高三数学大纲版2.6 指数与指数函数课件.ppt

1 指数幂的概念 1 根式 一般地 如果一个数的n次方等于a n 1且n n 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做 其中n 1且n n 式子叫做 这里n叫做 a叫做 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号表示 2 6指数与指数函数 要点梳理 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号表示 负的n次方根用符号表示 正负两个n次方根可以合写为 当n为奇数时 当n为偶数时 负数没有偶次方根 零的任何次方根都是零 2 有理指数幂 1 分数指数幂的表示 正数的正分数指数幂是 a a 0 m n n n 1 正数的负分数指数幂是 a 0 m n n n 1 0的正分数指数幂是 0的负分数指数幂无意义 2 有理指数幂的运算性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 0 ar s ars arbr 3 指数函数的图象与性质 0 y 1 0 y 1 0 y 1 减函数 y 1 r 增函数 1 已知 则化简的结果是 a b c d 解析 基础自测 c 2 设指数函数f x ax a 0且a 1 则下列等式不正确的是 a f x y f x f y b f xy n fn x fn y c d f nx fn x 解析 f x y ax y f x f y f nx anx ax n fn x a c d均正确 故选b b 3 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a a 1 b 0 b a 1 b 0 c 00 d 00 故0 a 1 b 0 d 4 关于函数f x 2x 2 x x r 有下列三个结论 f x 的值域为r f x 是r上的增函数 对任意x r 有f x f x 0成立 其中全部正确的结论是 a b c d 解析由于y 2x与y 2 x的值域为 0 且分别为增函数和减函数 f x 2x 2 x的值域为r 且f x 在r上递增 又f x 2 x 2x f x f x 0 a 5 2007 山东理 2 已知集合m 1 1 则m n等于 a 1 1 b 1 c 0 d 1 0 解析x z x 2 x 1 且x z 1 0 m n 1 b 已知 b 9 求 1 2 思维启迪 1 求值时一般将式子先化简而后求值 将根式转化为分数指数 利用有理指数幂的运算性质 2 可先求a b值代入求解 也可先化简后代入求解 解 1 原式 题型一有理指数幂的化简与求值 原式 3 2 方法一化去负指数后解 方法二利用运算性质解 探究拓展根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数式计算较为方便 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 函数f x x2 bx c满足f 1 x f 1 x 且f 0 3 则f bx 与f cx 的大小关系是 a f bx f cx b f bx f cx c f bx f cx d 大小关系随x的不同而不同 思维启迪 求出b c之值再比较之 注意bx与cx在对称轴的哪一边 解析 f 1 x f 1 x f x 的对称轴为直线x 1 由此得b 2 又f 0 3 c 3 f x 在 1 上递减 在 1 上递增 题型二利用指数函数的单调性比较大小 a 若x 0 则3x 2x 1 f 3x f 2x 若xf 2x f 3x f 2x 故选a 探究拓展 1 比较大小通常有如下方法 作差法 作商法 单调性法 中间量法 如与 的大小比较 可采用中间量 2 对于多个数值大小比较问题 可先将这些数值分类 先比较它们与某些特殊值 如0 1 1等 的大小 然后再将各部分比较大小 3 对于含参数的大小比较问题 有时需对参数进行分类讨论 求下列函数的定义域 值域及其单调区间 1 2 思维启迪 1 定义域是使函数有意义的x的取值范围 单调区间利用复合函数的单调性求解 2 利用换元法 同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域 解 1 依题意x2 5x 4 0 解得x 4或x 1 f x 的定义域是 1 4 题型三指数函数的图象与性质 令 x 1 4 u 0 即而 函数f x 的值域是 1 当x 1 时 u是减函数 当x 4 时 u是增函数 而3 1 由复合函数的单调性可知 在 1 上是减函数 在 4 上是增函数 故f x 的增区间是 4 减区间是 1 2 由 函数的定义域为r 令 g t t2 4t 5 t 2 2 9 t 0 g t t 2 2 9 9 等号成立的条件是t 2 即g x 9 等号成立的条件是即x 1 g x 的值域是 9 由g t t 2 2 9 t 0 是减函数 要求g x 的增区间实际上是求g t 的减区间 求g x 的减区间实际上是求g t 的增区间 g t 在 0 2 上递增 在 2 上递减 由可得x 1 由可得x 1 g x 在 1 上递减 在 1 上递增 故g x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 1 探究拓展 1 涉及复合函数单调性问题 首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的 求出复合函数的定义域 然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间 2 利用定义证明时可分层比较 对于内外层函数 注意 同增异减 12分 设a 0是r上的偶函数 1 求a的值 2 求证 f x 在 0 上是增函数 思维启迪 1 利用f x f x 得恒等式 求参数a 2 利用单调性定义证明 1 解 f x 是r上的偶函数 f x f x 1分对一切x均成立 而a 0 a 1 题型四指数函数的综合应用 3分 4分 2 证明在 0 上任取x1 x2 且x10 x2 0 x1 x2 0 10分 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 0 上是增函数 12分 8分 探究拓展对于含参数的函数 若其具有奇偶性 则可根据定义建立恒等式 通过分析系数得到关于参数的方程或方程组 求出即可 而单调性多与参数的取值有关 应根据情况进行分类讨论 方法与技巧 1 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当01时 x y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 3 熟记指数函数y 10 x y 2x 在同一坐标系中图象的相对位置 由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系 4 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 失误与防范 1 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质受a的影响 要分a 1与0 a 1来研究 2 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 1 化简下列各式 其中各字母均为正数 1 2 解 1 原式 2 已知实数a b满足等式下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个解析作 的图象 如图 当x 0时 则有a b 0 成立 当x 0时 则有0 b a 成立 当x 0时 则有a b 0 成立 故 不成立 因而选b b 3 求下列函数的单调递增区间 1 解 1 函数的定义域为r 令u 6 x 2x2 则 二次函数u 6 x 2x2的对称轴为在区间上 u 6 x 2x2是减函数 又函数是减函数 函数在上是增函数 故的单调递增区间为 2 令u x2 x 6 则y 2u 二次函数u x2 x 6的对称轴是在区间上u x2 x 6是增函数 又函数y 2u为增函数 函数 在区间上是增函数 故函数的单调递增区间是 4 已知定义在r上的奇函数f x 有最小正周期2 且当x 0 1 时 1 求f x 在 1 1 上的解析式 2 证明 f x 在 0 1 上是减函数 1 解当x 1 0 时 x 0 1 f x 是奇函数 由f 0 f 0 f 0 且 f 1 2 f 1 得f 0 f 1 f 1 0 在区间 1 1 上 有 2 证明当x 0 1 时 f x 设00 即f x1 f x2 故f x 在 0 1 上单调递减 1 的大小顺序为 a b c d 解析2 b3 b4 c5 a b 6 当x 0时 函数f x a2 1 x的值总大于1 则实数a的取值范围是 a 10时 f x a2 1 x的值总大于1 a2 1 1 a2 2 7 c 8 函数y ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值比最小值大则a的值是 解析当a 1时 y ax在 1 2 上单调递增 故得当0 a 1时 y ax在 1 2 上单调递减 故得 故或 9 10 1 0 0 2 偶函数 3 证明当x 0时 2x 1 x3 0 f x 为偶函数 当x0 综上可得f x 0 11 已知函数 a 0 且a 1 1 判断f x 的单调性 2 验证性质f x f x 当x 1 1 时 并应用该性质求满足f 1 m f 1 m2 1 则 所以即f x1 f x2 f x 在 上为增函数 同理 若0 a 1则即f x1 f x2