 它描述的是X取值的平均状态 3 E X 的公式直接给出了E X 的求法 24 2010 衡阳模拟 一厂家向用户提供的一箱产品共10件 其中有n件次品 用户先对产品进行抽检以决定是否接收 抽检规则是这样的 一次取一件产品检查 取出的产品不放回箱子 若前三次没有抽查到次品 则用户接收这箱产品 若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检 并且用户拒绝接收这箱产品 1 若这箱产品被用户接收的概率是 求n的值 2 在 1 的条件下 记抽检的产品件数为X 求X的分布列和数学期望 25 1 利用古典概型易求 2 X的取值为1 2 3 求出分布列代入期望公式 26 解 1 设 这箱产品被用户接收 为事件A n 2 2 X的可能取值为1 2 3 P A P X 1 P X 2 P X 3 27 X的概率分布列为 28 1 2010 河南六市联考 甲 乙 丙 丁四人参加一家公司的招聘面试 公司规定面试合格者可签约 甲 乙面试合格就签约 丙 丁面试都合格则一同签约 否则两人都不签约 设每人面试合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 至少有三人面试合格的概率 2 恰有两人签约的概率 3 签约人数的数学期望 29 解 1 设 至少有3人面试合格 为事件A 则P A 2 设 恰有2人签约 为事件B 甲 乙两人签约 丙 丁两人都不签约 为事件B1 甲 乙两人都不签约 丙 丁两人签约 为事件B2 则 B B1 B2P B P B1 P B2 30 3 设X为签约人数 X的分布列如下 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 31 32 2010 贵阳模拟 有甲 乙两个建材厂 都想投标参加某重点建设 为了对重点建设负责 政府到两建材厂抽样检查 他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标 其分布列如下 33 举一反三1 某有奖竞猜活动设有A B两组相互独立的问题 答对问题A可赢得奖金3万元 答对问题B可赢得奖金6万元 规定答题顺序可任选 但只有一个问题答对后才能解答下一个问题 否则中止答题 假设你答对问题A B的概率依次为 若你按先A后B的次序答题 写出你获得奖金的数额 的分布列及期望值E 解析 若按先A后B的次序答题 获得奖金数额 的可取值为0 3 万元 9 万元 P 0 P 3 P 9 的分布列为 34 题型二求随机变量的方差 例2 编号1 2 3的三位学生随意入座编号1 2 3的三个座位 每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生人数是X 1 求随机变量X的概率分布列 2 求随机变量X的期望与方差 的数学期望为E 35 分析 1 随机变量X的意义是对号入座的学生个数 所有取值为0 1 3 若有两人对号入座 则第三人必对号入座 由排列与等可能事件概率易求分布列 2 直接利用数学期望与方差公式求解 解 1 P X 0 P X 1 P X 3 故X的概率分布列为 2 E X D X 36 举一反三2 设在15个同类型的零件中有2个次品 每次任取1个 共取3次 并且每次取出后不再放回 若用X表示取出次品的个数 1 求X的分布列 2 求X的均值E X 和方差D X 学后反思求离散型随机变量X的方差的步骤 1 写出X的所有取值 2 计算P X xi 3 写出分布列 并求出期望E X 4 由方差的定义求出D X 37 解析 1 P X 0 P X 1 P X 2 故X的分布列为 2 X的均值E X 和方差D X 分别为E X D X 38 题型四期望与方差的综合应用 例4 14分 2008 广东 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而生产1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 39 分析求 的分布列时 要先求 取各值时的概率 解 1 的所有可能取值有6 2 1 2 1 P 6 0 63 2 P 2 0 25 3 P 1 0 1 4 P 2 5 故 的分布列为 7 40 2 E 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 9 3 设技术革新后的三等品率为x 则此