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理论力学 普通高等教育 十一五 国家级规划教材 第2章共点力系和力偶系 理论力学 2 5力偶系的合成与平衡 2 4力偶及其性质 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 2 1共点力系合成与平衡的几何法 静力学 2 3共点力系合成与平衡的解析法 第2章共点力系和力偶系 2 1共点力系合成与平衡的几何法 共点力系合成的几何法 共点力系平衡的几何条件 F2 F1 FR F3 F4 B C D E 表达式 FR F1 F2 F3 F4 2 1 1合成的几何法 2 1共点力系合成与平衡的几何法 把各力矢首尾相接 形成一条折线 称为开口的多边形 加上一封闭边 就得到一个多边形 称为力多边形 力多边形法则 2 1共点力系合成与平衡的几何法 共点力系可以合成为一个力 合力作用在力系的公共作用点 它等于这些力的矢量和 并可由这力系的力多边形的封闭边表示 矢量的表达式 平面共点力系的合成结果 FR 2 1共点力系合成与平衡的几何法 该力系的力多边形自行闭合 即力系中各力的矢量和于零 共点力系平衡的充分必要几何条件为 2 1 2共点力系平衡的充要几何条件 2 1共点力系合成与平衡的几何法 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 力的投影 力沿坐标轴的分解 力在某轴上投影 等于力的模乘以与该轴正向间夹角的余弦 2 2 1力在轴上的投影 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 力在坐标轴的投影 已知力F的三个投影 力F的大小和方向可分别表示为 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 注意力在轴上的投影是一代数量 力在一平面上的投影仍是一矢量 由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线 由垂足A 到B 所构成的矢量A B 就是力F在平面Oxy上的投影 记为Fxy 2 2 2力在平面上的投影 力Fxy的大小 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 二次投影 x y z F 力在平面上的投影 力在轴上的投影 O 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 引入x y z轴单位矢i j k 则可写为 将力F按坐标轴x y z方向分解得Fx Fy Fz 称为力F沿各坐标轴的轴向分量 2 2 3力沿坐标轴的分解 有 2 2力的投影 力沿坐标轴的分解 合力投影定理 共点力系平衡的充要解析条件 2 3共点力系合成与平衡的解析法 共点力系的合力在任一轴上的投影 等于力系中所有各力在同一轴上投影的代数和 2 3 1合力投影定理 Fx ae ab bc cd de F2x bc F3x cd F4x de F1x ab 2 3共点力系合成与平衡的解析法 Fx ae ab bc cd de F2x bc F3x cd F4x de F1x ab Fx F1x F2x F3x F4x Fx F1x F2x Fnx Fx 推广到任意多个力F1 F2 Fn组成的平面共点力系 可得 Fy F1y F2y Fny Fy Fz F1z F2z Fnz Fz 2 3共点力系合成与平衡的解析法 空间共点力系的平衡方程 力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零 2 3 2共点力系平衡的充要条件 2 3共点力系合成与平衡的解析法 例2 1曲杆CD与直杆AB的中点C铰链连接 如图2 7b所示 今在杆端B作用铅垂力F 20kN 已知AD AC l 不计杆的重量 求固定铰链支座A和D的约束力 2 3共点力系合成与平衡的解析法 解1几何法 曲杆CD是二力体 受力如图b所示 b c 2 3共点力系合成与平衡的解析法 取直杆AB为研究对象 受力如图c所示 F 画出封闭的力三角形 如图d所示 c 由正弦定理可得 其中 45 26 38 解得 2 3共点力系合成与平衡的解析法 解2解析法 c 选坐标轴如图c所示 2 3共点力系合成与平衡的解析法 例2 2直杆AB和AC用球铰链A B C连接 如图2 8a 并用绳索AD系住 在A的下端悬挂重G的物体E 杆AB与AC垂直 并使O A B C四点在同一水平面内 如果不计其余物体的重量 求杆AB AC以及绳索AD所受的力 2 3共点力系合成与平衡的解析法 a 2 3共点力系合成与平衡的解析法 解 取球铰链A为研究对象 受力如图b所示 联立求解得 列平衡方程 b FAC和FAB为负值 说明该力实际指向与图上假定指向相反 即杆AB实与杆AC际上受压力 力偶矩矢 力偶 力偶矩 力偶等效定理 2 4力偶及其性质 作用效果 引起物体的转动 力和力偶是静力学的二基本量 力偶 大小相等的二反向平行力 力偶特性二 力偶只能用力偶来代替 即只能和另一力偶等效 因而也只能与力偶平衡 力偶特性一 力偶中的二个力 既不平衡 也不可能合成为一个力 2 4 1力偶 力偶矩 2 4力偶及其性质 力偶矩 力偶中任何一个力的大小与力偶臂p的乘积 加上适当的正负号 M F1 p 力偶臂 力偶中两个力的作用线之间的距离 力偶矩正负规定 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势 力偶矩取正号 反之 取负号 p F1 F2 A B 2 4力偶及其性质 M F1 p 一般力偶表示为 力矩的值也可由三角形OAB面积的2倍表示 M 2 OAB面积 2 4力偶及其性质 2 4 2力偶的等效条件 1 平面内力偶的等效定理 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等 力偶特性三 力偶可以在其作用面内任意搬移 即力偶在作用面内的位置不是力偶效应的特征 2 4力偶及其性质 因此 以后可用力偶的转向箭头来代替力偶 M F1 p F 1 p 力偶特性四 唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值 即保持力偶矩不变 可以改变其力或力臂的大小 2 4力偶及其性质 2 平行平面内力偶的等效定理 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应 力偶等效定理 作用在刚体上同一平面内或平行平面内的两个力偶 设有大小相等的力偶矩 且转向相同 即是等效力偶 2 4力偶及其性质 3 符号 M 1 概念 用来表示力偶矩的大小 转向 作用面方位的有向线段 2 力偶的三要素 力偶矩的大小 力偶的转向 力偶作用面的方位 2 4 3力偶矩矢 2 4力偶及其性质 矢量M的模表示力偶矩的大小 方位垂直于力偶作用平面 指向表示力偶的转向 符合右手螺旋规则 力偶矩矢是自由矢量 一般从力偶矩中点画出 空间力偶可用一个矢量M表示 该矢量M称为力偶矩矢 空间力偶等效定理 空间两个力偶等效的充要条件是 这两个力偶的力偶矩矢相等 2 4力偶及其性质 力偶系的合成 力偶系平衡的充要条件 2 5力偶系的合成与平衡 空间力偶系可合成为一力偶 合力偶的矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和 2 5 1 力偶系的合成 即 证明 B点 F R F 1 F 2 F1 F 1 和 F2 F 2 分别为作用平面 和 内的力偶 A点 FR F1 F2 由于F1 F 1 F2 F 2 故FR F R 2 5力偶系的合成与平衡 求合力偶矢M M2 F2q M1 F1q MR FRq FR F1 F2 FRq F1q F2q MR M1 M2 合成结果为一个合力偶 FR F R 设力偶系由任意个力偶组成 则有 即 力偶矩矢是按平行四边形定律相加 2 5力偶系的合成与平衡 上式投影到直角坐标轴上 得 即合力偶矩矢在某一轴上的投影 等于它的各分力偶矩矢在同一轴上投影的代数和 如果已知合力偶矩矢的三个投影 可由下式确定合力偶矩矢的大小和方向 2 5力偶系的合成与平衡 力偶矩矢多边形自行闭合 即力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零 力偶系的平衡方程 2 5 2力偶系平衡的充要条件 2 5力偶系的合成与平衡 例题2 7 第二章平面基本力系 解 杆AB为二力杆 例2 3如图所示的铰接四连杆机构OABD 在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶 而使机构在图示位置处于平衡 已知力偶矩M2 OA r DB 2r 30 不计杆重 试求力偶矩M1的值 由于力偶只能与力偶平衡 则AO杆与BD杆的受力如图所示 2 5力偶系的合成与平衡 第二章平面基本力系 M1 r FABcos 0 M1 M2 2 分别写出杆AO和BD的平衡方程 M2 2r FBAcos 0 由 FAB FBA 得 因为 则得 2 5力偶系的合成与平衡 2 5力偶系的合成与平衡 例2 4曲柄OA长r 作有用力偶矩为M的力偶 通过连杆AB带动滑块B作水平往复运动 假设在图a位置时 整个机构处于静止状态 已知作用在滑块B的水平力F 角度 和曲柄长r 不计机构重量 摩擦和滑块尺寸 求作用在曲柄OA上的力偶M F a O A B r M 2 5力偶系的合成与平衡 取曲杆OA为研究对象 由于力偶只能与力偶平衡 受力如图b所示 取滑块B为研究对象 受力如图c所示 解 连杆AB为二力体 r FABsin M 0 由 得 FABcos F 0 解得 例2 5图示是正方体刚体的一半 在其中三个侧面分别作用着一个力偶 已知力偶 F1 F 1 的矩M1 20N