业余数学学校预初招生试卷.pdf

2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 10月6日 上午8 309 30 本卷满分100分 7 48 410 4100 第 1 题 有一列数8 88 888 888 888 个 它们的和的百位数字是 分析与解 888 888888888 个 的和的百位数字与 88 2 86888 888888888 个 的和的百位数字相同 86888 888888888888888 8676464 个 即 86888 888888888 个 的和的百位数字是4 故 888 888888888 个 的和的百位数字是4 第2题 若数 2006 2006200620061006 n 个 能被11整除 则n的最小值是 分析与解 因为 2006 11 2006200620061006 n 个 所以 0 62 0 11 0606060620202010662145 nn nnn 个个 n的最小值是7 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第3题 如图 ABCD AMOQ MBNO ONCP QOPD 都是矩形 若矩形QOPD 的面积为 2 51cm 矩形ONCP 的面积为 2 17cm 矩形MBNO 的面积为 2 29cm 则四边形MNPQ 的面积 2 cm O Q P N M DC BA 分析与解 因为 OQOPONOMONOPOQOM 所以 QOPDMBNOONCPAMOQ SSSS 矩形矩形矩形矩形 所以 2 51 291787 AMOQQOPDMBNOONCP SSSScm 矩形矩形矩形矩形 所以 2 51 172987184 ABCDQOPDONCPMBNOAMOQ SSSSScm 矩形矩形矩形矩形矩形 因为 PQOPQD SS PNOPNC SS MNOMNB SS QMOQMA SS 所以 2 2184292 MNPQABCD SScm 四边形矩形 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第4题 1到100中 满足既是4的倍数加1 又是5的倍数减1的所有质数的和为 分析与解 方法一 一个数是5的倍数 则这个数的个位数字是0或5 一个数是5的倍数减1 则这个数的个位数字是9或4 质数的个位数字不可能是4 考虑1 100中 个位数字是9的质数 有19 29 59 79 89 其中还满足是4的倍数加1的有29 89 故1到100中 满足既是4的倍数加1 又是5的倍数减1的所有质数的和为2989118 方法二 根据剩余定理 既是4的倍数加1 又是5的倍数减1的 一定是20的倍数加9 1 100中 20的倍数加9的数有9 29 49 69 89 其中是质数的有29 89 故1到100中 满足既是4的倍数加1 又是5的倍数减1的所有质数的和为2989118 第5题 一个五位数 五个数字各不相同 且是23的倍数 则符合条件的最小的数是 分析与解 各位数字都不相同的最小五位数是10234 102342344422 则10234110235 是23的倍数 且满足五个数字各不相同 故符合条件的最小的数是10235 1023523445 第6题 一些笔记本分给某班学生 若只平均分给女生 则每位女生可分得15本 若只平均分给男生 则每位男生 可分得10本 现将这些笔记本平均分给全班的每位学生 则每人可分得 本 分析与解 若只平均分给女生 则每位女生可分得15本 则笔记本的本数是15的倍数 若只平均分给男生 则每位男生可分得10本 则笔记本的本数是10的倍数 10 1530 笔记本的本数是30的倍数 故设笔记本有30份 则女生有30152 份 男生有30103 份 学生一共有235 份 每人可分得3056 本 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第7题 如图是一个五棱柱 共15条棱 如果把不相交的两条棱称为一对 那么图中不相交的棱有 对 分析与解 五棱柱有15条棱 有10个顶点 15条棱 不计顺序 任选2条棱 有 2 15 15 14 105 2 1 C 对 10个顶点 每个顶点连着3条棱 每个顶点有 2 3 32 3 2 1 C 对相交的棱 一共有3 1030 对相交的棱 图中不相交的棱有1053075 对 第8题 在一条长300米的公路一侧竖电线杆 原计划每隔4米竖一根 作好记号后 计划改动为每隔6米竖一根 则要擦掉 个记号 重新作 记号 分析与解 300475 原计划要作75176 个记号 300650 现计划要作50151 个记号 4 612 3001225 其中25126 个记号不需要改动 要擦掉762650 个记号 重新作512625 记号 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第9题 将1 2 3 4 5 6六个数字 分别组成两个三位数A B 其中AB 如果XAB 且X是45的倍数 那么X的所有可能的值是 分析与解 因为455 9 X是45的倍数 所以X是5的倍数且X是9的倍数 先考虑X是5的倍数 如果一个数是5的倍数 那么这个数的个位数字是0或5 显然X的个位数字不可能是0 否则A和B的个位数字相同 故X的个位数字只可能是5 两数相减差的个位数字是5 这两个数的个位数字相差5 即个位数字只可能是1和6 然后考虑X是9的倍数 两个数的差是9的倍数 那么这两数除以9的余数相减得到的差是9的倍数 一个数除以9的余数与这个数各个数位上的数字之和除以9的余数相同 所以把A的三个数字加起来 B的三个数字加起来 相减 差是9的倍数 因为A的数字之和 B的数字之和12345621 是奇数 所以差也是奇数 两个数的和 差的奇偶性相同 所以差是9 根据和差问题可知 和是21 差是9 这两个三位数的数字和分别是 219215 和 21926 个位是6的数令外两个数字时4 5 个位是1的数令外两个数字时2 3 所以AB 有以下4种可能性 456231225 456321135 546231315 546321225 但差X的值只有3种可能性225 135 315 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第10题 如图 等边ABC 边长为240厘米 用折线CDEFGH把它分成6个面积相等的小三角形 那么线段AD DF FH HB BG GE EC中 最长的一条减去最短的一条的差 厘米 H G F E D CB A 分析与解 折线CDEFGH把它分成6个面积相等的小三角形 即 BGHFGHEFGDEFCDEACD SSSSSS 因为 1 5 ADCBDC SS 所以 1 5AD BD 1 24040 6 AD 厘米 5 240200 6 BD 厘米 因为 1 4 CEDBED SS 所以 1 4CE BE 1 24048 5 CE 厘米 4 240192 5 BE 厘米 因为 1 3 DFEBFE SS 所以 1 3DF BF 1 20050 4 DF 厘米 3 200150 4 BF 厘米 因为 1 2 EGFBGF SS 所以 1 2EG BG 1 19264 3 EG 厘米 2 192128 3 BG 厘米 因为 1 1 FHGBHG SS 所以 1 1FH BH 1 15075 2 FHBH 厘米 所以其中最长的是BG 最短的是AD 差1284088 厘米 2006 年上海市中学生业余数学学校年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试预备年级招生考试 城隍喵城隍喵 第11题 2006名学生排成一行 第一次从左到右1至3报数 第二次从右到左1至5报数 第三次从左到右1至5报 数 则第三次报的数等于前面两次报的数之和的学生有 名 分析与解 第一次报数 从左向右 1 2 3 第二次报数 从右向左 1 2 3 4 5 因为200654011 所以也可以看成从左向右 1 5 4 3 2 第三次报数 从左向右 1 2 3 4 5 3 515 从左向右每15个为一个周期 第一次 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 第二次 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 第三次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 左向右每15个中有2个满足第三次报的数等于前面两次报的数之和 20061513311 所以第三次报的数等于前面两次报的数之和的学生有13321267 名 第12题 有5个不同的球A B C D E要放进7个编号为1 2 3 4 5 6 7的盒子中 每个盒子最 多只能放一