人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案(1).doc

基本不等式中不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳1基本不等式基本不等式的使用条件： 一正：a0，b0，即：所求最值的各项必须都是正值； 二定：ab或ab为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； 三相等：当且仅当ab时取等号；即：等号能否取得在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误2由公式a2b22ab和可以引申出的常用结论(1)2(a，b同号)；(2)2(a，b异号)；(3)(a0，b0) 3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x0，y0，且xyP(定值)那么当xy时，xy有最小值2(简记：“积定和最小”)(2)如果x0，y0，且xyS(定值)那么当xy时，xy有最大值(简记：“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：非零的各数(或式)均为正；和或积为定值；等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可解答技巧一：直接应用【母题一】若x0，y0，且xy18，则xy的最大值是_【解析】由于x0，y0，则xy2，所以xy281，当且仅当xy9时，xy取到最大值81【答案】81【变式】1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有 ()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4【解析】x0，f(x)2224，当且仅当x，即x1时取等号【答案】C2已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为 ()A BC D【解析】0x1，1x0x(33x)3x(1x)32当x1x，即x时取等号【答案】B 3(2014成都诊断)已知定义在(0，)上的函数f(x)3x，若f(ab)9，则f(ab)的最大值为_【解析】3ab9，ab22，得ab1，f(ab)3ab3【答案】34已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是_【解析】依题意得a，b同号，于是有|a2b|a|2b|22220，当且仅当|a|2b|10时取等号，因此|a2b|的最小值是20【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小解答技巧二：拆项【母题二】已知t0，则函数y的最小值为_【解析】t0，yt4242，且在t1时取等号【答案】2解答技巧三：凑项【母题三】若x2，则函数yx的最小值为_【解析】x2，y(x2)2224，当且仅当x3时取等号【答案】4解答技巧四：凑系数【母题四】若0x，则函数yx(83x)的最大值为_【解析】x2，y(3x)(83x)2，当且仅当x时取等号【答案】【变式】1函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2【解析】x1，x10yx122222当且仅当x1，即x1时，取等号【答案】A2当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的最大值为_【解析】x1，x10又xx11213，当且仅当x2时等号成立则a3，所以a的最大值为3【答案】33(2014潍坊一模)已知ab0，ab1，则的最小值为_【解析】(ab)2当且仅当ab时，取等号【答案】24已知函数f(x)(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围【解】(1)f(x)kkx22x6k0由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2由根与系数的关系可知(2)(3)，即k(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知a0，b0，ab1，则的最小值为_【解析】a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立【答案】4【变式】1本例的条件不变，则的最小值为_【解析】52549当且仅当ab时，取等号【答案】92本例的条件和结论互换即：已知a0，b0，4，则ab的最小值为_【解析】由4，得1ab(ab)21当且仅当ab时取等号【答案】13若本例条件变为：已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_【解析】由a2b3得ab1，2当且仅当a2b时，取等号【答案】4本例的条件变为：已知a0，b0，c0，且abc1，则的最小值为_【解析】a0，b0，c0，且abc1，3332229当且仅当abc时，取等号【答案】95若本例变为：已知各项为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an，使得2a1，则的最小值为_【解析】设公比为q(q0)，由a7a62a5a5q2a5q2a5q2q20(q0)q22a1a12m1a12n18a2m12n18mn23mn5，则(mn)(52)，当且仅当n2m时等号成立【答案】6(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A BC5 D6【解析】x0，y0，由x3y5xy得13x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)【答案】C7已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()A2 B4C6 D8【解析】(xy)1a1a2，当1a29时不等式恒成立，故13，a4【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab； (a，b0)逆用就是ab2 (a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等思考方式还能以保留“和(ab)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向【母题六】若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_【解析】由x0，y0，2xy6xy，得xy26(当且仅当2xy时，等号成立)，即()2260，(3)()0 又0，3，即xy18xy的最小值为18【答案】18【变式】1已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C D【解析】依题意，得2xy(x2y)82，当且仅当即时等号成立(x2y)24(x2y)320，解得x2y4或x2y8(舍去)，x2y的最小值是4【答案】B2若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小值是()AB CD【解析】对于x23xy10可得y(x)，xy2(当且仅当，即x时等号成立)【答案】B3若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_【解析】x2y2xy1(xy)2xy1(xy)21xy()2，解得xy 【答案】类型四、基本不等式的应用1某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处【解析】设x为仓库与车站距离，由已知y1，y20.8x费用之和yy1y20.8x28，当且仅当08x，即x5时等号成立【答案】52规定记号“”表示一种运算，即abab(a，b为正实数)若1k3，则k的值为_，此时函数f(x)的最小值为_【解析】1k1k3，即k20，1或2(舍)，k1f(x)1123，当且仅当，即x1时等号成立【答案】1；33设(1，2)，(a，1)，(b，0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4 BC8 D9【解析】(a1,1)，(b1,2)若A，B，C三点共线，则有，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)5529，当且仅当即ab时等号成立【答案】D4设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0B1CD3【解析】由已知得zx23xy4y2(*)，则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211【答案】B5已知x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】要使(xy)2a(xy)10恒成立，则有(xy)21a(xy)，即a(xy)恒成立由xy3xy，得xy3xy2，即(xy)24(xy)120，解得xy6或xy2(舍去)设txy，则t6，(xy)t设f(t)t，则在t6时，f(t)单调递增，所以f(t)t的最小值为6，所以a，即实数a的取值范围是【答案】【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数yx(m0)的单调性1小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBvCvDv【解析】设甲、乙两地之间的距离为sab，v又vaa0，va【答案】A2函数y的最小值是()A2 B2C3 D5【解析】y(x21)1213，当且仅当(x21)，即x0时，取等号【答案】C3(2011湖南)设x，yR，且xy0，则的最小值为_【解析】54x2y2529，当且仅当x2y2时，等号成立【答案】94(2014贵阳适应性监测)已知向量m(2,1)，n(1b，a)(a0，b0)若mn，则ab的最大值为_【解析】依题意得2a1b，即2ab1(a0，b0)，因此12ab2，即ab，当且仅当2ab时取等号，因此ab的最大值是【答案】5已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值【解】(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立xy的最小值为64(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为181(2012福建)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0) Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR) D1(xR)【解析】当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；当x0时，有1，故选项D不正确【答案】C2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()AB4CD5【解析】依题意，得(ab)5()(52)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是【答案】C3若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()ABC2D【解析】由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2【答案】C4已知ab0，则a2的最小值是_【解析】ab0，b(ab)2，当且仅当a2b时等号成立a2a2a2216，当且仅当a2时等号成立当a2，b时，a2取得最小值16【答案】165某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元(2)不获利设该单位每月获利为S元，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为x400,600，所以S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损1函数y(x1)的最小值是()A9 B2C10 D2【解析】x1，x10y(x1)5259当且仅当x1，即x1时，取等号【答案】A2(2015金华十校模拟)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3B4C5D6【解析】由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44【答案】B3(2015西安模拟)设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2BC1D【解析】由axby3，得xloga3，ylogb3，则又a1，b1，所以ab()23，所以lg ablg 3，从而1，当且仅当ab时等号成立【答案】C4已知x0，y0，且2xy1，则的最小值是_【解析】(2xy)4428，当且仅当y，x时，等号成立【答案】C5已知x0，y0，且2x5y20(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值【解】(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y22x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10ulg xlg ylg(xy)lg 101当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为1已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C D【解析】依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，即x2y4当且仅当即时等号成立 x2y的最小值是4【答案】B2若a，b均为大于1的正数，且ab100，则lg alg b的最大值是()A0 B1C2 D【解析】a1，b1，lg a0，lg b0lg alg b1当且仅当ab10时取等号【答案】B3已知不等式0的解集为x|axb，点A(a，b)在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为()A4B8 C9D12【解析】易知不等式0的解集为(2，1)，所以a2，b1,2mn1，(2mn)()5549(当且仅当mn时取等号)，所以的最小值为9【答案】C4(2014成都诊断)函数f(x)lg，若f(a)f(b)0，则的最小值为_【解析】依题意得0a2，0b2，且lg0，即ab(2a)(2b)，1，(42)2，当且仅当，即a3，b1时取等号，因此的最小值是2【答案】25(2014泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大