高二数学导数课件集合及练习实用精华选修2导数的应用2函数极值.ppt

导数的应用 函数的极值 一般函数y f x 在a b d e f g h i等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 a b c d e f o g h i j x y y f x y f x 一 函数极值的定义 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 1 如果在x x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大 即f x f x0 则称f x0 是函数y f x 的一个极大值 记作 y极大值 f x0 函数极值的定义 2 如果在x x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小 即f x f x0 则称f x0 是函数y f x 的一个极小值 记作 y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 x0叫做函数的极值点 说明 1 极大值与极小值统称为极值 2 极值点是自变量 极值是函数值 3 极值点是区间内部的点而不会是端点 4 某区间上的单调的函数没有极值 有极值就不单调 5 极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值不一定比极大值小 7 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般地 当函数f x 在某区间上可导且有有限极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 6 函数的极大值 极小值未必是函数的最大值 最小值 t h a o 单调递增h t 0 单调递减h t 0 二 极值点左右的导数符号变化情况 h t 0 函数y f x 在极值点的导数值为多少 在极值点左右附近的导数符号有什么规律 结论 1 如果f x0 0 并且在x0附近的左侧f x0 0右侧f x0 0 那么f x0 是极大值 2 如果f x0 0 并且在x0附近的左侧f x0 0 那么f x0 是极小值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 练习 书p29练习1 p32习题4类似 智力报 p61 3 2及时练3 智力报 p37考题回放1 左右导数异号 三 用导数法求解函数极值的步骤 表格法 3 检查f x 在方程f x 0的根的左右的符号 并根据符号确定极大值与极小值 4 结论 1 求导函数f x 及定义域 2 求解方程f x 0 注意 表格要体现定义域 例1 书p28例题4 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而 当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 0 0 极大值 极小值 练习 书p292 作业 1 书p325 4 3 求函数的极值 2 例题2 解 当x变化时 y的变化情况如下表 而 当x 时有极小值 并且 y极小值 令 解得 r 不存在 开区间极值唯一 则该极值则为最值 0 0 例题3 解 x1 1 x2 0 x3 1 当x变化时 y的变化情况如下表 0 0 0 因此 当x 时有极大值 并且 y极大值 而 当x 时有极小值 并且 y极小值 令 解得 1 1 2 2 四 0导数点与极值点的关系 r 结论 可导函数的极值点 导数为0 不可导点也可能是极值点 主要按定义判断 即左右导数异号 拓展 答案见下页 1 2 知识拓展 五 极值应用 例题4 智力报 p8上文例题1 1 利用极值判断或讨论方程根的个数 方法 1 求导 2 表格法 确定单调区间和极值 3 画草图 4 判断 练习 智力报 p37b2 2 已知极值求参数 五 极值应用 例题5 2 答案见下页 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1为极大值点而 当x 1时为极小值点 0 0 极大值点 极小值点 2 解 由 1 令 得到 2 已知极值求参数 五 极值应用 解 由题意 于是 故5a 3b 1 应有根 转下页 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 若a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 练习 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 答案见下页 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 作业 1 智力报 p37b7 答案见下页 例3 已知 1 证明 f x 恰有一个极大值点和一个极小值点 2 当f x 的极大值为1 极小值为 1时 求a b的值 解 1 令 得 ax2 2bx a 0 4b2 4a2 0 故有不相等的两实根 设 又设g x ax2 2bx a 由于 a 0 g x 的图象开口向下 g x 的值在 的右正左负 在 的左正右负 注意到与g x 的符号相同 可知 为极小值点 为极大值点 2 由f 1和f 1