高二数学选修1 最大值与最小值1 课件.ppt

一 复习引入 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到 3 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 3 3 3最大值与最小值 洪泽外国语中学程怀宏 二 新课 最大值与最小值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 你能找出函数y f x 在区间 a b 上的最大值 最小值吗 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 一 是利用函数性质二 是利用不等式三 今天学习利用导数 求函数最值的一般方法 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 f x 在闭区间 a b 上的最值 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 表格法 如果在区间 a b 上的函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 例1 求函数f x x2 4x 3在区间 1 4 内的最大值和最小值 法一 将二次函数f x x2 4x 3配方 利用二次函数单调性处理 例1求函数f x x2 4x 3在区间 1 4 内的最值 故函数f x 在区间 1 4 内的最大值为8 最小值为 1 解法二 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 8 3 1 一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则一定是极大值 或极小值 4 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则在确定函数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 5 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值进行比较 练习p771 2 解 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是 最小值是0 令 解得 0 0 0 练习1 求函数f x 2x3 3x2 12x 14在区间 3 4 上的最大值和最小值 答案 最大值为f 4 142 最小值为f 1 7 延伸1 设 函数的最大值为1 最小值为 求常数a b 解 令得x 0或a 当x变化时 f x 的变化情况如下表 由表知 当x 0时 f x 取得极大值b 而f 0 f a f 0 f 1 f 1 f 1 故需比较f 1 与f 0 的大小 f 0 f 1 3a 2 1 0 所以f x 的最大值为f 0 b 故b 1 又f 1 f a a 1 2 a 2 2 0 所以f x 的最小值为f 1 1 3a 2 b 3a 2 所以 延伸2 设p 1 0 x 1 求函数f x xp 1 x p的值域 说明 由于f x 在 0 1 上连续可导 必有最大值与最小值 因此求函数f x 的值域 可转化为求最值 解 令 则得xp 1 1 x p 1 即x 1 x x 1 2 而f 0 f 1 1 因为p 1 故1 1 2p 1 所以f x 的最小值为 最大值为1 从而函数f x 的值域为 练习2 求函数f x p2x2 1 x p p是正数 在 0 1 上的最大值 解 令 解得 在 0 1 上 有f 0 0 f 1 0 故所求最大值是 练习1 求函数f x 2x3