平面几何试题精选.doc

此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 01凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M 点 P Q 分别是 AMD 和 CMB 重心 R S 分 别是 DMC 和 MAB 的垂心 求证 PQ RS 证 过 A C 分别作 BD 的平行线 过 B D 分别作 AC 的平行线 这四条直线分别相 交于 X W Y Z 则四边形 XWYZ 为平行四边形 且 XW AC XZ 则四边形 XAMD MBYC 皆为平行四边形 由其对角线互相平分知 MX 在 AMD 中线所在直线上 MY 在 BMC 中线所在直线上 且 MP MX 1 3 MQ MY XY PQ 故欲证原命题 只需证 XY RS 这等价于 SY 2 SX 2 RY 2 RX 2 下证上式 由 S 为 AMB 垂心知 SB AM SB WY 同理 SA WX 则勾股定理知 SY 2 SB 2 BY 2 BY 2 SW 2 WB 2 BY 2 WB 2 SA 2 WA 2 SX 2 SA 2 XA 2 得 SY 2 SX 2 BY 2 WB 2 WA 2 XA 2 同理得 RY 2 YC 2 ZC 2 RD 2 DA 2 RX 2 DX 2 RD 2 故 RY 2 RX 2 YC 2 ZC 2 DZ 2 DX 2 由 XW DB YZ WY AC XZ 有 BY DZ WB XD AW YC AX ZC 比较 两式右边即有 SY 2 SX 2 RY 2 RX 2 由此即有 XY RS 从而得出 PQ RS 证毕 02已知 E F 是 ABC 两边 AB AC 的中点 CM BN 是 AB AC 边上的高 连线 EF MN 相交于 P 点 又设 O H 分别是 ABC 的外心和垂心 连接 AP OH 求证 AP OH 同苏炜杰 03 证 A B C D P Q M R X Y Z S W 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 引理 如图 设 BAP BAP 则 AP 与 AP sin BAP sin CAP sin BAP sin CAP 重合 引理的证明 事实上 式即 sin sin A sin sin A sin A sin sin A sin sin A cot sin A sin A cot cos A 即 AP 与 AP 重合 引理得证 回到原题 为了看得清 我们画两张图表示 过 A 作 AQ OH Q 我们证明 AP 与 AQ 重合 由引理只需证 sin 1 sin 2 sin 3 sin 4 先看右图 E P F 三点共线 以 A 为视点运用张角定理得 sin BAC AP sin 1 AF sin 2 AE 综合上二式有 sin 1 sin 2 1 AP 1 AN 1 AM 1 AE sin 1 sin 2 AF AN AM AE EM NF 又易有 M B C N 四点共圆 AM AB AN AC 即 2AM AE 2 AN AF sin 1 sin 2 EM NF 再看右图 AQH ANH AMH 90 A M Q H A Q H N 分别四点共圆 MHQ 3 BHQ 4 在 MOH 与 BOH 中分别运用正弦定理有 MO sin 3 OH sin OMH BO sin 4 OH sin OBH 两式相除有 其中 MO sin OMH OM cos OME EM sin 3 sin 4 OM sin OMH OB sin OBN 过 O 作 OG BN G 由 OGN GNF NFO 90 知 OGNF 为矩形 OG NF OB sin OBN OG NF A B P P C A B P C M N EF A BC M N EF HQ G O 34 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 sin 3 sin 4 EM NF 综合 知 式成立 故 AP OH 证毕 03设 H 为 ABC 的垂心 D E F 为 ABC 的外接圆上三点使得 AD BE CF S T U 分别为 D E F 关于边 BC CA AB 的对称点 求证 S T U H 四点共圆 同何长伟 02 但解法不同 证 我们先证明一些关于四边形 HUST 的性质 延长 AH BH CH 与 ABC 外接圆交于 A B C 熟知 H 与 A 关于 BC 对称 H 与 B 关于 AC 对称 H 与 C 关于 AB 对 称 又 D 与 S 关于 BC 对称 故四边形 DHA S 关于 BC 对称 故 DHA S 必为等腰梯形 四边形 HFUC 与 HTEB 同理亦然 HS A D HU C F HT B E SHA HA D 记 所对圆周角为 由 AD BE 知 CE DE AB 所对角为 C 所对角为 B 所对角为 DE AC CE 所对角为 B C AD SHA HA D B C UHC HC F CC F A 1 2 BC BF 1 2 BC CE AHC 180 C HA B UHA 180 C HU AHC C 同理可得 THA B 得 UHS B 得 SHT C 又 2 90 B C B C 2 90 A D A B AB AD A D 2R sin 90 HS 2R sin 90 同理可计算出 C F 2R sin 90 B BE 2R sin 90 C 从而 HU 2R sin 90 B HT 2R sin 90 C 由此有 HS HU HT sin 90 sin 90 B sin 90 C 综上我们得出了一些关于四边形 HUST 的性质 UHS B SHT C HU HS sin 90 B sin 90 HT HS sin 90 C sin 90 下面我们利用这些性质判定 H U S T 四点共圆 作 XYZ ABC 即 X A Y B Z C 在 ZY 与 X 异侧作 ZYW1 90 B YZW2 90 C YW1与 ZW2交于 W 连 接 XW ZWY 180 ZYW YZW 180 180 B C B C 180 ZXY X Z W Y 四点共圆 A B C D E F C B H S A T U 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 XZW XYW 180 XYW XYZ ZYW B 90 B 90 WXY WZY 90 C 由正弦定理知 WY WX sin WXY sin XYW sin 90 C sin 90 HT HS 又 YWX YZX C THS WZX HTS 从而 WYX HTS 同理可得 WZX HUS HTS HUS 180 从而 H T S U 四点共圆 证毕 评注 这一作法的出发点是想通过对线段长度以及角度的计算揭示 H T S U 四点 的一些并不明显的性质 利用熟知结论 垂心关于边的对称点在外接圆周上 将类似线段 转化为可求的 刻画了 对称 条件 角度的推算多次利用弧长 刻画了 平行 条件 后半部论证精神为同一法 事实上 一个四边形中若已知一个顶点引出的三条线段及两个 角 则这个四边形便已确定 04在 ABC 中 D 是 BC 边上一点 设 O1 O2分别是 ABD ACD 外心 O 是经过 A O1 O2三点的圆的圆心 记 ABC 的九点圆圆心为 Ni 作 O E BC E 求证 NiE AD 证 以 ABC 外接圆圆心为原点建立复平面 设其半径为 1 设 A cos sin B cos sin C cos sin ADB 由正弦定理知 2 sin 且 BAO1 CAO2 AB AO1 AC AO2 O1AO2 BAC 从而 AO1O2 ABC 且相似比为 1 2 sin 由 BAO1 90 知 ABC 变换为 AO1O2为一个绕 A 逆时针旋转 90 及以 A 为 中心位似比为 的位似变换之积 1 2 sin cos sin 对应复数为 cos i sin 则 AO 对应复数为 AO cos i sin cos 90 i sin 90 A 记为 1 2 sin 则 A sin i cos 1 2 sin O A A O 的横坐标即为 cos sin 2 sin sin 2 sin E 点坐标为 sin sin 2 sin 又由九点圆性质 设 O 为外心 G 为重心 则 且 Ni与 O 在 G 异侧 NiO OG 3 2 X YZ W 1 2 A B CE N O O D i O 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 设 G 为 G 点对应复数 Ni为 Ni点对应复数 则 Ni G A B C 3 2 3 2 于是 Ni坐标为 设 NiE 斜率为 k 则 cos 2 sin 2 sin 2 k tan sin sin cos sin sin 又 ADC AD 斜率亦为 tan 故 AD 与 BiE 平行 证毕 05设 ABC 的边 AB 中点为 N A B D 是射线 AC 上一点 满足 CD BC P 是 射线 DN 上一点 且与点 A 在边 BC 同侧 满足 PBC A PC 与 AB 交于点 E BC 与 DP 交于点 T 求表达式 的值 BC TC EA EB 解 我们先证明 CP 平分 ACB 且 CP BD 用同一法 作 ACB 平分线 CP 交 DN 于 P 则 BCP ACP CBD CDB C 1 2 P C BD 我们证明 P BC A 事实上 这只须证 BCP ADB 又由于我们已知 BCP ADB C 1 2 故只须证 CP BD BC AD 注意到 P C BD 故 CP BD CT BT 又 CD BC 故 CT BT CD AD 对直线 NTD 截 ABC 运用梅涅劳斯定理有 1 BT CT CD DA AN NB N 为 AB 中点 AH NB 得证 CT BT CD AD 从而 BCP ADB P BC A PBC P BC P P A 皆在 BC 同侧 P 与 P 皆在 ND 上 P P 即 CP 平分 ACB 且 CP BD 下证 2 对 ACD 截 BTN 有 1 BC TC EA EB BC EB TD DN NA AB N 为 AB 中点 2 BC TC 2DN TD 2NT TD CP 平分 ACB 我们证明 即可 EA EB AC CB 2NT TD AC CB CD BC 只须证 1 2NT TD CD AC A B C P E N D T P 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 对 BTC 截 AND 运用梅氏定理有 1 即 1 故 2 DC CA AB BN NT TD 2NT TD CD AC BC TC EA EB 综上所述 所求 2 BC YC EA EB 评注 从题目的问题得到提示 使用梅氏定理 比例的转换方向明确 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 06 ABC 中 BD 和 CE 为高 CG 和 BF 为角平分线 I 是内心 O 为外心 求证 D I E 三点共线 G O F 三点共线 证 记 BAC A ABC B ACB C BC a AB c AC b ABC 外接圆半径 为 R 内切圆半径为 r 易得 AO R AI AD c cos A 2R sin C cos A AE 2R sin B cos A EAI IAD GAO 90 C OAC 90 B A 2 由 AF FC b 解得 AF 同理可得 AG AF FC c a bc a c bc a b 由张角定理知 G O F 三点共线 sin A AO sin GAO AF sin OAC AG sin A R bc sin A R a b cos B a c cos C 利用正弦定理 2 sin A sin B sin C sin A sin B cos B sin A sin C cos C 2 sin A sin B sin C sin A cos B cos C sin B cos B sin C cos C 利用 sin B cos B sin C cos C sin 2B sin 2C sin B C cos B C sin A cos 1 2 B C 消去 sin A 得 2 sin B sin C cos B cos C cos B C 再对左边积化和差有 cos B C cos B C cos B cos C cos B C cos A cos B cos C 另一方面 D I E 三点共线 sin A AI sin EAI AD sin DAI AE 消去 sin 去分母有 r sin B sin C 2R sin A sin B sin C cos A A 2 又 S 2R 2 sin A sin B sin C r a b c 1 2 sin A sin B sin C 正弦定理 2R sin A sin B sin C r a b c 2R 故 sin B sin C sin A sin B sin C cos A 右边和差化积 右边利用熟知的三角形内恒等式 sin A sin B sin C 4 cos cos cos A 2 B 2 有 C 2 2 cos cos 4 cos cos cos cos A A 2 B C 2 A 2 B 2 C 2 消去 2 cos 再对 cos cos 积化和差有 A 2 B 2 C 2 A B C D E F H G I O 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 cos cos cos cos A cos 1 cos A sin cos A B C 2 B C 2 B C 2 B C 2 A 2 2 cos sin 2 cos A 2 cos sin cos A B C 2 A 2 B C 2 A 2 2 cos cos cos A cos B cos C cos A 积化和差 B C 2 B C 2 故 D I E 三点共线 cos A cos B cos C G O F 三点共线 D I E 共线 G O F 三点共线 证毕 07 ABC 中 A B 为锐角 CD 为高 O1 O2分别为 ACD 和 BCD 内心 问 ABC 满足怎样的充要条件 使得 A B O1 O2四点共圆 解 所求充要条件为 C 90 或 A B 其中 C ACB A CAB B CBA 记 AC b BC a AB c 外接圆半径为 R 过 O1作 O1H AB H 过 O2作 O2I AB I O2E O1H E 则 O1AB A O2BA B 1 2 1 2 故 A B O1 O2四点共圆 BAO1 FO2O1 O2E AB FO2E B 1 2 FO2O1 EO2F O1O2E FO2O1 B O1O2E 1 2 O1O2E O1O2E tan EO2O1 tan A 2 B 2 B A 2 B A 2 记 O1H rA O2i rB ADC 90 由直角三角形内心性质知 rA DH AD DC AC 2 同理 rB tan EO2O1 BD CD BC 2 O1E HI rA rB rA rB AD BD BC AC 2CD AB AC BC 易有 AD b cos A 2R sin B cos A BD 2R sin A cos B BC 2R sin A AC 2R sin B AB 2R sin C 代入有 tan EO2O1 sin B cos A sin A cos B sin A sin B 2 sin B sin A sin A B sin A sin B 下面分情况讨论 1 A B 时 左右两边皆为 0 式成立 1 2 AB C D E F HI O O 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 2 A B 时 sin 可约去 得 2 sin A sin B sin C sin A sin B 2 cos 2 B A 2 cos B A 2 B A 2 利用 2 sin A sin B cos B A cos A B cos B A cos C 2 cos 2 cos B A 2 B A 1 2 cos cos cos A cos B B A 2 B A 2 三式代入化简得 cos A cos B cos C 1 sin A sin B sin C 而由三角形内熟知恒等式 cos A cos B cos C 1 4 sin sin sin 得 A 2 B 2 C 2 1 sin A sin B sin C 1 2 sin cos 2 sin sin 1 2 cos cos A B 2 A B 2 A B 2 C 2 C 2 cos 1 4 sin sin cos A B 2 A B 2 A 2 B 2 C 2 结合两方面知 sin cos C 90 C 2 C 2 综合 1 2 知 C 90 或 A B 故 A B O1 O2四点共圆 C 90 或 A B 得证 08 ABC 的外心是 O 三条高线 AH BK CL 垂足分别为 H K L A0 B0 C0分别 是 AH BK CL 中点 I 为内切圆圆心 内切圆切 ABC 三边 BC CA AB 于 D E F 证明 A0D B0E C0F OI 四线共点 证 首先以引理的形式给出本图的一些内在特征 引理 1 AB CD CD 中点为 Q AB 中点为 R AC 与 BD 交于 P 则 P Q R 三点 共线 也即 QR AC BD 三线共点 引理 1 的证明 PCD 与 PAB 为以 P 为位似中心的位似关系 PQ 为 CD 中点 PR 为 AB 中点 故 Q R 为一对对应点 从而 P Q R 三点共线 引理 2 A0I 与 BC 交于 D 则 D 为 ABC 在 A 内旁切圆与 BC 的切点 并由此有 O 在 DD 中垂线上 引理 2 的证明 延长 DI 交 I 于 J 延长 AJ 交 BC 于 D 过 J 作 I 切线交 AB AC 于 B C 则 B C DI OI BC B C BC AB C 与 ABC 构成以 A 为位似中的位似关系 显然 I 为 AB C 在 A 内旁切圆 故 J 为旁切圆切点 AB CD P Q R A B C DP O C B J H I D A0 X 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 由 J 与 D 为对应点知 D 亦为旁切圆切点 而 A0为 AH 中点 I 为 JD 中点 由引理 1 知 D 在 IA0上 故 IA0与 BC 交于旁切圆切点 更进一步作 OP BC 于 P P 为 BC 中点 又由内切圆及旁切圆性质知 BD CD 故 P 又为 DD 中点 O 在 DD 中垂线上 引理 2 得证 下面回到原题 延长 OI 交 AD 于 X 我们通过计算证明 IX 为关于 A B C 对称 的值 从而证明原题 利用 A X D 三点共线 由张角定理知 sin AID IX sin A0IO ID sin DIO IA0 1 IX sin A0IO ID sin D ID sin DIO IA0 sin D ID 由 ID A0H 知 IA0 ID 而 代入得 DH DD ID DD 1 sin D ID 1 IX sin AIO ID sin D ID sin DIO DH 又 sin AID sin D IX sin D ID DIX sin AIO ID sin D ID cos DIX ID cos D ID sin DIX ID sin D ID cos DIX ID sin DIO D D sin DIO sin DIO 1 IX cos DIX ID 1 DH 1 DD cos DIX ID D H DH DD 由 代入有 sin DIO cos DIX sin D H DD A0H ID 1 IX cos DIX ID A0H DH ID 1 ID A0H DH DIO OP ID cos DIX cos POX sin DIO sin POX 括号中乘一个 OI 括号外除一个 OI 得 OQ IQ 其中 QO OP ID IQ PD DD 引理 2 知 1 IX 1 ID OI A0H DH 1 2 OP A0H 1 IX 1 ID OI 1 2 DD DH 1 OI 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 注意到 OI ID r 皆为对称的值 故我们仅须证 OP A0H 为对称的值 记为 1 2 DD DH MA 记 BAC A ABC B ACB C AC c AC b BC a 外接圆半径为 R 则 OP R cos A CD BD CH b cos C A0H AH b sin C R a b c 2 a b c 2 1 2 1 2 sin B sin C DH CD CH b cos C a b c 2 a b c 2 a 2 b 2 c 2 2a c b c b a 2a DD BC BD CD a a b c c b 故 A0H R sin B sin C 1 2 DD DH a b c a 故 MA R cos A 其中 sin A sin B sin C sin B sin C sin A sin B sin C sin A 2 cos cos 2 cos cos A 2 B C 2 B C 2 A 2 2 cos cos cos 2 cos sin sin A 2 B C 2 B C 2 A 2 B 2 C 2 sin A sin B sin C 8 sin sin sin cos cos cos A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 代入有 MA MB MC等价于 cos A 2 sin cos cos cos B 2 sin cos cos cos C 2 sin cos cos A 2 B 2 C 2 B 2 A 2 C 2 C 2 A 2 B 2 其中 cos A 2 sin cos cos cos B 2 sin cos cos A 2 B 2 C 2 B 2 A 2 C 2 cos A cos B 2 cos sin cos sin cos C 2 B 2 A 2 A 2 B 2 cos A cos B 2 sin sin 此式显然成立 A B 2 B A 2 故 MA MB 同理 MB MC MA MC MA MB MC IX 为关于 A B C 对称之值 即 A0D B0E C0F 都交于 OI 上同一点 即 A0D B0E C0F OI 四线共点 证毕 评注 此解法计算复杂 但思路清晰 09已知 ABC 过点 B C 的 O 与 AC AB 分别交于点 D E BD 与 CE 交于 F 直线 OF 与 ABC 外接圆交于 P 证明 PBD 的内心就是 PCE 的内心 A B C D E F G O P Q 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 证 引理 1 四边形 ABCD 内接于 O 对角线 AC BD 交于 E 直线 BA CD 交于 F 直 线 AD BC 交于 G 则 DE FQ 引理 1 的证明 首先 r 2 r 为半径 OE OF 过 F 作 O 切线 FP PQ 切 O 于 P Q FPA FBP AP PB FA FP FA FB 2 同理 2 AP PB FA FB PQ QC FD FC 由 FAD FCB 知 2 BC AD FB FC FD FA 上面三式相乘得 1 AP PB PQ QC BC AD BD AC PQ 三线共点 又由 E 在 PQ 上知 r 2 DE DF OR RE OF OR OF RE OF 0 OE FG OE OG OF OE OG OE OF 引理 2 四边形 ABCD 内接于 O 直线 BA CD 交于 F FAD 外接圆和 FBC 外 接圆交于 P 异于 F 则 OP PF 引理 2 的证明 APC FPC FPA 180 2 B 180 AOC A P C D 四点共圆 FPO FPC OPC 180 B OAC 180 B 90 B 90 OP PF 得证 引理 3 设 P 是半径为 r 的 O 上一动点 AB 是过圆心 O 的一射线上的两定点 且 OA OB r 2 则 是定值 PA PR 引理 3 的证明 OP 2 OB OA OBP OPA OB OP OP OA BP PA 2 2 PB PA OB OA PA PB OA OB 下证原题 设 CD DE 交于 Q QA 交 ABC 外接圆于一点 P 异于点 A QP QA QR QC QE QD P E D A 四点共圆 由引理 3 知 OP QA 由引理 2 知 OF QA A B C D F O P A BO P A B C D E F I O Q P 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 O F P 三点共线 P 与 P 重合 设 OF 与 O 交于 I 由引理 4 知 PB BF PI IF BI 平分 PBF 同理 PI 平分 PDF I 是 PBD 的内心 同理 I 也是 PCE 的内心 故命题得证 评注 此解法稍繁 可思考令 OF FP CF FE 的同一法 10设 A B 为圆 上两点 X 为 在 A 和 B 处切线的交点 在圆 上选取两点 C D 使 得 C D X 依次位于同一直线上 且 CA BD 再设 F G 分别为 CA 和 BD CD 和 AB 的交点 H 为 GX 的中垂线与 BD 的交点 证明 X F G H 四点共圆 证 设 O 为圆心 AB XD M XOA XAM OX XM XA 2 XC XD O M C D 四点共圆 XMP OCD ODC OMC CMG GMD 在 CM 上选取一点 Z 使 MX DZ 则 MD MZ CG GP CM MD CM MZ CX XD 在 GX 上取点 X 使 GKD DFX 在 X F 上取 W 使 CF GW 由 得 CG X D X C GD X D DG X F FG X E FW X C CG 由上面两式得 故 X X GFD XFD XD XC X D X C 又 1 和 XPB CDF ABC 则 ACD ADC 延长 OR 至 K0 使 OR RK0 DR RB AR RC 则 O B D K0共圆 DK0 R OBR 同理 A O C K 共圆 AK0R ACD AK0D ACO DBO BAD ABC APD A D K0 P 四点共圆 且 OK0P DK0P DK0O BAD OBD 2 同理 DK0Q 故 P K0 Q 共线 从而 K0 K 2 A P D K 共圆 C D K Q 共圆 又 AKP ADP CDQ CKQ OK 平分 AKC 同理 OK 平分 BKD 故 AKD BKC 成立 A C P O M N D Q L EF T A B O P K D Q C R 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 评注 本题亦可用阿波罗尼斯定理作 16圆外切四边形 ABCD 对边 AB 与 CD 交于点 F AD 与 BC 交于点 E 设 CC1 BF C1 EE1 BF E1 AA1 BC FF1 BC 证明 1 BC1F1与 BA1E1有相同的内心 I 2 设 BB1 CF B1 BB2 AE B2 B1F1C 的内心为 I1 B2A1C 的内心为 I2 则 I O I1 I2四点共圆 证 引理 XYZ 中 XX1 YZ YY1 XZ 且 XYZ 的内切圆与 ZY 切于 X2 与 XZ 切于 Y2 则 ZX1Y1的圆心即为 ZX2Y2的垂心 引理的证明 由 ZX1Y1 ZXY 相似比为 1 cos Z ZW1 ZW cos 这里 W W1分别是 XYZ 与 X1Y1Z1的内心 作 W1R YZ 于 R 则 ZR ZY2 cos R 是 Y2在 YZ 上的射影即 W1 在 ZX2Y2的 ZX2上的高上 同理它又 ZY2上的高上 故 W1是 ZX2Y2的垂心 从而引理得证 回到原题 设四边形 ABCD 切于 O 切点在 AB BC CD DA 上依次为 P Q R S 则 1 由引理可知 BPQ 的垂心既是 BA1E1的内心 又是 BF1C1的内心 2 设 O 半径为 r 由第 5 题结论可得 QI QO QI1 QI2 r 故 I O I1 I2都在以 Q 为圆心 r 为半径的圆上 评注 本题只需熟悉基本图形后便迎刃而解 17定直线 l1 l2交于点 O A 为 l2上定点 射线 OP 上一动点 M 设圆 过 OM 且圆心 K 在 MA 上 过 A 作 MA 的垂线交圆 于 E F 交射线 OP 于 M1 在 OP 的反向延长 线上取 N 使 ON OM1 当 M 运动时 证明 NEF 的外接圆过定点 证 在 FO 的延长线上取 OG OE 在 EO 的延长线上取 OH OF 过 O 作直线 m 与 l1垂直 则由 M 是 中点可知 OM 平分 EOF EF G E 关于 m 对称 HF 关于 m 对称 NM1也关于 m 对称 设 A 关于 M 的对称点为 A 则 A 也是定点 且 A 是 GH 的中点 下证 NEF 的外接圆恒过点 A AB P 1 1 1 1 O D F A C C F E E 1 1 2 2 1 X R Y Z X Y X Y A K 1 2 1 O M N G F m l H E M l 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 1 当 EF GH 时 由于 GEFH 中有 GE HF 且 GH EF 故此时 EFHG 为矩形 N 与 A 重合显然成立 2 当 EFGH 时 EFHG 是等腰梯形 设 HG 与 FE 交于点 R 显然 REG EFH 设相似比为 k 设 RE RG a 则 RF RH RG RE RF ka 2 RN ka a 2k k 1 RA a a a k 1 2 k 1 2 RN RA ka 2 RE RF 故 E F N A 四点共圆 NEF 的外接圆过点 A 评注 此题较有难度 要深入分析 18 ABC 中 AA BC A BB AC B CC AB C 证明 AB C BC A CA B 的欧拉线交于 ABC 的九点圆上同一点 P 证 设 ABC 垂心为 H 外心为 O 九点圆圆心为 K 则 K 为 OH 中点 设 AH BH CH 中点为 OA OB OC 则 OA OB OC均在九点圆上 且 OA OB OC分别 是 AB C BC A CA B 外心 这三个三角形的垂心分别为 HA HB HC 易证 AB C ABC A HA O 三点共线 A OA H 三点共线 对应边比值相同可知 AHA AH AOA AO AHA AO AOA AH OA HA H O 四点共圆 设 AB C BC A CA B 欧拉线交九点圆于 PA PB PC 只要证 PA PB PC 注意到 OAK 是 AHO 中位线 PAOAK PAHAO 180 AHO 又 KPA KOA PAKOA 180 2 PAOAK 2 AHO 180 同理 PBKOB 2 BHO 180 PAKOA PBKOB 2 AHO BHO 360 360 2 AHB 2 C 而 OAKOB 2 OAB OB 2 OAHB 2 C PAKOA PBKOB PA PB 同理可证 PB PC AB C BC A CA B 的欧拉线交于 ABC 九点圆上同一点 得证 评注 基本图形的深入命题 注意角的转换 A N G F R H E A A B B C C H O K P H A A A O 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 19给定锐角 ABC 过 A 作 BC 的垂线 垂足为 D 记 ABC 的垂心为 H 在 ABC 的 外接圆上任取一动点 P 延长 PH 交 APD 的外接圆于 Q 求 Q 点的轨迹 解 Q 点轨迹为 ABC 的九点圆 如图 取 AH BH PH 的中点 M N K 延长 AD 交 ABC 外接圆于 G 则熟知 HD DG 连接 KN MN KD PB PG 因为各取中点有 NKD BPG NMD BAG K N M D 四点共圆 又 Q 在 APD 的外接圆上 PH HQ AH HD 即 2KH HQ 2MH HD KH HQ MH HD 于是有 K D Q M N 五点共圆 又 DMN 外接圆为九点圆 所以 Q 在九点圆上 反之 在如上所述九点圆上任取一点 Q 设 Q H 延长线交 ABC 外接圆于 P 取 P H 中点 R 同上可证 R 在九点圆上 故 2RH HQ 2 KH HD 即 P H HQ AH HD 因此 Q 在 AP D 外接圆上 得证 评注 注重九点圆的性质 20凸四边形 ABCD O1过 AB 且与 CD 相切 O2过 CD 且与 AB 相切 O1和 O2 交于 E F 证明 若 BC AD 则 EF AC BD 三线共点 证 设 AB 切 O2于 P CD 切 O1于 Q O1 O2半径为 r1 r2 设 GA a GB b GC c GD d GP p GQ q 当 BC AD 时 p 2 cd q 2 ab a b c d p 2 q 2 cd ab c 2 a 2 d 2 b 2 p a b p q c d q 即 p q c a d b c d a b AP PB DQ QC A BC H P M N K G D Q A B C O P 1 2 O M N G D Q E F 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 MP PQ AP PB DQ QC PQ QN MP QN 又 MP PK KQ PK KQ QN PK QK S EPF S EQF 即 EP FP EF 4r2 EF EQ QF 4r1 EP FP EQ FQ r2 r1 EC DE EQ 2 DE EQ sin DQE sin EDQ sin EFQ sin EDC r2 r1 同理 FC FD FQ 2 EA EB EP 2 FA FB FP 2 r2 r1 r1 r2 r1 r2 设 EF AC R1 EF BD R2 AC BD R 则 AR1 CR1 S AEF S CEF r2 r1 AE AF CE CF 同理 BR2 DR2 r2 r1 BE BF DE DF 2 2 2 2 1 AR1 CR1 BR2 DR2 r2 r1 EA EB FA FB EC ED FC FD r2 r1 r1 r2 EP FP EQ FQ AR1 CR1 DR2 BR2 AR1 AC DR2 DB 又 AD BC AR AC DR DB AR1 AR DR2 DR 若 R1 R2 则 R1R2 AD 即 EF AD BC 这是不可能的 必有 R1 R2 R EF AC BD 三线共点 得证 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 21设点 A 是 O 外一点 过点 A 作 O 的切线 切点分别为 B C O 的切线 l 与 AB AC 分别交于 P Q 过点 P 且平行于 AC 的直线与 BC 交于点 R 证明 无论 l 如何变化 QR 恒过一定点 证 过 O 作垂直于 AO 的直线分别交 AB AC 于 D E 我们断言 RQ 恒过点 D 设 DQ 与 BC 交于 S 只须证 PS AC 即 S R 设切线切 O 于点 T 记 BOD COE BAO BPO TPO CQO TQO 则 2 AOP 2 过 P 作 AB 的垂线与 ED 的延长线交于点 F 则 A F P O 共圆 即 AFP AOP FAD PF BO 知 PFD 2 由对应角相等可得 AFD QOE PFD COE AP PD QC CE 由于 CS DE 知 QC CE QS SD 于是 因此 PS AQ AP PD QS SD 由于 AQ 与 AC 为同一条直线 故 PS AC 评注 关键在于找到 D 点 之后就迎刃而解了 22 ABC 内心为 I A 对应的旁心为 Ia IIa分别交 BC ABC 于 A M N 为 的中点 NI NIa分别交 ABC 于 S T 求证 S A T 三点共线 ABM 证 易知 MTIa MAN AN NM 在 MTIa中 MT MIa sin MIaT sin MTIa sin MIaT sin MAN 在 ANIa中 AN AIa sin MIaT sin ANT MT AN AIa MIa sin ANT sin MAN AT MN AT AN MT AT MIa AIa 同理 MS AS MI AI 易证 ACI AIaB MBA MAB ACA AMB A C O P D Q SR E F B T A A C a M N S B T I I 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 即 AB AC AI AIa AI AB AC AIa 即 MB 2 MA A M MB MA MA MB 即 AB AC AM AA AC AM AA AB 熟知 MI MB MIa 设 AM ST A 则 由 MA AA S MST S AST MS AS MT AT sin SMT sin SAT MIa AIa MI AI 由 MB 2 AI AIa MA A M MA AA MA AA MA MA 即 A 与 A 重合 MA MA MA AA S T A 三点共线 得证 评注 用三角变换 显然自然且必要 且 MI MB MIa为内心要重性质 切记 23设 ABC 内切圆与 BC CA AB 相切于 D E F 一圆与 ABC 内切圆切于 D 并 与 ABC 外接圆切于 K 点 M N 类似定义 求证 DK EM FN 相交于 DEF 的欧 拉线上 证 引理 ABC 内切圆切三边 BC CA AB 于 D E F 则 DEF 的欧拉线过 ABC 的外心 事实上 若 ABC 为等腰三角形 则 DEF 欧拉线即为底边中垂线 自然过 O 点 若 ABC 非等腰 不妨设 BC a CA b AB c 外接圆半径为 R 内切圆半径为 r 且 a b c A B C H 为 DEF 垂心 易求得 HDI BD a c b FDE B C 2 1 2 B C 2 设 DI OH D1 则 D1在线段 OH 上 且 HD1 D1O OH sin HDI OD sin IDO 2r sin B sin C 2R sin B sin C r R 设 EI OH D2 FI OH D3 则同理可得 HD2 D2O HD3 OD3 r R 因此 D1 D2 D3 即 EI DI FI 交于一点 且该点在 OH 上 而 DI EI FI 不重合 故 I 即为该交点 I 在 OH 上 引理得证 A C H O 1 K D E F B I O 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 回到原题 设与内切圆切于 D 并与 O 切于 K 的圆的圆心为 O1 类似定义 O2 O3 P1 DK OI P2 EM OI P3 FN OI 直线 P1DK 截 OIO1 由梅氏定理得 1 ID DO1 O1K KO OP1 P1I 又 O1K O1D 因此 同理 OP1 P1I OK ID R r OP2 P2I R r OP3 P3I 而 P1 P2 P3均在线段 OI 上 P1 P2 P3 又由引理知 OI 即为 DEF 欧拉线 DK EM FN 相交于 DEF 的欧拉线上 得证 评注 此题的引理应用广泛 值得熟练掌握 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 24已知圆内接四边形 ABCD 求证 AB CD AD BC 2 AC BD 证 情形 1 圆心 O 在 ABCD 内 不妨设 O 半径为 1 设 AOB BOC COD DOA 分别为 2 2 2 2 则 180 不妨设 则 AB CD 2 sin sin 4 sin cos 4 sin sin 2 2 2 2 同理 AD BC 4 sin cos 4 sin sin 2 2 2 2 AC BD 4 sin sin 2 2 AB CD AC BD 4 sin sin cos 8 sin sin cos 2 2 2 2 2 2 0 90 sin cos 0 2 2 2 2 AC BD AB CD 同理 AC BD AD BC AB CD AD BC 2 AC BD 情形 2 圆心 O 在 ABCD 外 不妨设 BC 靠点 O 最近 仍用前面的记号 此时有 90 AB CD 4 sin cos 4 sin cos 2 2 2 2 AD BC 4 sin cos 2 2 AC BD 4 sin cos 2 2 0 2 cos AB CD AC BD 2 2 2 又 cos cos 2 2 2 2 2 2 而 sin sin AD BC AC BD 2 2 2 2 2 综上所述 AB CD AD BC 2 AC BD 得证 评注 本题是 2005 年美国竞赛题 应大胆分解命题 25设 ABC 是非等腰的锐角三角形 O H 是 ABC 的外心和垂心 O 是其外接圆 lA lB lC是 O 在 A B C 处的切线 过 H 作 OH 的垂线 l 分别交 lA lB lC于 A C D B A C D B 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 A1 B1 C1 A1关于 A 的对称点为 A2 类似定义 B2 C2 求证 A2 B2 C2三点共 线 证 A0 lB lC B0 lA lC C0 lA lB AA1 u BB1 v CC1 w A0B A0C a B0C B0A b C0A C0B b 则直线 l 截 A0B0C0得 1 a w b w b u c u v c v a 即 a w b u v c b w c u v a 要证 A2 B2 C2共线 由梅氏定理逆定理知只需证 1 即 1 A0C2 B0C2 B0A2 C0A2 C0B2 A0B2 a w b w b u c u v c c a 即 a w b u v c b w c u v a 结合 式知 bcw abv acu abu bcv acw u v w 0 1 b 1 c 1 c 1 a 1 b 1 a 设 B0A0C0 A B0C0A0 C C0B0A0 B BAC B C 2 ABC ACB A C 2 A B 2 设 O 半径为 r tan x tan y tan z 则 A 2 B 2 C 2 xy yz zx 1 tan 1 a 1 r A 2 x r 1 b y r 1 c z r 易证 O C1 C H 四点共圆 OC1C OHC cot OC1C cot OHC CH OC sin 180 OCH OHC sin OHC sin OCH cot OHC cos OCH 而 OCH 代入上式化简可得 B A 2 c