几何图形中的综合探究问题.doc

专题四几何图形综合探究问题命题规律：纵观青海近五年中考，每年必考，而且此类题总是出现在试卷第27题，中考常与函数结合在一起考出现在压轴题，从考查的类型看主要包括从实际操作中探究、从特殊到一般的探究，存在性探究、动态探究，难度中偏上命题预测：预计2017年青海(西宁)中考仍会考查此类内容，复习时应加强各种类型的强化训练 从特殊到一般的探究性问题【例1】(2015临沂中考)如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.(1)请判断：AF与BE的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EAEDFDFC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AEDF，EDFC，第(1)问中的结论能成立吗？请直接写出你的判断【解析】根据正方形和等边三角形的性质，可以判定AF、BE所在的两个钝角三角形全等，利用全等三角形的性质可得AF和BE的数量关系和位置关系；(2)问的思路同(1)相似，只是增加了证明向外做的这两个等腰三角形全等的过程；(3)问思路同(2)问一样【学生解答】解：(1)AFBE，AFBE；(2)第(1)问中的判断仍然成立，证明：由EAEDFDFC和ADCD，可知ADEDCF，DAECDF，BAEBADDAEDAE90，ADFADCCDFCDF90，BAEADF.在BAE和ADF中，ABAD，AEDF，BAEADF，BAEADF，AFBE，由于BAEADF，FADEBA，又FADBAFBAD90，EBABAF90，AFBE；(3)第(1)问中结论都成立如图所示，AEDF，EDFC，ADCD.ADEDCF，其余证明和(2)一样【点拨】这类稍微改变条件，问同一结论是否仍然成立的问题，几个问题之间的思路往往一脉相承，其中体现了从特殊到一般的思维方法1(2016青海中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题,) ,图1),图2) ,图3)(1)探究1：小强看到图后，很快发现AEEF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证AEMEFC就行了，随着小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM.AEF90，FECAEB90，又EAMAEB90，EAMFEC，点E、M分别是正方形BC和AB的中点，AMEC，又BME为等腰Rt，AME135，又CF是正方形外角的平分线，ECF135，AEMEFC(ASA)，AEEF.(2)探究2：小强继续探索：如图2，若把条件“点E是BC的中点”改为“点E是BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AEEF仍然成立，请你证明这一结论(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC的延长线上的一点”其余条件仍不变，那么结论AEEF是否成立吗？若成立，请你完成证明过程给小强看，若不成立，请你说明理由证明：(2)在AB上截取AMEC，连接ME，ABBC，BMBE，BME45，AMEECF135，AEF90，FECAEB90，又EAMAEB90，EAMFEC，AEMEFC(ASA)，AEEF；(3)成立证明：延长BA到M，使AMCE，连接ME.BMBE，BME45，BMEECF，又ADBE，DAEBEA，又MADAEF90，DAEMADBEAAEF，即MAECEF，MAECEF(ASA)，AEEF.实践操作型综合探究问题【例2】在图至图中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图，若AOOB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图中的MN绕点O顺时针旋转得到图，其中AOOB.求证：ACBD，ACBD；(3)将图中的OB拉长为AO的k倍得到图，求的值【学生解答】解：(1)AOBD，AOBD；(2)如解图，过点B作BECA交DO于点E，ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOCBOE，ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45，245，BEBD，EBD90.ACBD.延长AC交BD的延长线于点F，如解图，BEAC，AFD90，ACBD；(3)如解图，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOEAOC.又OBkAO，由(2)的方法易得BEBD，k.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线的判定定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径：证明两线段所在直线夹角为90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明2(2015河南中考)如图1，在RtABC中，BC2AB8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现：当0时，_；当180时，_；(2)拓展探究：试判断：当0360时，的大小有无变化，请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决：当EDC旋转至A、D、E三点共线时，直线写出线段BD的长解：(1)；(2)无变化EDC在旋转过程中形状大小不变，EDCABC.又ACEBCD，CEACDB.在RtABC中，AC4，.，即的大小不变；(3)4或.几何图形的动态问题【例3】(2015青岛中考)已知：如图1，在ABCD中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速动，速度为1 cm/s，当PNM停止平移时，点Q也停止运动如图2，设运动时间为t(s)(0t4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQMN?(2)设QMC的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使SQMCS四边形ABQP14？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t，使PQMQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)当PQMN时，PQAB，利用平行线分线段成比例表示线段CP、AC、CQ、CB的比例关系，进而得出t值；(2)分别过点A，P作AEBC，PDBC分别于点E，D，利用相似三角形的性质得到PD的长，从而表示出SQPC，再根据平行线间的距离处处相等得SQMCSQPC，从而求出的函数关系式；(3)在(2)的基础上，用含t的式子表示SQMC和S四边形ABQP的式子，假设题中关系式成立，可得关于t的方程，t有解则存在；若t无解，则不存在；(4)假设PQMQ，则易证MQPPDQ，利用相似三角形的对应线段成比例，进而计算得出t的存在性【学生解答】(1)在RtABC中，由勾股定理得AC4.由平移性质可得MNAB.PQMN，PQAB.，即，解得t；(2)作PDBC于点D，AEBC于点E.由SABCABACAEBC可得AE.则由勾股定理易求CE.PDBC，AEBC，AEPD.CPDCAE.，即.PD，CD.PMBC，M到BC的距离hPD.QCM是面积yCQhtt2t；(3)PMBC，SPQCSMQC.若SQMCS四边形ABQP14，则SQMCSABC15，t2t6，整理得t24t40，解得t2.即当t2时，SQMCS四边形ABQP14；(4)若PQMQ，则MQPPDQ90.MPBC，MPQPQD.MQPPDQ.PQ2PMDQ.即PD2DQ2PMDQ，由CD，DQCDCQ.()2()25，整理得2t23t0.解得t10(舍)，t2.即当t时，PQMQ.【点拨】图形的运动变换主要是图形的平移、旋转和翻折这几种基本变换，每一种变换都涉及三角形的全等，而在平移问题中，由平行也可以得到的相似三角形，而全等和相似的性质就是解决这些问题的关键所在3如图，在四边形ABCD中，DCAB，DAAB，AD4 cm，DC5 cm，AB8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1 cm/s.当P点到达C点时，两点同时停止运动连接PQ，设运动时间为t s解答下列问题：(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？(2)设PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)当PQB为等腰三角形时，求t的值解：(1)过C作CEAB于点E，易得：BC5，当t5时，P、Q同时停止运动；(2)作PFAB于点F，根据题意，得AQt，BQ8t，BPt.BPFBCE，PFt.SPQBBQPF(t4)2.当t4时，PQB的面积最大，且Smax cm2；(3)若BPBQ，则t8t，t4 s；若QPQB，则，t s；若PQPB，则，