人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案(2).doc

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、 考纲要求1 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3.斜线:斜足斜线在平面上的投影:直线和平面所成的角:一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4)一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角2、 自主学习问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义(1)阳光下，直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？问题2、直线与平面垂直的定义 lP如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作：l. 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。符号语言： 图形语言:思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若，则 DBAC问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）DCBA （图1） （图2）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题4、直线与平面垂直的判定定理。定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。lmnp符号语言： 图形语言: 思想: 直线与直线垂直直线与平面垂直问题5、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？ABCDA1B1C1D13、 考点突破典型例题例1有一根旗杆高，它的顶端挂一条长的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离是，那么旗杆就和地面垂直，为什么？略例2 已知，则吗？请说明理由。反馈训练ABCDA1D1C1B1例3: 在正方体中,求:(1)直线和平面ABCD所成的角(2)直线和平面所成的角 答案：（1） （2）例4如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面求证：EF平面GMC4、 考点巩固1. 直线与平面a内的两条直线都垂直，则直线与平面a的位置关系是(B)（A）平行 （B）垂直 （C）在平面a内 （D）无法确定2. 对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：(D)与a是异面直线；与a所成的角为定值；与a距离为定值d那么这样的直线b有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条3下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ B ）若且，则 若且，则若且，则 且，则4已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ A ）（A）Mba（B）babM（C）NMaN（D） 来源:学_科_网5在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ A ）线段 线段 的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段6三条不同的直线，、为三个不同的平面若若.若、若上面四个命题中真命题的个数是 7如图，矩形所在的平面，分别是的中点，（1）求证：平面； （2）求证：证明：略8已知：空间四边形，求证：2.3.2 平面与平面垂直的判定1、 考纲要求1 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面2两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：，2、 自主学习问题1: （定义）半平面：二面角：二面角的表示:二面角的平面角:二面角的平面角AOB的特点：(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。特别指出：二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是0，）；二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟一确定；二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的直二面角:规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。例1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为，求二面角A-BD-C的大小。问题2：（定义）两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面与垂直，记作：定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号语言: 图形语言: 3、 考点突破典型例题例1、 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A相等 B互补C相等或互补 D关系无法确定答案D例2、 如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，E、F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积(1)证明因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF.又因为CFEF，CFFG，所以CF平面EFG.所以CFEG，又CFGFF，所以EG平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG平面CFG.(2)解如图，在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，则GH.因为平面CDEF平面EFG，所以GH平面CDEF，所以V多面体CDEFGS矩形CDEFGH16.例3、 已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角ABCO的大小解如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为D，连接AD.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面AOD.而AD平面AOD，ADBC.ADO是二面角ABCO的平面角由AO，OB，OC，知AOOB，AOOC.又ABO30，ACO45，设AOa，则ACa，AB2a.在RtABC中，BAC90，BCa，ADa.在RtAOD中，sinADO.ADO60.即二面角ABCO的大小是60.反馈训练例4、如图在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比(1)证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)解设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.4、 考点巩固1过平面外两点且垂直于平面的平面 （ D ）有且只有一个 不是一个便是两个 有且仅有两个 一个或无数个2若平面平面，直线，,，则 （ D ） 且 与中至少有一个成立3对于直线和平面，的一个充分条件是 （ B ）， 4设表示三条直线，表示三个平面，给出下列四个命题：若，则；若是在内的射影，则；若，则； 若，则其中真命题（ A ）5. 设ABCDA1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问：截面ACB1与对角面BDD1B1垂直吗？证明：ABCD是正方形，ACBD BB1底面ABCD， ACB1B 又BDBB1B，AC平面BDD1B AC平面BDD1B， AC截面ACB1， 截面ACB1对角面BDD1B1.6如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，ACBDE，AD2，AB2，BC6.求证：平面PBD平面PAC.证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD，tanBAC，ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC.7、如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小解E为SC中点，且SBBC.BESC.又DESC.BEDEE.SC平面BDE.BDSC，又SA平面ABC.可得SABD.SCSAS.BD平面SAC，从而BDAC，BDDE.EDC为二面角EBDC的平面角设SAAB1，ABC中ABBC，SBBC，AC，SC2.在RtSAC中，DCS30，EDC60，即二面角EBDC为60.2.3.3 直线与平面垂直的性质一、考纲要求1 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行2 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式： 5三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： 二、自主学习直线与平面垂直的性质问题1、 如图，长方体ABCDABCD中，棱A A、B B、C C、D D所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？问题2、 已知：a，b。求证：ba（由1让学生自行证明）3、 考点突破典型例题 例1、如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交 求证：EFBD1. 证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD. DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC. 又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1. 又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.EFAC，EFA1D，又A1DB1C，EFB1C.又ACB1CC，EF平面AB1C， EFBD1.例2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面已知，l. 求证：l.证明：在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，PB垂直与的交线于B，则PA，PB. l，lPA，lPB. 又PAPBP，且PA，PB，l.例3 在平面四边形ABCD中，已知ABBCCDa，ABC90，BCD135，沿AC将四边形折成直二面角BACD.(1)求证：平面ABC平面BCD；(2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数(1)证明如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图在四边形ABCD中，ABBC，ABBC，ACB45，而BCDACBACD135，ACD90，即CDAC.又平面ABC与平面ACD的二面角的平面为直角，且平 面ABC平面ACDAC，CD平面ABC，又CD平面BCD，平面ABC平面BCD.(2)解过点B作BEAC，E为垂足，则BE平面ACD.又过点E在平面ACD内作EFAD，F为垂足，连接BF.由已知可得BFAD，BFE是二面角BADC的平面角E为AC的中点，AEACa.又sinDAC，EFAE，EFaa，tanBFE.BFE60，即平面ABD与平面ACD所成的角的度数为60.反馈训练例4、ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F为BE的中点求证：DF平面ABC.证明取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为BEA中位线，FGAE.AE平面ABC，FGAE，FG平面ABC.FG平面ABC，CD平面ABC，FGCD.又FGAECDa.四边形CDFG为平行四边形，FDCG.FDCG.CG平面ABC，DF平面ABC.4、 考点巩固1若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ D ） 2已知与是两条不同的直线，若直线平面，若直线，则；若，则；若，则；，则。上述判断正确的是 （ B ） 3下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ B ）若且，则 若且，则若且，则 且，则4在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）5.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：若，则是的垂心若两两互相垂直，则是的垂心若，是的中点，则若，则是的外心其中正确命题的命题是 6如图，直三棱柱中，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面7. 如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC. 又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.8. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PAAD2，E、F分别为AD、PC中点(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；(2)求证：平面PCE平面PBC；(1)解如图，取PB的中点G，连接FG、AG，E、F分别为AD、PC中点，FG綉BC，AE綉BC，FG綉AE，四边形AEFG是平行四边形，AGFE，PAADAB，AGPB，即EFPB，EF与PB所成的角为90.(2)证明由(1)知AGPB，AGEF，PA平面ABCD，BCPA， BCAB，ABBCB，BC平面PAB， BCAG，又PBBCB，AG平面PBC， EF平面PBC， EF平面PCE， 平面PCE平面PBC.2.3.4 平面与平面垂直的性质1、 考纲要求1两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式： 2向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法： 证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； 证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直2、 自主学习问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？问题2：如图，长方体ABCDABCD中，平面AADD与平面ABCD垂直，直线AA垂直于其交线AD，平面AADD内的直线AA与平面ABCD垂直吗？探究1:如图，设，CD，AB，ABCD，且ABCDB，我们看直线AB与平面的位置关系。3、 考点突破典型例题例1. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PAAD2，E、F分别为AD、PC中点求二面角EPCD的大小解作EMPD于点M，连接FM，CD平面PAD，CDEM，EM平面PCD，EMPC，由(2)知EF平面PBC，EFPC，又EMEFE，PC平面EFM，FMPC，MFE是二面角EPCD的平面角或其补角PAAD2，EFAG，EM，sinMFE， MEF30，即二面角EPCD的大小为30.例2如图，已知平面 、， =AB, 直线a, a,试判断直线a与平面的位置关系（求证：a ）(引导学生思考)略反馈训练例3平面平面，a，则有()Aa Ba或a Ca与相交 Da解析由已知易得：a或a. 答案B例4. (2012济宁高一检测)已知平面平面，则以下说法正确的个数是()平面内的直线必垂直平面内的无数条直线；在平面内垂直于平面与平面的交线的直线必垂直于内的任意一条直线；内的任意一条直线必垂直于；过内的任意一点作平面与平面的交线的垂线，此直线必垂直于. A4 B3 C2 D1解析正确，不正确 答案C4、5、 考点巩固1已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 （ ）5对 6对 7对 8对2平面平面，=，点，点，那么是的（ ） 充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件3若三个平面，之间有，则与 （ ）垂直 平行 相交 以上三种可能都有4已知，是两个平面，直线， ，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )0 1 2 35在四棱锥中，底面，底面各边都相等，是上的一动点，当点满足_时，平面平面。6已知、是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两个点到的距离相等，则l；若，则. 其中正确命题的序号是_7三棱锥中，点为中点，于点，连，求证：平面平面8如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点(1)求证：ACPB； (2)求证：PB平面AEC；(3)求二面角EACB的大小(1)证明(1)由PA平面ABCD可得PAAC.又ABAC，所以AC平面PAB，所以ACPB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是PDB的中位线，EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是PAD的中位线，EFPA.又PA平面ABCD，EF平面ABCD.同理，FO是ADC的中位线，FOAB，FOAC.因此，EOF是二面角EACD的平面角又FOABPAEF，EOF45.而二面角EACB与二面角EACD互补，故所求二面角EACB的大小为135.参考答案:1B 2C 3D 4C 5中点 6风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。 与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪.如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。 一辈子，不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人，有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你忽然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自