高一数学函数概念与基本初等函数课件.ppt

对函数内容的改革旨在加强对函数本质的理解 函数内容是高中数学课程的一条主线函数内容的改革旨在加强对函数本质的理解高中函数内容的安排在螺旋上升中不断深入关注函数思想的体验和运用合理地使用信息技术 旨在帮助学生更好地认识和理解函数及其性质 函数内容的知识链 必修数学1 函数概念与基本初等函数i 指数函数 对数函数 幂函数 必修数学4 基本初等函数ii 三角函数 必修数学5 数列 选修系列1 1 选修系列2 2 导数及几其应用 函数是中学数学中的一个重要概念 函数是高中数学的基础 学生学习函数的知识分四个阶段 第一个阶段是在初中 学生已经接受了初步的函数知识 掌握了一些简单函数的表示法 性质 图象 本章是第二个阶段 数学1 第三个阶段将学习三角函数 数学4 数列 数学5 第四个阶段在选修课程中 如导数及其应用 概率 选修系列2 参数方程 选修系列4 等都仍然要涉及函数知识的再认识 是对函数及其应用研究的深化和提高 对函数内容的定位和基本要求 把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习 是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型 强调对函数本质的认识和理解 因此要求在高中数学学习中多次接触 螺旋上升 关注背景 应用 整体性 思想性 函数概念与基本初等函数 新旧教材对比及教学建议 一 新教材的变化 一 教学内容顺序的变化新教材采用了对应 函数 映射的教学顺序 与旧教材的对应 映射 函数教学的顺序安排相比 更利于学生对知识的理解和掌握 图象在函数的概念中就出现 利于整体上 本质上表现函数的概念 为函数的表示法的展开而 水到渠成 数形的统一 二 对函数 三要素 要求的变化 了解函数的构成要素 会求一些减单函数的定义域和值域 这也是与原有内容很不同的地方 减弱了求定义域 值域的要求 尤其是要避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题 进行过于繁琐的技巧训练 对现实教学情况的反思 三 关于 反函数 的变化 削弱了反函数的概念 只以具体函数为例进行解释和直观理解 通过比较同底的指数函数和对数函数 说明指数函数y ax a 0 a 1 和对数函数y logax a 0 a 1 互为反函数 不一般地讨论形式化的反函数定义 也不要求求已知函数的反函数 互为反函数的两个函数的图象间关于直线y x对称的性质 只通过具体函数讨论 四 关于指 对 幂函数的要求与变化 幂 指 对数函数强调作为三种不同的函数增长模型突出背景和应用 安排了 幂增长 指数增长 对数增长的比较 现代生活中 常碰到 函数增长 指数爆炸 等概念 结合实例体会指数函数 对数函数以及幂函数增长差异 认识直线上升 指数爆炸 对数增长等不同函数类型增长的含义 为扩展学生的知识面 建议学生收集有关直线上升 指数爆炸 对数增长等不同函数类型的实际问题 交流对这三种函数类型增长的看法 五 新增的内容 幂函数 函数与方程 二次函数与一元二次方程 用二分法求方程的近似解幂函数是常见的初等函数之一 增加了幂函数内容有利于处理函数问题 新教材第一章中去掉了一元二次不等式的解法一节 在第二章中增加了函数与方程 二次函数与一元二次方程 使得结构更趋合理 增加二分法求方程近似解是要加强信息技术在教学中的运用 二 新教材设计特点 天地间万物共生长 函数是中学数学中的基本概念 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系 同时还用集合与对应的语言刻画函数 函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终 本章开始给出三个背景例子 人口统计表 自由落体运动公式 温度曲线图 通过对这三个例子的共同特征的分析 引出函数概念 进而利用这三个例子 研究函数的三种表示法和函数的性质 此后 给出函数的应用 指数函数 对数函数等 在学生获得函数的一般研究方法后 又回到开头所提出的问题中 建立模型解决问题 整个内容一气呵成 其主线是函数概念与性质 而入口是学生非常熟悉的情景 简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法 并引出了函数的整个内容与研究方法 学生在这三个例子的反复学习中 不仅对函数概念与性质的理解不断加深 而且获得数学研究的一般方法 回顾反思 问题情境 学生活动 意义建构 数学理论 数学运用 提出问题 体验数学 感知数学 建立数学 理解数学 应用数学 案例1函数的概念 提出问题1 在初中我们是如何认识函数这个概念的 一 问题情境教师提出本节课的研究课题 在初中 我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型 今天我们将进一步学习有关函数的知识 二 学生活动1 让学生就问题1略加讨论 作为讨论的一部分 教师出示教材中的三个例子 并提出问题2 2 问题2 在上面的例子中 是否确定了函数关系 为什么 通过对问题2的讨论 帮助学生回忆初中所学的函数概念 再引导学生回答问题1 函数的传统定义 变量的观点 三 建构数学1 建构问题3 如何用集合的观点来理解函数的概念 问题4 如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点 结论 函数是建立在两个非空数集之间的单值对应 1 2 反思 1 结论是否正确地概括了上面例子的共同特征 2 比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异 3 一次函数 二次函数 反比例函数等是否也具有上述特征 4 进一步 你能举出一些 函数 的例子吗 它们具有上述特征吗 作为例子 可以讨论课本p24练习 一般地 设a b是两个非空的数集 如果按某种对应法则f 对于集合a中的每一个元素x 在集合b中都有惟一的元素y和它对应 这样的对应叫做从a到b的一个函数 function 通常记为y f x x a 其中 所有的输入值x组成的集合a叫做函数y f x 的定义域 domain 问题5 如何用集合的观点来表述函数的概念 给出函数的定义 指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素 四 数学理论 函数的近代定义 集合语言 对应的观点 五 数学运用1 定义的直接应用例1 课本p23例1 例2 课本p23例2 2 已知函数确定函数的值域 例3 课本p23例3 注意把握难度 六 总结反思1 初中的 函数定义和今天的定义有什么区别 2 你认为对一个函数来说 最重要的是什么 本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次 一是一般科学方法 如观察 实验 比较 分析 综合 归纳 类比 抽象等 二是数学中常用的数学思想方法 如函数与方程 数形结合 符号化与形式化 分类讨论 化归等思想方法 三 教材分析及教学建议 2 1 1函数的概念和图象与人教版不同的是 1 图象在函数的概念中就出现 其理由有二 利于整体上 本质上表现函数概念 为函数表示法的展开而 水到渠成 数形的统一 2 先对应 函数而映射 函数一般化的表现或数 或形在构建函数的概念时 要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系 在函数的定义教学时 需突出以下几点 a 集合a与集合b都是非空数集 b 对应法则的方向是从a到b c 强调 非空 每一个 惟一 这三个关键词 pp21这三个例子 函数引入中的三个问题 我国从1949年到1999年的人口数据表 自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式 某城市一天24小时内的气温变化图 既与初中时学习的函数内容相联系 又蕴含了函数的三种表示方法 列表法 解析法 图象法 起到了承上启下的作用 这三个实际问题背景 既是函数知识的生长点 又突出了函数的本质 为从数学内部研究函数打下了基础 而某城市一天24小时内的气温变化将函数概念 函数的图象 函数的单调性 函数的零点有机地贯通 用输入与输出来揭示函数概念 在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法 作函数y f x x a 的图象 就是在直角坐标系内作出点集 x f x x a 或 x y y f x x a 函数y f x x a 的图象在x轴上的射影构成的集合对应着函数的值域 从 形 的角度 进一步加深对函数概念的理解 教材 阅读 中 力求通过信息技术与课程内容的整合 激发学生对学习的兴趣 应鼓励学生 把现代教育技术作为学习研究和探索解决问题的工具 例如 利用计算器 计算机画出函数的图象 探索 比较函数的变化规律 为研究函数的性质 以及以后学习求方程的近似解 数据拟合等打下基础 教材 阅读 中 力求通过信息技术与课程内容的整合 激发学生对学习的兴趣 应鼓励学生 把现代教育技术作为学习研究和探索解决问题的工具 例如 利用计算器 计算机画出函数的图象 探索 比较函数的变化规律 为研究函数的性质 以及以后学习求方程的近似解 数据拟合等打下基础 在本节的习题中 注意了复合函数概念的渗透 p25 26例4连续的 离散的 点 或一段p26例6为学习函数的单调性做准备 p27 思考 学会一般化 形成良好地学习习惯 阅读 有条件的学校 建议学生会操作 习题的处理建议分三个阶段来处理先学 再识 后括 新探 2 1 2函数的表示法 p31例3 突破函数 一式 或可分段倒数第2行 不同部分上 不同部分 指区间或点 2 1 3函数的简单性质 会看图识单调 并由图写出单调区间能证明简单函数的单调性会根据函数的单调性来认识函数的最值 为了说明函数f x 在某个区间上不是单调增 减 函数 只需在该区间上 找到两个值x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 或f x1 f x2 成立 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的 它反映的是函数的局部性质 函数在某个区间上单调 并不能说明函数在定义域上也单调 p37 38从形 数两个角度探索 理解函数图象的对称性与函数奇偶性的关系 p39例7只要函数的定义域内有一个x值不满足f x f x 或f x f x 这个函数就不是奇 偶 函数 或只要函数图象上有一个点不满足 关于原点 或y轴 的对称点都在函数的图象上 这个函数就不是奇 偶 函数 2 1 4映射概念 了解映射的概念 在讲解映射的概念时应指出 映射是函数概念的推广 函数是一类特殊的映射 函数是两个非空数集之间的映射 对于映射f a b而言 集合a b可以是数集 也可以是点集或其他集合 关于映射中象与原象的概念 以及映射的分类 一般不要涉及 p42第11题是努力引导学生学会这样思考 2 2指数函数2 2 1分数指数幂 类比推广 使学生感受到 n n n n 2 次方根 实际上就是平方根与立方根的推广 教学时可由平方根与立方根的运算性质类比得到n次方根的性质 在进行根式运算时 应先将根式化成有理数幂 再进行运算 p46推广到实数 仅说明其存在和运算性质成立 2 2 2指数函数 教材通过考古中利用c14的衰减来测定古物的年代这个例子 激发学生学习指数函数的欲望 体会指数函数是一类重要的函数模型 并且有广泛的用途 利用计算机 器 作不同的指数函数的图象 通过观察 探索并理解指数函数的单调性与特殊点 并关注指数增长趋势与底数的关系 知道比较两个同底数幂大小 可以利用指数函数的单调性来解决 pp50 51对一般的函数图象平移变换来说 h 0时 将y f x 的图象向右平移h个单位以后 得到y f x h 的图象 向左平移h个单位以后 得到y f x h 的图象 类似地 还考虑函数y f x h与y f x 的图象之间的关系 p51例4利用某种放射性物质变化的函数图象 求出它的半衰期 为后面学习利用函数的图象解方程做铺垫 教材给出三个解决实际问题的例题 让学生进一步体会学习指数函数的重要性 感受到指数函数是现代科技 生活中具有广泛用途的重要数学模型 在这几个例题的讲解过程中 应体现从具体到抽象 从特殊到一般的思维过程 体会归纳 总结的一般方式 方法 还可以让学生自己举一些体现指数函数模型在实际生活中应用的例子 进一步让学生感受到学习指数函数的重要性 以及现代科学技术手段在分析问题 解决问题中的作用 2 3对数函数 类比指数函数内容展开 2 3 1对数 教材通过具体实例说明研究对数的必要性 指数式与对数式的互化 理解指数式与对数式的相互关系通过具体实例 借助计算机或计算器 探索对数的两个运算性质 要注意对数的运算性质成立的条件 并能灵活地用来简化对数的运算 教学中要注意展现类比联想 观察验证 推理证明的过程 通过换底公式的应用 体现化归与转化的数学思想 教学时要让学生掌握对数换底公式 会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数 并进行一些简单的化简与证明 p60例9贯通前后的联系 阅读 让学生了解对数的发明过程及其对简化运算的作用 激发学生学习数学的兴趣 教师可以提供资料或指导学生阅读有关书籍 查找相关网页 使学生了解对数的发展历史以及在现代生产 科技上的作用 2 3 1对数函数 教材再次以细胞分裂实验为背景 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系 初步理解对数函数的概念 并感受研究对数函数的意义 对照指数函数图象 画出对数函数的图象 根据函数y logax图象的特征 说明其性质 指出y轴是函数y logax图象的 渐近线 通过对指数函数 对数函数相互关系的研究 加深对函数概念的理解 通过对数函数的图象 观察发现对数函数的性质 提高学生的识图能力 并通过对数函数性质的应用 加深对对数函数性质的理解 关于求函数的反函数知识 只要求以具体函数为例进行解释和直观理解 不要求一般地讨论形式化的反函数定义 对求已知函数的反函数也不作要求 通过阅读链接材料 知道反函数的含义 了解一个函数的反函数的求法以及记法 了解函数与其反函数的定义域 值域之间的关系 2 4幂函数 了解幂函数的概念 会画幂函数y x y x2 y x3 y y 的图象 结合这几个幂函数的图象 了解幂函数的变化情况和性质 了解几个常见的幂函数的性质 会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小 教材通过几个常见的幂函数y x y x2 y x3 y y x的图象 观察 总结出幂函数的变化情况和性质 培养学生的抽象概括能力 通过对幂函数的研究 结合一次函数 二次函数 指数函数 对数函数等具体函数的学习 使学生加深对函数的理解 从而达到掌握和应用函数解决问题的目的 利用计算机等工具 进一步感受幂函数与指数函数的本质差异 2 5函数与方程 能了解函数的零点与方程根的联系 能够借助计算器用二分法求方程的近似解 理解这种方法的实质 体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法 2 5 1二次函数与一元二次方程 教材通过观察函数图象 给出二次函数与一元二次方程的关系 掌握p72表在判断一元二次方程的实根个数时 应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向 说明判别式的符号与方程根的个数的关系 2 5 2用二分法求方程的近似解 根据具体函数的图象 能够借助计算器用二分法求相应方程的近似