2.5 一元二次方程根与系数的关系.doc

2.5一元二次方程的根与系数的关系教学设计城固县沙河营初中 向彦明教材分析1.一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，课标要求通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。2.韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，本节课虽然为选学内容，但通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。学情分析1学生已学习用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些较复杂一点的一元二次方程化为一元二次方程的一般形式的时候，要么常在去括号、移项或者合并同类项的时候出问题，要么就在解方程过程中不能正确代入各项系数；或者就在最后不会把计算结果化成最简单的形式；2本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；3在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学策略在电子白板环境下，以学生为中心，在教师的引导下，以学生为主体，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动途径，探究学习一元二次方程根与系数的关系。发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。教学过程：来源:学&科&网一、温故知新（课件1）1一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？二、创设情境（课件2）1.填表、观察、猜想 方程 X1, X2 X1+X2X1X2x2-2x+1=0 1, 1x2+3x-10=02, -5x2+5x +4=0-1, -4问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根 X1，X2用式子表示你发现的规律。 三、探究归纳（课件3）1.由以上填表、观察、猜想，可以得到根与系数的关系；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，如果关于x的方程x2pxq0（p，q为已知常数，p24q0），的两个根为x1、x2，则2、如果二次项的系数不为1呢？（课件4）填表、观察、猜想方 程X1, X2X1+X2X1X22x2-3x-2=02， 3x2-4x+1=0, 1问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律：3.小结：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0，b2-4ac0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+X2= , X1X2= 4. 一元二次方程根与系数关系的推导：（课件7）这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.四、实践应用1.根与系数的关系的直接应用（1）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（课件9）1)x2-3x+1=0 2)3x2-2x=2 3)2x2-3x=0 4)4x2=1+2x（2）口答（课件10）1） x2 - 2x - 1=0 x1+x2= x1x2=2）2x2 - 3x + =0 x1+x2= x1x2=3）2x2 - 6x =0 x1+x2= x1x2=4）3x2 = 4 x1+x2= x1x2=（3）判断对错，如果错了，说明理由（课件11）1) 2x2-11x+4=0两根之和11，两根之积42) 4x2+3x=5两根之和-，两根之积 3）x2+2=0两根之和0，两根之积24）x2+x+1=0两根之和-1，两根之积12.补充规律（课件12）两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 .3.引申（课件13）若ax2+bx+c=0 (a0 D 0)（1）若两根互为相反数,则b ;（2）若两根互为倒数,则a c;（3）若一根为0,则c ;（4）若一根为1,则a+b+c ;（5）若一根为-1,则a-b+c ;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. 五、典例探究例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1, x2 。 求： （1） (2) x12+ x22变式练习(课件15)：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）(x2+1)（2）（3）（x1- x2）2例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值变式练习1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1, x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。3、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。六、归纳小结(课件20)1.一元二次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 b2-4ac 0 时，才能应用根与系数的关系.七、作业（课件21）八、教学评价（1）“一元二次方程的根与系数的关系”是初中数学九年级上册第四章内容，但不是课标要求范围的内容，教学要求是“阅读材料”。由于该内容对学生在高中数学学习中的作用非常重要，初中老师一般都要带领学生认真阅读，对一元二次方程的根与系数的关系产生的背景作一些介绍。但向老师考虑到“一元二次方程的根与系数的关系”（韦达定理）是一个很好的数学探究问题，因此，将之定位为定理的探索再发现证明应用，充分展示从问题出发寻找解决问题的途径和对策，定位准确、立意新颖、符合认知规律。（2）通过学习新的教学理念，本设计注重学生主体作用，充分以学生为主体进行教学，调动学生学习积极性，在教学过程中学生作为学习活动的主体出现，教师、教材教学手段都应为学生的“学”服务，教师营造宽松愉悦的课堂氛围，给予适当的激励，引导学生积极参与教学活动，并充当教学活动的主角，教师则是这一活动的组织者和指导者。（3）采用循序渐进的方法达到教学目标。先是解解方程x2-2x+1=0 x2+3x-10=0 x2+5x +4=0观察、思考两根和、两根积与系数的关系思考：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？接着是利用求根公式推导证明出一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a0）两根之和与两根之积与系数的关系，做到由特殊到一般，从而得出最后的结论。最后是通过讲解例题和练习的方式让学生掌握一元二次方程根与系数的关系。（4）本设计跟电子白板有机结合起来，课件制作科学合理，机动灵活，色泽搭配较好，扩大了课堂容量，节约大量的时间用以学生的探索、思考、讨论和应用练习，做到了双边互动，体现了高效课堂，是一个比较科学、合理的教学设计，课堂实践也证明了本节课是一堂令人欣慰的课。教学反思1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2.在教学过程中，基本上达到了教学目的，但是在学生利用一元二次方程根与系数的关系进行一元二次方程两根平方和的计算的时候，出现了一些问题，主要是不会进行配方，对以前所学的完全平方公式没有完全掌握，平时针对这方面的训练也较少，因此今后还要加强这样面的训练，把前后知识有机地结合起来，为学生今后学习方程理论打下基础。3.在以前的教学设计中，我们习惯于教师讲，学生听，学生自主探究的机会较少，我们先把一元二次方程根与系数的关系告诉学生，之后再进行验证，学生的创