高考数学总复习基础知识与典型例题09立体几何part02.doc

简单几何体3.正多面体:每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种,如图:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 4.球:(1)球面和球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球.定点叫做球心,定长叫做球的半径.与定点距离等于定长的点集合叫做球面. 如图的球中，O是球心，线段OC是半径，线段AB是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O. 球的截面的性质:用一个平面去截球，截面是圆；球心到截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：;注:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.球面面积S球面=4R2；球体积V球=R3.经度、纬度和球面距北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文台所在半圆弧称为O经线，也称为本初子午线.经线指的是某点与地轴形成半圆圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角.某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角.注意：东西经180经线重合，如图1. 球面距离指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离.如图2所示：NS为地轴，P所在经线为，设P点所在经线为0经线，B所在经线为东径n度(nAOB)，P在北纬m度(m)要确定Q在地球上的位置，必须知道Q的经度与纬度.注:棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题.在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。简单几何体因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。关于等积变换问题 (等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等.)等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离,是用两种不同的体积计算方法,来建立所求距离的方程,使问题得解.异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。例41.M= 正四棱柱，N= 长方体，P= 直四棱柱，Q=正方体,下列关系中正确的是（） (A)QMNP (B)QMNP (C)QNMP (D)QNMP例42. 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )(A)各侧面是正三角形 (B)底面是正方形(C)各侧面三角形的顶角为45度 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上例43. A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作的大圆个数是( )(A)只能作一个 (B)无数个 (C)可能作一个或零个 (D)以上都不对例44. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）(A) (B)56 (C)14(D)64例45. 将两邻边长之比为3:4的长方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，若四点A、B、C、D的外接球的球面面积为100，则B、D两点间的球面距离为（ ）(A) (B) (C) (D)3例46. 设地球半径为R，在北纬30圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120，那么这两地间的纬线之长为（ ）(A)R(B)R(C)R(D)2R例47. 如图，以正方体ABCD的顶点为顶点，且四个面均为直角三角形的四面体是 .(要求：只写出其中的一个，并在图中画出相应的四面体) 例48. 若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为 ；例49. 已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于_。例50. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。空间角与距离 1.角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3.计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角 范围：090 方法：平移法；补形法.直线与平面所成的角 范围：090 方法：关键是作垂线，找射影.二面角范围：0180 方法：定义法； 三垂线定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算（2）空间距离两点之间的距离. 点到直线的距离. 点到平面的距离. 两条平行线间的距离.两条异面直线间的距离. 平面的平行直线与平面之间的距离. 两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.注:在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变例51.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角为( ) (A)30(B)45 (C)60(D)90例52. 如图，AB=2，AC，BD，C，D，CD=1，则直线AB与所成的角为（ ）(A)30 (B)60 (C)arctan (D)45例53. 已知正方形ABCD，沿对角线AC将ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为b，当b 取最大值时，二面角BACD等于( ) (A)1200 (B)900 (C)600 (D)450例54. 若三直线PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，则点P到平面ABC的距离为（ ）(A) (B) (C) (D)空间角与距离例55. 等边ABC的边长是1，BC边上的高是AD，沿AD折成直二面角，则点A到BC的距离是（ ）(A) (B) (C) (D)1例56. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E是的中点，那么异面直线OE和之间的距离等于( )(A) (B)1 (C) (D) 例57.正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）BC1与底面ABCD所成角为 ；（2）A1C与底面ABCD所成的角的正切值为 ；（3）BC1与对角面BB1D1D所成的角为 。例58. 若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是 .例59. 二面角为，在其内一点到平面的距离分别为2，3，则的周长的最小值为 . 例60. 如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中.（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小；（3）求到平面PAD的距离.空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：;加法结合律：;数乘分配律：.空间向量及其运算2.共线向量与共面向量: (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量任意两个向量总是共面的(3)共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使;推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点 P在直线上的充要条件是存在实数,满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.(4)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使. 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对，使或对空间任一定点O，有.3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z, 使 (这里隐含x+y+z1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是BCD的重心，则向量用即证. 4.两个向量的数量积(1)向量的数量积 (2)向量的数量积的性质:(是单位向量)；.(3)向量的数量积满足如下运算律:交换律:; 与实数相乘的结合律=; 分配律:. 注:向量的数量积不满足结合律即5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来表示在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点O叫原点，向量都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy平面、 yOz平面、z0x平面作空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy=1350,yOz=900对于空间任一向量，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记为=对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使，即点A的坐标为.空间向量及其运算空间向量的直角坐标运算:设=(a1,a2,a3),，则, (用到常用的向量模与向量之间的转化：)设，则=这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标则，这就是空间两点间的距离公式6. 法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果, 那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为. (实质是在法向量方向上的投影的绝对值) 利用法向量可求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.直线与平面所成角(为平面的法向量).异面直线间的距离 (的公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). (实质是在公垂向量方向上的投影的绝对值)例61.已知向量(1，3，2)，(2，0，2)，(0，2，1)，则的模为( )(A) (B) (C)12 (D)13空间向量及其运算例62. 如图，已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于( ) (A) (B) (C) (D) 例63. 若、三个单位向量两两之间夹角为,则|+|( )(A)6 (B) (C)3 (D)例64. 设，则使A、B、C三点共线的条件是( )(A)，(B) (C) (D)例65. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是( )(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定例66. 设是平面 a 内的两个非零向量，则0，0是为平面 a 的法向量的( )(A)充分条件 (B)充要条件 (C)必要条件(D)既非充分又非必要条件例67. 若A(1，2，3)、B(2，4，1)、C(x，1，3)是直角三角形的三个顶点，则x 例68. 已知，若，共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1, 2, 1)移到点M2(3, 1, 2)，则合力所作的功为_.例69. 这四个点是否共面_.(注:共面填“是”,不共面填“否”) 例70. 如图直角梯形OABC中，COAOAB，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.求的大小（用反三角函数表示）；设OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；O到平面SBC的距离.设_. 异面直线SC、OB的距离为_.（注：只要求写出答案）数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体)答案例1.C 例2.A 例3.D 例4.A 例5.D例6.B 例7. 例8.8 例9.4例10. 解: BCa,BAC45, ACa, ABa,ABD中，ABa，DAB30， BDa, AD=a,作CE/AB,且CE=AB,BCE=135,则BE=a, 又CD=a, BE=a, DE=a, DCE是AB与CD所成的角或其补角, cosDCE=, cosa=.例11. D解析：b与a可能相交，可能平行，也可能b在a内，故选(D) 例12.C例13.C 例14.C 例15.D 例16. 1个，无数个 例17. 例18.例19. (1)过F作FGAB于G， FG/AE， FGAE，又CD平面ABC，AE平面ABC， CD/AE，CDAE，FG/CD，FGCD， 四边形CDFG是平行四边形，DF/CG，CG平面ABC， DF/平面ABC；(2) RtABE中，AE2a，AB2a，F为BE中点， AFBE，又DFFG，DFAE， DF平面ABE，DFAF，又BEAF，AF平面BDF，AFBD。例20.解析：（1）欲证EG平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO及辅助直线BO，显然BO即是.（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和OH两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1平面BDF，OH平面BDF。为证A1O平面BDF，由三垂线定理，易得BDA1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。猜想A1OOF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1OOF.（4） CC1平面AC CC1BD又BDAC BD平面AA1C又BD平面BDF 平面BDF平面AA1C例21.B 例22.A 例23.B 例24.A 例25.A 例26.A 例27.C 例28. 例29. 例30. 分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 PAAB,APB90在RtAPB中,ABP45,设PAa,则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PCa.APPC,在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60,BC与平面PBA的角为60.(2)由上知，PAPBa,ACAB2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明:要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例31.D 例32. C例33.B例34.C例35.D例36.C例37. 例38. 例39. 例40. (1)PD底面ABCD，ACPD，又底面ABCD为正方形，ACBD，而PD与BD交于点D，AC平面PBD， 又AC平面PAC，平面PAC平面PBD .（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC平面PBD，PC在平面PBD内的射影是PO，CPO就是PC与平面PBD所成的角， PD=AD,在RtPDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，OC=AC= CD，在RtPOC中，有CPO=30.即PC与平面PBD所成的角为30.（3）在平面PBD内作DEPO交PB于点E，连AE，则PC平面ADE.以下证明：由（1）知，AC平面PBD，ACDE，又PO、AC交于点O，DE平面PAC，DEPC，（或用三垂线定