2.4随机变量函数的分布.ppt

2 4随机变量函数的分布 一 离散型随机变量函数的分布二 连续型随机变量函数的分布 讨论如何根据已知的随机变量X的分布 去求它的函数Y g X 的分布 一 离散型随机变量函数的分布 求 1 Y 3X 2的分布律 2 Y X 1 2的分布律 例1设离散型随机变量X的分布律为 解 1 X分别取值 1 0 1 2时 Y相应的取值互不相同 1 2 5 8 故 P Y 1 P Y 2 P X 0 0 3 P Y 5 P X 1 0 1 P Y 8 P X 2 0 4 即Y的分布律为 P X 1 0 2 2 Y的所有取值 0 1 4 P Y 0 P X 1 0 1 P Y 1 P X 0 P X 2 0 3 0 4 0 7 P Y 4 P X 1 0 2 即Y的分布律为 一般 设离散型随机变量X的分布律为 P X xk pk k 1 2 令Y g X 是一元单值实函数 则Y也是一个离散型随机变量 由分布函数的定义 先求Y g X 的分布函数 FY y P Y y P g X y 二 连续型随机变量函数的分布 求Y g X 的概率密度的一般方法 分布函数求导法 然后求上式对y的导数 得Y的概率密度 fY y FY y 例2设X N 0 1 试求Y eX的概率密度 解 1 y 0 2 y 0 FY y P Y y P eX y FY y P 0 fY y F Y y 0 FY y P X lny 即 本例用到变限的定积分的求导公式 例3设X为连续型随机变量 其概率密度为fX x 试求X的线性函数Y aX b a 0 的概率密度 解 1 a 0 令 得 FY y P Y y P aX b y 2 a 0 令 得 即 对于上例 y g x ax b 其反函数 则 式可写成如下形式 fY y fX h y h y 例2也可写成上述形式 注意到y g x ax b与y ex都是单调函数 连续型随机变量X的概率密度为fX x x 若y g x 为严格单调函数 其反函数x h y 连续可导 Y g X 的概率密度为 定理 其中 min g g max g g 其反函数为x h y lny在 0 内可导 当fX x 在有限区间 a b 之外取值为零时 只需假设在 a b 上g x 严格单调 反函数在相应区间可导 则上述定理同样成立 此时 min g a g b max g a g b 另解例2 y g x ex严格单调增 则 即 例4设X N 0 1 求Y X2的概率密度 解 y x2在 内不是单调函数 1 y 0 2 y 0 FY y P Y y P X2 y FY y P X2 y 0 fY y 0 即 另解 y x2在 0 上严格单调减在 0 上严格单调增 反函数 反函数 0 0 x 0 x 0 得 fY y 补充定理 若g x 在不相叠的区间I1 I2 上逐段严格单调 其反函数分别为h1 y h2 y 均为连续函数 那么Y g X 是连续型随机变量 其概率密度为 fY y fX h1 y h1 y fX h2 y h2 y 小结 1 引进了随机变量的概念 要会用随机变量表示随机事件 2 给出了分布函数的定义及性质 要会利用分布函数求事件的概率 3 给出了离散型随机变量及其分布律的定义 性质 要会求离散型随机变量的分布律及分布函数 掌握常用的离散型随机变量分布 两点分布 二项分布 泊松分布 4 给出了连续型随机变量及概率密度的