概率论与数理统计之随机事件的概率(ppt 69页).ppt

本资料来源 第一章随机事件及其概率 随机事件的概念事件的关系和运算随机事件的概率条件概率事件的独立性 1 3随机事件的概率 1 3 1概率的统计定义1 3 2概率的古典概型定义1 3 3概率的几何概型定义1 3 4概率的公理化定义 1 定义 频率的定义与性质 1 3 1 概率的统计定义 在随机试验中 若事件A出现的频率 1 定义1 2 则定义事件A的概率为p 记作P A p 着试验次数n的增加 趋于某一常数p 随 1 对任一事件A 有 性质1 1 概率统计定义的性质 说明 概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小 反映了概率的本质内容 但也有不足 即无法根据此定义计算某事件的概率 1 3 2 古典概型1 古典概型定义 若随机试验E具有下列两个特征 1 有限性 样本空间 中 只有有限个样本点 2 等可能性 则称E所描述的概率模型为古典概型 定义1 3 设试验E的样本空间 由n个样本点构成 A为E的任意一个事件 且包含m个样本点 则事件A出现的概率记为 称此为概率的古典定义 2 古典概型中事件概率的计算公式 例1 滨江宾馆共有职工200人 其中女性有 160人 现从所有职工任选一人 选得男性的概率是多少 解 样本点总数 n 200 人 事件A 选得男性 A所包含的样本点数 即男性职工数 为 m 200 160 40 人 2 古典概率的计算公式 1 判断古典概型的两个依据 的有限性 样本点 的等可能性 3 乘法原理 排列与组合复习 1 乘法原理 设完成一件事须有n个步骤 若第一步有 注 2 排列 1 无重复排列 从n个不同的元素 无放回地任取m个 有 顺序地排成一列的排列方法种数 4 问 由1 2 3 4四个数字能组成多少 无重复数字出现的两位数 解 十位 1 3 2 4 2 3 1 4 3 1 2 4 1 2 3 个位 个无重复数字的两位数 例2 进一步问 从这四位数字中 取到的无重复 的两位数字的个位数字是2的概率为多少 A 解 样本点总数 n A所包含的样本点数 m 2 重复排列 从n个不同的元素 有放回地任取m个 每次取一个 有顺序地 排成一列的排列方法种数 有3个球 分别染着红 黄 蓝3种颜色 从这3个不同颜色的球中有放回地任取两次 每次取一个球 记下球的颜色和它出现的次序 问 最多能出现多少种花样 m个 解 例3 3 组合 从n个各不相同的东西中 任取出m个 不 计顺序 问 共有多少种取法 每一种取法称为一个组合 组合 总 数 排列与组合的区别是 前者与次序有关 后者与次序无关 组合的性质 将4本不同的书分给甲 乙两人 若甲得一本 乙得3本 问 共有多少种分法 解 从4本书中任取1本给甲的方法数 例4 多重组合数 将n个不同的东西 如 书 中的n1个分给A1 n2个分给A2 nk个分给Ak n1 n2 nk n 共有分法 3 常见的三种古典概型基本模型 1 摸球模型 2 分房问题 3 随机取数问题 问题1设袋中有M只白球和N只黑球 现从袋中无放回地依次摸出m n只球 求所取球恰好含m个白球 n个黑球的概率 1 无放回地摸球 基本事件总数为 A所包含基本事件的个数为 解 设A 所取球恰好含m个白球 n个黑球 摸球模型 同类型的问题还有 4 产品检验问题 6 扑克牌花色问题 5 鞋子配对问题 7 英文单词 书 报及电话号码等排列问题 1 中彩问题 2 抽签问题 3 分组问题 2 有放回地摸球 问题2设袋中有4只红球和6只黑球 现从袋中有放回地摸球3次 求前2次摸到黑球 第3次摸到红球的概率 解 第1次摸球 6种 第1次摸到黑球 4种 第3次摸到红球 基本事件总数为 A所包含基本事件的个数为 同类型的问题还有 2 骰子问题 1 电话号码问题 3 英文单词 书 报等排列问题 1 先求样本空间 所含的样本点总数 有n个人 每个人都以同样的概率1 N 被分配在N n N 间房中的每一间中 试求 下列各事件的概率 1 某指定n间房中各有一人 2 恰有n间房 其中各有一人 3 某指定房中恰有m m n 人 解 分房模型 把n个人随机地分到N个房间中去 每一 种分法就对应着一个样本点 基本事件 由于每个人都可以住进N间房中的任一 分析 间 所以每一个人有N种分法 n个人共 有N N N Nn种分法 即 样本点总数 2 1 设A 某指定n间房中各有一人 则A所含样本点数 2 设B 恰有n间房 其中各有一人 分析 对于事件B 由于未指定哪n个房间 所以这n间房可以从N个房间中任意选取 共有 种分法 而 对于每一选定的n间房 其中各有一人的分法有n 种 所以事件B所含的样本点数 3 设C 某指定房中恰有m m n 人 分析 某指定房中恰有m m n 人 这m个人可以从n个人中任意选出 共有 种选法 而其他的n m 个人可以任意地被分到余下的N 1 间房中去 共有 种分法 所以事件C所含的样本点数 同类型的问题还有 1 球在杯中的分配问题 2 生日问题 3 旅客下站问题 5 性别问题 4 印刷错误问题 球 人 杯 房 日 房 N 365天 或月 房 N 12月 等等 随机取数模型 从0 1 2 9共10个数字中任取一个 假定每个数字都以1 10的概率被取中 取后还原 先后取出7个数字 试求下列各事件的概率 1 7个数字全不同 2 不含4和7 3 9恰好出现2次 4 至少出现2次9 解 样本空间所包含的样本点总数 107 1 A 7个数字全不同 A所包含的样本点数 2 B 不含4和7 3 C 9恰好出现2次 4 D 至少出现2次9 方法1 方法2 1 3 3 几何概型 1 几何概型定义 若试验E具有下列特征 1 无限性 E的样本空间 是某几何空间中的一个区域 其包含无穷多个样本点 每个样本点由区域 内的点的随机位置所确定 2 等可能性 每个样本点的出现是等可能的 即样本点落在 内几何度量相同的子区域是等可能的 则称E所描述的概率模型为几何概型 并称 E为几何概型随机试验 注 2 几何概率 定义 对于随机试验E 以m A 表示的几何度量 为样本空间 若0 m 则对于任一事件A 定义其概率为 注 例8 折断得三条线段 求 这三条线段能构成三角形 的概率 A D B C x y l 解 依题意 有 样本空间 l l 0 x y l x y l l 0 x y x y l 2 x y l A l 2 l 2 例9 浦丰问题 平面上画有等距离a a 0 的一些平行线 向平面任意投一长为l l a 的针 试求针与平行线相交的概率 a l M x 解 设M表示针落下后 针的中心 x表示M与最近一平行线的距离 表示针与这平行线的夹角 则样本空间 l 2 针与一平行线相交 设A 针与一平行线相交 则 0 x a 2 A 1 3 4 概率的公理化定义 1 定义 设E是随机试验 是它的样本空间 对于E的每一事件A赋予一个实数 记作P A 若P A 满足下列三条公理 1 非负性 对于每一事件A 有0 P A 1 2 规范性 P 1 3 可列可加性 则有 则称P A 为事件A的概率 2 概率的性质 1 P 0 证 P P P P P 1 P 0 2 有限可加性 证 P P 3 逆事件的概率 对于任意事件A 有 证 4 证 推论1 单调性 证 由性质4 及P A B 0 知命题成立 5 概率的加法公式 对于任意两个事件A B 有 证 B A AB 推论2 一般地 推论3 例10 已知 解 A B 例11 解 例12 证 备用题 例5 1 中彩问题 从1 2 33共33个数字中任取 一个 假定每个数字都以1 33的概率被 取中 取后不放回 先后取出7个数字 求取中一组特定号码A的概率 考虑顺序 例5 2 把10本书任意地放在书架上 求其中 指定的3本书放在一起的概率 解 设A 指定的3本书放在一起 例5 3 抽签问题 在编号为1 2 3 n的n张赠券中 采用无放回式抽签 试求在第k次 1 k n 抽到1号赠券的概率 解 设A 第k次抽到1号赠券 则样本空间样本点总数 注 此题不能直接用组合方法 原因 题目强调了次序 第k次抽到1号赠券 例5 4 分组问题 将20个球队分成两组 每组10队 进行比赛 求最强的两队分在不同组的概率 分析 在N件产品中抽取n件 其中恰有k件次品的取法共有 于是所求的概率为 解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 例5 5 产品检验问题 在房间里有10个人 分别佩戴从1号到10号的纪念章 任选3个记录其纪念章的号码 1 求最小号码为5的概率 2 求最大号码为5的概率 解 1 总的选法种数为 最小号码为5的选法种数为 例5 6 2 最大号码为5的选法种数为 故最大号码为5的概率为 故小号码为5的概率为 1 杯子容量无限 问题1把4个球放到3个杯子中去 求第1 2个杯子中各有两个球的概率 其中假设每个杯子可放任意多个球 4个球放到3个杯子的所有放法 例6 1球放入杯子问题 因此第1 2个杯子中各有两个球的概率为 2 每个杯子只能放一个球 问题2把4个球放到10个杯子中去 每个杯子只能放一个球 求第1至第4个杯子各放一个球的概率 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为 例6 2生日问题 全班共有学生30人 求下列事件