高一数学：3.2 等比数列 课件人教版.ppt

3 4等比数列 一 关于国际象棋的一段传说国际象棋的棋盘上共有8 8 64个格子 关于国际象棋 有这样一个传说 国际象棋发明以后 当时的国王要奖赏国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒 在第2个格子里放上2颗麦粒 在第3个格子里放上4颗麦粒 在第4个格子里放上8颗麦粒 以此类推 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64个格子 请给我足够的粮食来实现上述要求 国王觉得这并不是难办到的事 就同意了他的要求 究竟国王能不能满足发明者上述要求呢 今天暂不讨论 我们先看各个格子里的麦粒数 构成下列数列 1 2 4 8 263 二 等比数列的概念 再观察几个数列 2000 2000 1 1 2000 1 12 2000 1 19 10 10 0 85 10 0 852 10 0 853 5 25 125 625 1 3 9 27 特点 从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q来表示 三 等比数列的通项公式 设等比数列 an 的首项是a1 公比是q 那么 根据等比数列的定义 从第二项起 每一项与它前一项的比都等于公比q 所以每一项都等于它的前一项乘以公比q 所以 a2 a1q a3 a2q a1q q a1q2a4 a3q a1q2 q a1q3a5 a4q a1q3 q a1q4 等比数列的通项公式 an a1qn 1 注意 1 由等比数列的定义 可以知道 等比数列的各项an 0 公比q 0 2 如果等比数列的公比q 1 则这个数列是常数列 3 等比数列的图象 以数列1 2 4 8 263为例 例1培育水稻新品种 如果第一代得到120粒种子 并且从第一代起 由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子 到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒 保留两个有效数字 分析 由于每一代的种子数都是它的前一代种子数的120倍 所以 逐代的种子数构成等比数列 记为 an 已知a1 120 q 120 利用通项公式求出a5即可 例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 分析 利用题设条件和通项公式 先求出a1和公比q 再求a2 例3已知 an bn 是项数相同的等比数列 求证 an bn 是等比数列 注 1 要判断一个数列是否是等比数列 只要考查它的第n 1项与它的第n项的比即可 如果这个比等于一个与n无关的常数 那么这个数列就是等比数列 这是证明一个数列是等比数列的常用的方法 2 由例3 我们发现关于等比数列的两个结论 如果两个数列项数相同 且都是等比数列 则它们的对应项相乘得到的数列仍然是等比数列 如果 an 是等比数列 c是不等于0的常数 那么数列 c an 是等比数列 四 等比中项 定义 如果在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 注 1 在一个等