人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案(1).doc

【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；那这样的量叫什么呢？（二）自主探究：（预习教材P74-P77）探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有 ，又有 的量叫做向量. 问题1：数量和向量的异同点有哪些？探究二：向量的表示法问题2：向量有几种表示方法？我们常用 来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向. 以为起点，为终点的有向线段记作 ，线段的长度称为模，记作.有向线段包含三个要素： 有向线段也可用字母如， ，表示.探究三：几个特殊的向量零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于 的向量. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量，平行，记作：. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量问题3：如何理解零向量的方向？探究四：相等向量：长度相等且 的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量与相等，记作：.二、合作探究1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：，点在点的正北方向；，点在点南偏东方向.2、教材P75例1学法指导：请将教材上的空白处填好。先用刻度尺量出图上距离，再算出实际距离。 ； 。3、如下图，设是正六边形的中心，分别写出图中与， 相等的向量.变式：（1）与相等的向量有哪些？ （2）与相等吗？与相等吗？三、目标检测（A组必做，B组选做）A组：1、下列说法正确的是（ ）.A向量与向量的长度不等 B两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同 OCDBAC零向量没有方向 D任一向量与零向量平行2、在四边形中，则相等的向量是( ) .A.与 B.与 C.与 D.与3、边长为3的等边的底边上的中线BADCE向量的模为 .4、四边形和都是平行四边形.与向量相等的向量有哪些？若，则向量的模等于多少？B组：1、若，且，则四边形的形状为（ ）. A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形2、下列命题中，说法正确的有 若，则；若，则；若，则或；若，则,是一个平行四边形的四个顶点.3、在正方体中，与平行的向量有哪些？四、课后作业这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？五、课后反思班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.2.1向量的加法运算及其几何意义 【学习目标】1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及几何意义。2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.（二）自主探究：（预习教材P80P84）探究一：向量加法三角形法则和平行四边形法则问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量_叫做与的和，记作_，即=_=_。这个法则就叫做向量求和的三角形法则。2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线_，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。问题2：想想两个法则有没有共同的地方？3、对于零向量与任意向量，我们规定+=_=_.探究二：向量加法的交换律和结合律问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？4、对于任意向量，向量加法的交换律是：_；结合律是：_。二、合作探究1、已知向量、，求作向量. 讨论：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结1：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 与第一个向量的 重合.小结2：当，不共线时， ；当，同向时， ；当，反向时， （或 ）.2、一架飞机向北飞行400km，然后改变方向向东飞行300km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.三、目标检测（A组必做，B组选做）A组：1. 在平行四边形ABCD中，等于（ ）A B C D 2. 下列等式不正确的是（ ）. A. B. C. D.3. 在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点下列结论正确的是()A， BC D4. = ； = .B组：1、在矩形ABCD，则向量的长度等于（ ）A B C12 D62、已知|8，|5，则|的取值范围是 3、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四、课后作业五、课后反思这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题。【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则。（二）自主探究：（预习教材P85P87）探究：向量减法三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？相反向量：与 的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 。问题2：任一向量与其相反向量的和是什么？如果、是互为相反的向量，那么 ， ， .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即是互为相反的向量，那么=_，=_，=_。问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考的作图方法.3、已知，在平面内任取一点O，作，则_=，即可以表示为从向量_的终点指向向量_的终点的向量，如果从向量的终点到的终点作向量，那么所得向量是_。这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.二、合作探究1、阅读并讨论P86例3和例4变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A. B. C. D. 2、在ABC中，是重心，、分别是、的中点，化简下列两式：；. 变式：化简.三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 下列等式中正确的个数是（ ）. ； ； A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在ABC中，则等于（ ）. A. B. C. D.3. 化简的结果等于（ ）. A. B. C. D.4. 在正六边形中，则= .5. 已知、是非零向量，则时，应满足条件 .B组1、化简：=_。2、在ABC中，向量可表示为（ ） A B C D四、课后作业五、课后反思这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标】1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习： 向量减法的几何意义是什么？（二）自主探究：（预习教材P87P90）探究：向量数乘运算与几何意义问题1：已知非零向量，作出：；.通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？ 1、一般地，我们规定_ 是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：（1）=_;（2）当_时，的方向与的方向相同；当_时，的方向与方向相反，当_时，=。问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.2、向量数乘运算律，设为实数。（1）_； （2）_； （3）_；（4）_=_； （5）_；（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_。问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？3、两个向量共线（平行）的等价条件：如果共线，那么_。二、合作探究1、计算：； ； .已知两个两个向量和不共线，求证：、三点共线.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，你能用、表示、吗？ 三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 下列各式中不表示向量的是（ ） A. B. C. D.（，且） 2. 下列向量、共线的有（ ） ； ； ； （不共线） A. B. C. D.3. 中，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，用、分别表示向量.B组1、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为 2、若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.四、课后作业五、课后反思这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量正交分解及坐标表示【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.。 【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.（二）自主探究：（预习教材P93P96）探究：平面向量基本定理问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量，作，则 叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是 。当 时，表示与同向；当 时，表示与反向；当 时，表示与垂直。记作：.在不共线的两个向量中，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_，叫做把向量正交分解。问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得_，这样，平面内的任一向量都可由_唯一确定，我们把有序数对_叫做向量的坐标，记作=_此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示二、合作探究学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。1、已知梯形中，且，、分别是、的中点，设，。试用为基底表示、.2、已知是坐标原点，点在第一象限，求向量的坐标.三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ）与与与与 A. B. C. D.2. 已知向量、不共线，实数、满足，则的值等于（ ） A. B. C. D.3. 若、为平面上三点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D.4.已知是同一平面内两个不共线的向量，且+，+，如果，三点共线，则的值为B组1、已知是的边上的中线，若，则（）（ ）（ ）（ ）（ ）2、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？四、课后作业五、课后反思班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.3.3 平面向量的坐标运算【学习目标】1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：向量是共线的两个向量，则之间的关系可表示为 .向量是同一平面内两个不共线的向量，为这个平面内任一向量，则向量可用表示为 。（二）自主探究：（预习教材P96P97）探究：平面向量的坐标运算问题1：已知，能得出，的坐标吗？ 1、已知：，为一实数=_ _。=_ 。这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于_ _。=_这就是说，实数与向量的积的坐标等于：_。问题2：如图，已知，则怎样用坐标表示向量呢？2、若已知,，则=_=_即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的_。问题3：你能在上图中标出坐标为的点吗？标出点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？ 二、合作探究1、已知，求和.2、已知平行四边形的顶点，试求：（1）顶点的坐标.（2）若与的交点为，试求点的坐标.3、已知ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 若向量与向量相等，则（ ）A. B. C. D.2. 已知，点的坐标为，则的坐标为（ ）A. B. C. D.3. 已知，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 设点，且，求点的坐标。B组1、已知点A(1，5)和向量(2,3)，若3，则点B的坐标为()A(6,9) B(5,4) C(7,14) D(9,24)2、已知圆C：(x3)2(y3)24及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程四、课后作业五、课后反思这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义【学习目标】1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：如右图，如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功 ，其中是与的夹角.（二）自主探究：（预习教材P103P105）探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个_向量，我们把_叫的数量积。（或_）记作_即_其中是的夹角。_叫做向量方向上的_。我们规定：零向量与任意向量的数量积为_。问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设均为非空向量：_当同向时，_当反向时，_ _，特别地， _或_。_ _ _ _.的几何意义：_ _。问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。_；_；_。问题4：我们知道，对任意，恒有， 对任意向量，是否也有下面类似的结论？ ； .二、合作探究1、已知，且与的夹角，求.变式1：若，且，则是多少？变式2：若，且，则是多少？变式3：若，且与的夹角，求。变式4：若，且，求与的夹角。2、在平行四边形中，求.变式：判断下列命题的真假，并说明理由.在中，若，则是锐角三角形；在中，若，则是钝角三角形；为直角三角形，则.三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，当时，为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 3. 已知平面内三个点，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D.4. 已知，且，则向量在向量的方向上的投影为 .5. 已知向量满足，则 .6. 已知，与的夹角为，求：；.B组1. 已知与的夹角为，且，则为（ ） A. B. C. D.2. 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ） A. B. C. D.四、课后作业五、课后反思这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量与的数量积= .2.设、是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ； ； .（二）自主探究：（预习教材P106P108）探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量，怎样用与的坐标表示呢？1.平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 （坐标形式）。这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。问题2：如何求向量的模和两点，间的距离？2.平面内两点间的距离公式（）设则_或_。（）若，则=_（平面内两点间的距离公式）。问题3：如何求的夹角和判断两个向量垂直？3两向量夹角的余弦：设是与的夹角，则_向量垂直的判定：设则_二、合作探究1、已知（1）试判断的形状，并给出证明. （2）若ABDC是矩形，求D点的坐标。2、已知，求与的夹角.变式：已知_.三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D.2. 若，则与夹角的余弦为（ ） A. B. C. D.3. ，则= ，4.已知向量，若，则 。5.已知四点，求证：四边形是直角梯形.B组1. 已知，且，求：（1）； （2）、的夹角.2. 已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说明理由；若能，求点坐标.四、课后作业五、课后反思这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.5.1平面几何中的向量方法【学习目标】1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系.【学习过程】一、自主学习（预习教材P109P111）问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 结论： 问题2：平行四边形中，点、分别是、边的中点，、分别与交于、两点，你能发现、之间的关系吗？结论： 问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ ； ； 。二、合作探究1、在中，若，判断的形状.2、设是四边形，若，证明： 三、目标检测（A组必做，B组选做）A组1. 在中，若，则为（ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 2. 已知在中，,为边上的高，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则ABC的形状为 .4. 求通过点，且平行于向量的直线方程.5. 已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.B组1. 已知直线axbyc0与圆O：x2y24相交于A、B两点，且|AB|2，则_.2. (2010江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，B(2,3)， C(2,1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值四、课后作业这节课我学到了什么？还有哪些地方我还没弄懂？五、课后反思班级： 组别： 组号：_ 姓名： 2.5.2向量在物理中的应用举例【学习目标】