课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两直线的位置关系学案理.docx

9.2两直线的位置关系考纲展示1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离考点1两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_；当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1l2_；如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为_答案：(1)k1k2平行(2)k1k21垂直2两条直线的交点答案：唯一解无解无穷多解 (1)教材习题改编若直线l过点(1,2)，且与直线yx垂直，则直线l的方程是_答案：xy10解析：由条件知，直线l的斜率k1，则其方程为y2(x1)，即xy10.(2)教材习题改编过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线yxm平行，则|AB|_.答案：解析：依题意有1，即ba1，则|AB|.两直线位置关系的重点：平行和垂直(1)若直线l1：2xmy10与直线l2：y3x1平行，则m_.答案：解析：若l1l2，则需满足 得 所以m的值是.(2)2016辽宁锦州模拟若直线l1：kx(1k)y30和l2：(k1)x(2k3)y20互相垂直，则k_.答案：3或1解析：由k(k1)(1k)(2k3)0，得k1或k3. 典题1(1)2017重庆巴蜀中学模拟若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于()A1 B C D2答案D解析由a1210，得a2，故选D.(2)2017浙江金华十校模拟“直线axy0与直线xay1平行”是“a1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由直线axy0与xay1平行，得a21，即a1，所以“直线axy0与xay1平行”是“a1”的必要不充分条件(3)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析依题意，设所求的直线方程为x2ya0，由于点(1,0)在所求直线上，则1a0，即a1，则所求的直线方程为x2y10.(4)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_答案4x3y60解析解法一：由方程组得即P(0,2)ll3，直线l的斜率k，直线l的方程为y2x，即4x3y60.解法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.点石成金1.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答2两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点3常见的三大直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.考点2距离公式的应用三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| 点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d距离问题中的易错点：平行线间的距离两平行直线3x4y10与6x8y180间的距离是_答案：2解析：两平行直线的方程分别是3x4y10和3x4y90，由两平行线间的距离公式得，所求距离d2.两平行直线l1，l2分别过点A(1,0)，B(0,5)，若l1与l2间的距离为5，则l1与l2的方程分别为_答案：y0与y5或5x12y50与5x12y600解析：依题意，两条直线的斜率必存在设所求直线方程为l1：yk(x1)，l2：ykx5.两条平行直线间的距离为5，5，解得k0或k，所求直线方程为l1：y0，l2：y5或l1：5x12y50，l2：5x12y600.典题2直线l经过点P(2，5)且与点A(3，2)和点B(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程解当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点A到直线l的距离为d11，点B到直线l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在，设为k，直线l过点P(2，5)，设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50.点A(3，2)到直线l的距离d1，点B(1,6)到直线l的距离d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直线方程为xy30和17xy290.点石成金利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.1.2017四川绵阳一诊若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.答案：C解析：因为，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.2直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_答案：x3y50或x1解析：解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则它的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意综上知，所求直线l的方程为x3y50或x1.解法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)，直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点3对称问题考情聚焦对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型主要有以下几个命题角度：角度一点关于点的中心对称问题典题3过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.角度二点关于直线的对称问题典题4已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_答案解析设A(x，y)，由已知得解得故A.角度三直线关于直线的对称问题典题5已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式，得直线m的方程为9x46y1020.角度四对称问题的应用典题6 在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于_答案解析以AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，设APx，则P(x,0)，x(0,4)，由光的反射定理知，点P关于直线BC，AC的对称点P1(4,4x)，P2(x,0)，与ABC的重心D共线，所以，解得x，AP.点石成金1.点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足2解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直3若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上4解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.方法技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.2与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.3直线l1：A1xB1yC10(AB0)，l2：A2xB2yC20(AB0)，则：(1)l1l2A1A2B1B20；(2)l1l2(A2B2C20)；(3)l1与l2相交(A2B20)；(4)l1与l2重合(A2B2C20)4对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法易错防范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式d的前提是将两方程中的x，y的系数化为对应相等 真题演练集训 12016四川卷设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)答案：A解析：不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，ln x2)，由于l1l2，所以1，则x1.又切线l1：yln x1(xx1)，l2：yln x2(xx2)，于是A(0，ln x11)，B(0,1ln x1)，所以|AB|2.联立解得xP.所以SPAB2xP，因为x11，所以x12，所以SPAB的取值范围是(0,1)，故选A.22013新课标全国卷已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A. (0,1) B. C. D. 答案：B解析：如图所示，点F在线段AB上时，可求得E，则SEFBSABC，整理得a，由可解得b；如图所示，当点F在点A左侧时，可求得E，G，则S四边形ABEGSBEFSAFGSABC，整理可得a22b24b1，由可解得1b或1b1(舍去)综上可得，b的取值范围为，故选B.32014江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案：3解析：由曲线yax2过点P(2，5)可得54a.又y2ax，所以在点P处的切线斜率4a.由解得a1，b2，所以ab3.42014四川卷设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_答案：5解析：直线xmy0与mxym30分别过定点A，B，A(0,0)，B(1,3)当点P与点A(或B)重合时，|PA|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立 课外拓展阅读 直线过定点及直线的距离最值问题专题一直线过定点问题直线l的方程中除去x，y还有其他字母(称为参数)，若直线l过一个定点P，求定点P的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P的坐标典例1已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P(2,3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1a2)的直线方程思路分析由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程解因为点P(2,3)在已知直线上，所以2a13b110,2a23b210，所以2(a1a2)3(b1b2)0，即，所以所求直线方程为yb1(xa1)所以2x3y(2a13b1)0，即2x3y10.典例2点P(2,1)到直线mxy30(mR)的最大距离是_思路分析解析解法一：点P(2,1)到直线mxy30(mR)的距离d，则设f(m)d244，下面求(mR)的最大值设34mt，则m.当m0，则4，当且仅当t，即t5时等号成立；当m时，0；当m时，t1，当且仅当t，即t5时等号成立综上可得，(mR)的最大值为4，所以点P(2,1)到直线mxy30(mR)的最大距离是2.解法二：对于直线l：mxy30(mR)，令m0，则有y30；令m1，则有xy30，解方程组得则直线l经过定点Q(0，3)，如图所示由原题答图知，当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值，此时|PQ|2，所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2.答案2方法探究受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴专题二有关直线的距离最值问题典例3已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大思路分析 解(1)设A关于直线l的对称点A(