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3 3 1函数的单调性 复习引入 1 一般地 对于给定区间D上的函数f x 若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 有 问题1 函数单调性的定义怎样描述的 1 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是增函数 2 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 2 作差f x1 f x2 作商 2 用定义证明函数的单调性的一般步骤 1 任取x1 x2 D 且x1 x2 4 定号 判断差f x1 f x2 的正负 与 比较 3 变形 因式分解 配方 通分 提取公因式 5 结论 练习 讨论函数y x2 4x 3的单调性 定义法 单增区间 单减区间 图象法 思考 那么如何求出下列函数的单调性呢 1 f x 2x3 6x2 7 2 f x ex x 1 3 f x sinx x 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如 2x3 6x2 7 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过函数的y x2 4x 3图象来考察单调性与导数有什么关系 2 再观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 x y O x y O x y O x y O y x y x2 y x3 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 结论 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 结论 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如果f x 0 则f x 为增函数 则f x 为减函数 如果f x 0 例1 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 例题分析 f x 的单增区间为 0 和 2 f x 的单减区间 0 2 说明 当x 0或2时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 小结 根据导数确定函数的单调性步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 例2 判定函数y ex x 1的单调区间 递增区间为 0 递减区间为 0 练习 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 例题分析 1 f x 2 f x sinx x x 0 3 f x 2x3 3x2 24x 1
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