中考数学真题分类汇编第三期专题31点直线与圆的位置关系试题含解析.doc

点直线与圆的位置关系一.选择题1（2018重庆市B卷）（4.00分）如图、ABC中、A=30、点O是边AB上一点、以点O为圆心、以OB为半径作圆、O恰好与AC相切于点D、连接BD若BD平分ABC、AD=2、则线段CD的长是（）A2BCD【分析】连接OD、得RtOAD、由A=30、AD=2、可求出OD.AO的长；由BD平分ABC、OB=OD可得OD 与BC间的位置关系、根据平行线分线段成比例定理、得结论【解答】解：连接ODOD是O的半径、AC是O的切线、点D是切点、ODAC在RtAOD中、A=30、AD=2、OD=OB=2、AO=4、ODB=OBD、又BD平分ABC、OBD=CBDODB=CBDODCB、即CD=故选：B【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理、解决本题亦可说明C=90、利用A=30、AB=6、先得AC的长、再求CD遇切点连圆心得直角、是通常添加的辅助线2. （2018广安3分）下列命题中：如果ab、那么a2b2一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形从圆外一点可以引圆的两条切线、它们的切线长相等关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根、则a的取值范围是a1其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案【解答】解：如果ab、那么a2b2、错误；一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形、错误；从圆外一点可以引圆的两条切线、它们的切线长相等、正确；关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根、则a的取值范围是a1且a0、故此选项错误故选：A【点评】此题主要考查了命题与定理、正确把握相关性质是解题关键3.（2018江苏常州2分）如图、AB是O的直径、MN是O的切线、切点为N、如果MNB=52、则NOA的度数为（）A76B56C54D52【分析】先利用切线的性质得ONM=90、则可计算出ONB=38、再利用等腰三角形的性质得到B=ONB=38、然后根据圆周角定理得NOA的度数【解答】解：MN是O的切线、ONNM、ONM=90、ONB=90MNB=9052=38、ON=OB、B=ONB=38、NOA=2B=76故选：A【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理二.填空题1.（2018浙江省台州5分）如图、AB是O的直径、C是O上的点、过点C作O的切线交AB的延长线于点D若A=32、则D=26度【分析】连接OC、根据圆周角定理得到COD=2A、根据切线的性质计算即可【解答】解：连接OC、由圆周角定理得、COD=2A=64、CD为O的切线、OCCD、D=90COD=26、故答案为：26【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键三.解答题1. （2018广西贺州10分）如图、AB是O的弦、过AB的中点E作ECOA、垂足为C、过点B作直线BD交CE的延长线于点D、使得DB=DE（1）求证：BD是O的切线；（2）若AB=12、DB=5、求AOB的面积【解答】（1）证明：OA=OB、DB=DE、A=OBA、DEB=DBE、ECOA、DEB=AEC、A+DEB=90、OBA+DBE=90、OBD=90、OB是圆的半径、BD是O的切线；（2）过点D作DFAB于点F、连接OE、点E是AB的中点、AB=12、AE=EB=6、OEAB、又DE=DB、DFBE、DB=5、DB=DE、EF=BF=3、DF=4、AEC=DEF、A=EDF、OEAB、DFAB、AEO=DFE=90、AEODFE、即、得EO=4.5、AOB的面积是：=272. （2018广西梧州10分）如图、AB是M的直径、BC是M的切线、切点为B、C是BC上（除B点外）的任意一点、连接CM交M于点G、过点C作DCBC交BG的延长线于点D、连接AG并延长交BC于点E（1）求证：ABEBCD；（2）若MB=BE=1、求CD的长度【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质、证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE、根据三角形相似求得GH、得到MB.GH和CD的数量关系、求得CD【解答】（1）证明：BC为M切线ABC=90DCBCBCD=90ABC=BCDAB是M的直径AGB=90即：BGAECBD=AABEBCD（2）解：过点G作GHBC于HMB=BE=1AB=2AE=由（1）根据面积法ABBE=BGAEBG=由勾股定理：AG=、GE=GHABGH=又GHAB同理：+、得CD=【点评】本题是几何综合题、综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似解答时、注意根据条件构造相似三角形3. （2018湖北江汉8分）如图、在O中、AB为直径、AC为弦过BC延长线上一点G、作GDAO于点D、交AC于点E、交O于点F、M是GE的中点、连接CF、CM（1）判断CM与O的位置关系、并说明理由；（2）若ECF=2A、CM=6、CF=4、求MF的长【分析】（1）连接OC、如图、利用圆周角定理得到ACB=90、再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME、所以G=1、接着证明1+2=90、从而得到OCM=90、然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为O的切线；（2）先证明G=A、再证明EMC=4、则可判定EFCECM、利用相似比先计算出CE、再计算出EF、然后计算MEEF即可【解答】解：（1）CM与O相切理由如下：连接OC、如图、GDAO于点D、G+GBD=90、AB为直径、ACB=90、M点为GE的中点、MC=MG=ME、G=1、OB=OC、B=2、1+2=90、OCM=90、OCCM、CM为O的切线；（2）1+3+4=90、5+3+4=90、1=5、而1=G、5=A、G=A、4=2A、4=2G、而EMC=G+1=2G、EMC=4、而FEC=CEM、EFCECM、=、即=、CE=4、EF=、MF=MEEF=6=4. （2018湖北十堰8分）如图、ABC中、AB=AC、以AB为直径的O交BC于点D、交AC于点E、过点D作FGAC于点F、交AB的延长线于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若tanC=2、求的值【分析】（1）欲证明FG是O的切线、只要证明ODFG；（2）由GDBGAD、设BG=a可得=、推出DG=2a、AG=4a、由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.ODAB是直径、ADB=90、即ADBC、AC=AB、CD=BD、OA=OB、ODAC、DFAC、ODDF、FG是O的切线（2）解：tanC=2、BD=CD、BD：AD=1：2、GDB+ODB=90、ADO+ODB=90、OA=OD、OAD=ODA、GDB=GAD、G=G、GDBGAD、设BG=a=、DG=2a、AG=4a、BG：GA=1：4【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识、解题的关键是学会添加常用辅助线、构造三角形中位线或相似三角形解决问题、属于中考常考题型5.（2018四川省攀枝花）如图、在ABC中、AB=AC、以AB为直径的O分别与BC.AC交于点D.E、过点D作DFAC于点F（1）若O的半径为3、CDF=15、求阴影部分的面积；（2）求证：DF是O的切线；（3）求证：EDF=DAC（1）解：连接OE、过O作OMAC于M、则AMO=90DFAC、DFC=90FDC=15、C=1809015=75AB=AC、ABC=C=75、BAC=180ABCC=30、OM=OA=、AM=OM=OA=OE、OMAC、AE=2AM=3、BAC=AEO=30、AOE=1803030=120、阴影部分的面积S=S扇形AOESAOE=3；（2）证明：连接OD、AB=AC、OB=OD、ABC=C、ABC=ODB、ODB=C、ACODDFAC、DFODOD过O、DF是O的切线；（3）证明：连接BE、AB为O的直径、AEB=90、BEACDFAC、BEDF、FDC=EBCEBC=DAC、FDC=DACA.B.D.E四点共圆、DEF=ABCABC=C、DEC=CDFAC、EDF=FDC、EDF=DAC6.（2018云南省昆明8分）如图、AB是O的直径、ED切O于点C、AD交O于点F、AC平分BAD、连接BF（1）求证：ADED；（2）若CD=4、AF=2、求O的半径【分析】（1）连接OC、如图、先证明OCAD、然后利用切线的性质得OCDE、从而得到ADED；（2）OC交BF于H、如图、利用圆周角定理得到AFB=90、再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4、CHF=90、利用垂径定理得到BH=FH=4、然后利用勾股定理计算出AB、从而得到O的半径【解答】（1）证明：连接OC、如图、AC平分BAD、1=2、OA=OC、1=3、2=3、OCAD、ED切O于点C、OCDE、ADED；（2）解：OC交BF于H、如图、AB为直径、AFB=90、易得四边形CDFH为矩形、FH=CD=4、CHF=90、OHBF、BH=FH=4、BF=8、在RtABF中、AB=2、O的半径为【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线、必连过切点的半径、构造定理图、得出垂直关系也考查了垂径定理和圆周角定理7.（2018云南省曲靖）如图、AB为O的直径、点C为O上一点、将弧BC沿直线BC翻折、使弧BC的中点D恰好与圆心O重合、连接OC、CD、BD、过点C的切线与线段BA的延长线交于点P、连接AD、在PB的另一侧作MPB=ADC（1）判断PM与O的位置关系、并说明理由；（2）若PC=、求四边形OCDB的面积【解答】解：（1）PM与O相切理由如下：连接DO并延长交PM于E、如图、弧BC沿直线BC翻折、使弧BC的中点D恰好与圆心O重合、OC=DC、BO=BD、OC=DC=BO=BD、四边形OBDC为菱形、ODBC、OCD和OBD都是等边三角形、COD=BOD=60、COP=EOP=60、MPB=ADC、而ADC=ABC、ABC=MPB、PMBC、OEPM、OE=OP、PC为O的切线、OCPC、OC=OP、OE=OC、而OEPC、PM是O的切线；（2）在RtOPC中、OC=PC=1、四边形OCDB的面积=2SOCD=212=8.（2018云南省9分）如图、已知AB是O上的点、C是O上的点、点D在AB的延长线上、BCD=BAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若D=30、BD=2、求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OC、易证BCD=OCA、由于AB是直径、所以ACB=90、所以OCA+OCB=BCD+OCB=90、CD是O的切线（2）设O的半径为r、AB=2r、由于D=30、OCD=90、所以可求出r=2、AOC=120、BC=2、由勾股定理可知：AC=2、分别计算OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接OC、OA=OC、BAC=OCA、BCD=BAC、BCD=OCA、AB是直径、ACB=90、OCA+OCB=BCD+OCB=90OCD=90OC是半径、CD是O的切线（2）设O的半径为r、AB=2r、D=30、OCD=90、OD=2r、COB=60r+2=2r、r=2、AOC=120BC=2、由勾股定理可知：AC=2易求SAOC=21=S扇形OAC=阴影部分面积为【点评】本题考查圆的综合问题、涉及圆的切线判定、勾股定理、含30度的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识、需要学生灵活运用所学知识9（2018辽宁省沈阳市）（10.00分）如图、BE是O的直径、点A和点D是O上的两点、过点A作O的切线交BE延长线于点（1）若ADE=25、求C的度数；（2）若AB=AC、CE=2、求O半径的长【分析】（1）连接OA、利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：（1）连接OA、AC是O的切线、OA是O的半径、OAAC、OAC=90、ADE=25、AOE=2ADE=50、C=90AOE=9050=40；（2）AB=AC、B=C、AOC=2B、AOC=2C、OAC=90、AOC+C=90、3C=90、C=30、OA=OC、设O的半径为r、CE=2、r=、解得：r=2、O的半径为2【点评】此题考查切线的性质、关键是根据切线的性质进行解答10（2018辽宁省盘锦市）如图、在RtABC中、C=90、点D在线段AB上、以AD为直径的O与BC相交于点E、与AC相交于点F、B=BAE=30（1）求证：BC是O的切线；（2）若AC=3、求O的半径r；（3）在（1）的条件下、判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形、并说明理由【解答】解：（1）如图1、连接OE、OA=OE、BAE=OEABAE=30、OEA=30、AOE=BAE+OEA=60在BOE中、B=30、OEB=180BBOE=90、OEBC点E在O上、BC是O的切线；（2）如图21B=BAE=30、AEC=B+BAE=60在RtACE中、AC=3、sinAEC=、AE=2、连接DE1AD是O的直径、AED=90在RtADE中、BAE=30、cosDAE=、AD=4、O的半径r=AD=2；（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形、理由：如图3在RtABC中、B=30、BAC=60、连接OF、OA=OF、AOF是等边三角形、OA=AF、AOF=60、连接EF、OE、OE=OFOEB=90、B=30、AOE=90+30=120、EOF=AOEAOF=60OE=OF、OEF是等边三角形、OE=EFOA=OE、OA=AF=EF=OE、四边形OAFE是菱形11.（2018辽宁省葫芦岛市) 如图、AB是O的直径、 =、E是OB的中点、连接CE并延长到点F、使EF=CE连接AF交O于点D、连接BD、BF（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若OB=2、求BD的长【解答】（1）证明：连接OCAB是O的直径、 =、BOC=90E是OB的中点、OE=BE在OCE和BFE中、OCEBFE（SAS）、OBF=COE=90、直线BF是O的切线；（2）解：OB=OC=2、由（1）得：OCEBFE、BF=OC=2、AF=2、SABF=、42=2BD、BD=12（2018辽宁省抚顺市）（12.00分）如图、RtABC中、ABC=90、以AB为直径作O、点D为O上一点、且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E（1）判断直线CD与O的位置关系、并说明理由；（2）若BE=4、DE=8、求AC的长【分析】（1）欲证明CD是切线、只要证明ODCD、利用全等三角形的性质即可证明；（2）设O的半径为r在RtOBE中、根据OE2=EB2+OB2、可得（8r）2=r2+42、推出r=3、由tanE=、推出=、可得CD=BC=6、再利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OCCB=CD、CO=CO、OB=OD、OCBOCD、ODC=OBC=90、ODDC、DC是O的切线（2）解：设O的半径为r在RtOBE中、OE2=EB2+OB2、（8r）2=r2+42、r=3、tanE=、=、CD=BC=6、在RtABC中、AC=6【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识、解题的关键是学会添加常用辅助线、属于中考常考题型13. （2018呼和浩特10分）如图、已知BCAC、圆心O在AC上、点M与点C分别是AC与O的交点、点D是MB与O的交点、点P是AD延长线与BC的交点、且=（1）求证：PD是O的切线；（2）若AD=12、AM=MC、求的值（1）证明：连接OD.OP、CD=、A=A、ADMAPO、ADM=APO、MDPO、1=4、2=3、OD=OM、3=4、1=2、OP=OP、OD=OC、ODPOCP、ODP=OCP、BCAC、OCP=90、ODAP、PD是O的切线（2）连接CD由（1）可知：PC=PD、AM=MC、AM=2MO=2R、在RtAOD中、OD2+AD2=OA2、R2+122=9R2、R=3、OD=3、MC=6、=、DP=6、O是MC的中点、=、点P是BC的中点、BP=CP=DP=6、MC是O的直径、BDC=CDM=90、在RtBCM中、BC=2DP=12、MC=6、BM=6、BCMCDM、=、即=、MD=2、=14. （2018乐山10分）如图、P是O外的一点、PA.PB是O的两条切线、A.B是切点、PO交AB于点F、延长BO交O于点C、交PA的延长交于点Q、连结AC（1）求证：ACPO；（2）设D为PB的中点、QD交AB于点E、若O的半径为3、CQ=2、求的值（1）证明：PA.PB是O的两条切线、A.B是切点、PA=PB、且PO平分BPA、POABBC是直径、CAB=90、ACAB、ACPO；（2）解：连结OA.DF、如图、 PA.PB是O的两条切线、A.B是切点、OAQ=PBQ=90在RtOAQ中、OA=OC=3、OQ=5由QA2+OA2=OQ2、得QA=4在RtPBQ中、PA=PB、QB=OQ+OB=8、由QB2+PB2=PQ2、得82+PB2=（PB+4）2、解得PB=6、PA=PB=6OPAB、BF=AF=AB又D为PB的中点、DFAP、DF=PA=3、DFEQEA、 =、设AE=4t、FE=3t、则AF=AE+FE=7t、BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t、 =15. （2018广安9分）如图、已知AB是O的直径、P是BA延长线上一点、PC切O于点C、CG是O的弦、CGAB、垂足为D（1）求证：PCA=ABC（2）过点A作AEPC交O于点E、交CD于点F、连接BE、若cosP=、CF=10、求BE的长【分析】（1）连接半径OC、根据切线的性质得：OCPC、由圆周角定理得：ACB=90、所以PCA=OCB、再由同圆的半径相等可得：OCB=ABC、从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明CAF=ACF、则AF=CF=10、根据cosP=cosFAD=、可得AD=8、FD=6、得CD=CF+FD=16、设OC=r、OD=r8、根据勾股定理列方程可得r的值、再由三角函数cosEAB=、可得AE的长、从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OCAE、P=EAO、由垂直的定义得：OCD=EAO=P、同理利用三角函数求得：CH=8、并设AO=5x、AH=4x、表示OH=3x、OC=3x8、由OC=OA列式可得x的值、最后同理得结论【解答】证明：（1）连接OC、交AE于H、PC是O的切线、OCPC、PCO=90、PCA+ACO=90、（1分）AB是O的直径、ACB=90、（2分）ACO+OCB=90、PCA=OCB、（3分）OC=OB、OCB=ABC、PCA=ABC；（4分）（2）方法一：AEPC、CAF=PCA、ABCG、ACF=ABC、（5分）ABC=PCA、CA