2021高三数学北师大版（理）：等差数列及其前n项和含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（理）：等差数列及其前n项和含解析编 辑：_时 间：_n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系、并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起、每一项与它的前一项的差都等于同一个常数、那么这个数列就叫做等差数列、这个常数叫做等差数列的公差、公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN)、d为常数(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A、使a、A、b成等差数列、那么A叫作a与b的等差中项、即A.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d0时、等差数列an的通项公式andn(a1d)是关于d的一次函数(2)当d0时、等差数列an的前n项和Snn2n是关于n的二次函数4等差数列的前n项和的最值在等差数列an中、a10、d0、则Sn存在最大值；若a10、则Sn存在最小值等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n、mN)(2)若an为等差数列、且mnpq、则amanapaq(m、n、p、qN)(3)若an是等差数列、公差为d、则ak、akm、ak2m、(k、mN)是公差为md的等差数列(4)数列Sm、S2mSm、S3mS2m、(mN)也是等差数列、公差为m2d.(5)若an、bn均为等差数列且其前n项和为Sn、Tn、则.(6)若an是等差数列、则也是等差数列、其首项与an的首项相同、公差是an的公差的.(7)若等差数列an的项数为偶数2n、则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd、.(8)若等差数列an的项数为奇数2n1、则S2n1(2n1)an1；.一、思考辨析(正确的打“”、错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数、则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN、都有2an1anan2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1等差数列an中、a4a810、a106、则公差d等于()AB C2 DAa4a82a610、a65、又a106、公差d.故选A.2设数列an是等差数列、其前n项和为Sn、若a62且S530、则S8等于()A31B32C33D34B设数列an的公差为d、法一：由S55a330得a36、又a62、S832.法二：由得S88a1d82832.3已知等差数列8、3,2,7、则该数列的第100项为_487依题意得、该数列的首项为8、公差为5、所以a1008995487.4某剧场有20排座位、后一排比前一排多2个座位、最后一排有60个座位、则剧场总共的座位数为_820设第n排的座位数为an(nN)、数列an为等差数列、其公差d2、则ana1(n1)da12(n1)由已知a2060、得60a12(201)、解得a122、则剧场总共的座位数为820.考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d、通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解、等差数列中包含a1、d、n、an、Sn五个量、可“知三求二”(2)整体思想：当所给条件只有一个时、可将已知和所求都用a1、d表示、寻求两者间的联系、整体代换即可求解(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程1.(20xx全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40、a55、则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22nA由题知、解得an2n5、Snn24n、故选A.2(20xx全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4、a12、则a5等于()A12B10C10D12B设等差数列an的公差为d、由3S3S2S4、得32a1d4a1d、将a12代入上式、解得d3、故a5a1(51)d24(3)10.故选B.3(20xx黄山三模)算法统宗是中国古代数学名著、由明代数学家程大位编著、它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用、是东方古代数学的名著在这部著作中、许多数学问题都是以歌诀形式呈现的、“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿、若问生年总不知、自长排来差三岁、共年二百又零七、借问长儿多少岁、各儿岁数要详推在这个问题中、记这位公公的第n个儿子的年龄为an、则a1()A23B32C35D38C由题意可知年龄构成的数列为等差数列、其公差为3、则9a1(3)207、解得a135、故选C.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量、即首项a1和公差d.考点2等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后、再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后、再使用定义法证明数列an为等差数列 若数列an的前n项和为Sn、且满足an2SnSn10(n2)、a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时、由an2SnSn10、得SnSn12SnSn1、因为Sn0、所以2、又2、故是首项为2、公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n、所以Sn.当n2时、anSnSn1.当n1时、a1不适合上式故an证明成等差数列的关键是为与n无关的常数、同时注意求数列an的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n1的情形教师备选例题数列an满足an1、a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn、并证明.解(1)证明：an1、化简得2、即2、故数列是以1为首项、2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1、所以Snn2、.证明：1.故.1.已知数列an满足a11、且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2、a3；(2)证明数列是等差数列、并求an的通项公式解(1)由已知、得a22a14、则a22a14、又a11、所以a26.由2a33a212、得2a3123a2、所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)、得2、即2、所以数列是首项1、公差d2的等差数列则12(n1)2n1、所以an2n2n.2已知数列an的前n项和为Sn、a11、an0、anan1Sn1、其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在、使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1、an1an2Sn11、两式相减得an1(an2an)an1、由于an10、所以an2an.(2)由题设知a11、a1a2S11、可得a21.由(1)知、a31.令2a2a1a3、解得4.故an2an4、由此可得a2n1是首项为1、公差为4的等差数列、a2n14n3；a2n是首项为3、公差为4的等差数列、a2n4n1.所以an2n1、an1an2、因此存在4、使得数列an为等差数列考点3等差数列的性质及应用等差数列中常用的解题性质(1)项的性质：在等差数列an中、mnpq(m、n、p、qN)、则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中、Sn为其前n项和、则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.(3)在Sn中常用性质或等差中的项解题(1)正项等差数列an的前n项和为Sn、已知a3a9a150、则S11()A35B36C45D55(2)(20xx锦州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57、S1021、则S15等于()A35B42C49D63(3)已知Sn是等差数列an的前n项和、若a12 018、6、则S2 020_.(1)D(2)B(3)2 020(1)因为an为正项等差数列、故a3a92a6、所以a2a6150、解得a65或者a63(舍)、所以S1111a611555、故选D.(2)在等差数列an中、 S5、S10S5、S15S10成等差数列、即7,14、S1521成等差数列、所以7(S1521)214、解得S1542.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d、则6d6、d1.故2 019d2 0182 0191、S2 02012 0202 020.以数列项或和的下角标为突破口、结合等差数列的性质灵活解答教师备选例题(1)设数列an、bn都是等差数列、且a125、b175、a2b2100、则a37b37等于()A0B37C100D37(2)(20xx商洛模拟)等差数列an中、a13a8a15120、则2a9a10的值是()A20B22C24D8(3)设等差数列an的前n项和为Sn、若S39、S636、则a7a8a9等于()A63B45C36D27(1)C(2)C(3)B(1)设an、bn的公差分别为d1、d2、则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2、所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100、所以anbn为常数列、所以a37b37100.(2)因为a13a8a155a8120、所以a824、所以2a9a10a10a8a10a824.(3)由an是等差数列、得S3、S6S3、S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)、得到S9S62S63S345.1.已知等差数列an的前n项和为Sn、若m1、且am1am1a10、S2m139、则m等于()A39B20C19D10B数列an为等差数列、则am1am12am、则am1am1a10可化为2ama10、解得am1.又S2m1(2m1)am39、则m20.故选B.2设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn、若对任意的nN、都有、则的值为()A.B.C.D.C由题意可知b3b13b5b11b1b152b8、.故选C.考点4等差数列前n项和的最值问题求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn、通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10、d0时、满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时、满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.一题多解等差数列an的前n项和为Sn、已知a113、S3S11、当Sn最大时、n的值是()A5B6 C7D8C法一：(邻项变号法)由S3S11、得a4a5a110、根据等差数列的性质、可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列、从而得到a70、a80、当n14时、an0.所以当n12或n13时、Sn取得最大值法二：Sn20nn2n2.因为nN、所以当n12或n13时、Sn有最大值法三：由S10S15、得a11a12a13a14a150.所以5a130、即a130.所以当n12或n13时、Sn有最大值本题用了三种不同的方法、其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图像及性质给与解得、三种方法各有优点、灵活运用是解题的关键1.设数列an是公差d0的等差数列、Sn为其前n项和、若S65a110d、则Sn取最大值时、n的值为()A5B6C5或6D11C由题意得S66a115d5a110d、化简得a15d、所以a60、故当n5或6时、Sn最大2(20xx北京高考)设an是等差数列、a110、且a210、