中考数学真题分类汇编第三期专题25矩形菱形与正方形试题含解析.doc

矩形菱形与正方形一.选择题1. （2018广西贺州3分）如图、正方形ABCD的边长为1、以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH、依此下去、第n个正方形的面积为（）A（）n1B2n1C（）nD2n【解答】解：第一个正方形的面积为1=20、第二个正方形的面积为（）2=2=21、第三个正方形的边长为22、第n个正方形的面积为2n1、故选：B2. （2018湖北十堰3分）菱形不具备的性质是（）A四条边都相等B对角线一定相等C是轴对称图形D是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等、是轴对称图形、也是中心对称图形、对角线垂直不一定相等、故选：B【点评】本题考查菱形的性质、解题的关键是熟练掌握菱形的性质、属于中考基础题3. （2018广西梧州3分）如图、在正方形ABCD中、A.B.C三点的坐标分别是（1、2）、（1、0）、（3、0）、将正方形ABCD向右平移3个单位、则平移后点D的坐标是（）A（6、2）B（0、2）C（2、0）D（2、2）【分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标、再将D点横坐标加上3、纵坐标不变即可【解答】解：在正方形ABCD中、A.B.C三点的坐标分别是（1、2）、（1、0）、（3、0）、D（3、2）、将正方形ABCD向右平移3个单位、则平移后点D的坐标是（0、2）、故选：B【点评】本题考查了正方形的性质、坐标与图形变化平移、是基础题、比较简单4. （2018湖北江汉3分）如图、正方形ABCD中、AB=6、G是BC的中点将ABG沿AG对折至AFG、延长GF交DC于点E、则DE的长是（）A1B1.5C2D2.5【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAFERtADE；在直角ECG中、根据勾股定理即可求出DE的长【解答】解：AB=AD=AF、D=AFE=90、在RtABG和RtAFG中、RtAFERtADE、EF=DE、设DE=FE=x、则EC=6xG为BC中点、BC=6、CG=3、在RtECG中、根据勾股定理、得：（6x）2+9=（x+3）2、解得x=2则DE=2故选：C5.（2018四川省攀枝花3分）如图、在矩形ABCD中、E是AB边的中点、沿EC对折矩形ABCD、使B点落在点P处、折痕为EC、连结AP并延长AP交CD于F点、连结CP并延长CP交AD于Q点给出以下结论：四边形AECF为平行四边形；PBA=APQ；FPC为等腰三角形；APBEPC其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4解：如图、EC、BP交于点G；点P是点B关于直线EC的对称点、EC垂直平分BP、EP=EB、EBP=EPB点E为AB中点、AE=EB、AE=EP、PAB=PBAPAB+PBA+APB=180、即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180、PAB+PBA=90、APBP、AFEC；AECF、四边形AECF是平行四边形、故正确；APB=90、APQ+BPC=90、由折叠得：BC=PC、BPC=PBC四边形ABCD是正方形、ABC=ABP+PBC=90、ABP=APQ、故正确；AFEC、FPC=PCE=BCEPFC是钝角、当BPC是等边三角形、即BCE=30时、才有FPC=FCP、如右图、PCF不一定是等腰三角形、故不正确；AF=EC、AD=BC=PC、ADF=EPC=90、RtEPCFDA（HL）ADF=APB=90、FAD=ABP、当BP=AD或BPC是等边三角形时、APBFDA、APBEPC、故不正确；其中正确结论有、2个 故选B6.（2018云南省曲靖4分）如图、在正方形ABCD中、连接AC、以点A为圆心、适当长为半径画弧、交AB.AC于点M、N、分别以M、N为圆心、大于MN长的一半为半径画弧、两弧交于点H、连结AH并延长交BC于点E、再分别以A.E为圆心、以大于AE长的一半为半径画弧、两弧交于点P、Q、作直线PQ、分别交CD、AC、AB于点F、G、L、交CB的延长线于点K、连接GE、下列结论：LKB=22.5、GEAB、tanCGF=、SCGE：SCAB=1：4其中正确的是（）ABCD【解答】解：四边形ABCD是正方形、BAC=BAD=45、由作图可知：AE平分BAC、BAE=CAE=22.5、PQ是AE的中垂线、AEPQ、AOL=90、AOL=LBK=90、ALO=KLB、LKB=BAE=22.5；故正确；OG是AE的中垂线、AG=EG、AEG=EAG=22.5=BAE、EGAB、故正确；LAO=GAO、AOL=AOG=90、ALO=AGO、CGF=AGO、BLK=ALO、CGF=BLK、在RtBKL中、tanCGF=tanBLK=、故正确；连接EL、AL=AG=EG、EGAB、四边形ALEG是菱形、AL=EL=EGBL、EGAB、CEGCBA、=、故不正确；本题正确的是：、故选：A7.（2018浙江省台州4分）下列命题正确的是（）A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形、A错误；对角线相等的平行四边形是矩形、B错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形、C正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断、正确的命题叫真命题、错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理8. （2018莱芜3分）如图、在矩形ABCD中、ADC的平分线与AB交于E、点F在DE的延长线上、BFE=90、连接AF、CF、CF与AB交于G有以下结论：AE=BCAF=CFBF2=FGFCEGAE=BGAB其中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】只要证明ADE为直角三角形即可只要证明AEFCBF（SAS）即可；假设BF2=FGFC、则FBGFCB、推出FBG=FCB=45、由ACF=45、推出ACB=90、显然不可能、故错误、由ADFGBF、可得=、由EGCD、推出=、推出=、由AD=AE、EGAE=BGAB、故正确、【解答】解：DE平分ADC、ADC为直角、ADE=90=45、ADE为直角三角形AD=AE、又四边形ABCD矩形、AD=BC、AE=BCBFE=90、BFE=AED=45、BFE为等腰直角三角形、则有EF=BF又AEF=DFB+ABF=135、CBF=ABC+ABF=135、AEF=CBF在AEF和CBF中、AE=BC、AEF=CBF、EF=BF、AEFCBF（SAS）AF=CF假设BF2=FGFC、则FBGFCB、FBG=FCB=45、ACF=45、ACB=90、显然不可能、故错误、BGF=180CGB、DAF=90+EAF=90+（90AGF）=180AGF、AGF=BGC、DAF=BGF、ADF=FBG=45、ADFGBF、=、EGCD、=、=、AD=AE、EGAE=BGAB、故正确、故选：C【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题、属于中考常考题型9. （2018陕西3分） 如图、在菱形ABCD中、点E.F、G、H分别是边AB.BC.CD和DA的中点、连接EF、FG、GH和HE若EH2EF、则下列结论正确的是A. ABEF B. AB2EF C. ABEF D. ABEF【答案】D【解析】【分析】连接AC.BD交于点O、由菱形的性质可得OA=AC、OB=BD、ACBD、由中位线定理可得EH=BD、EF=AC、根据EH=2EF、可得OA=EF、OB=2EF、在RtAOB中、根据勾股定理即可求得AB=EF、由此即可得到答案.【详解】连接AC.BD交于点O、四边形ABCD是菱形、OA=AC、OB=BD、ACBD、E.F、G、H分别是边AB.BC.CD和DA的中点、EH=BD、EF=AC、EH=2EF、OA=EF、OB=2OA=2EF、在RtAOB中、AB=EF、故选D. 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等、正确添加辅助线是解决问题的关键.10.（2018辽宁大连3分）如图、菱形ABCD中、对角线AC、BD相交于点O、若AB=5、AC=6、则BD的长是（）A8B7C4D3解：四边形ABCD是菱形、OA=OC=3、OB=OD、ACBD在RtAOB中、AOB=90、根据勾股定理、得：OB=4、BD=2OB=8 故选A11.（2018江苏常州2分）下列命题中、假命题是（）A一组对边相等的四边形是平行四边形B三个角是直角的四边形是矩形C四边相等的四边形是菱形D有一个角是直角的菱形是正方形【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案【解答】解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、是假命题；B.三个角是直角的四边形是矩形、是真命题；C.四边相等的四边形是菱形、是真命题；D.有一个角是直角的菱形是正方形、是真命题；故选：A【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别、关键是根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答二.填空题1. （2018广西贺州3分）如图、正方形ABCD的边长为12、点E在边AB上、BE=8、过点E作EFBC、分别交BD.CD于G、F两点若点P、Q分别为DG、CE的中点、则PQ的长为 【解答】解：作QMEF于点M、作PNEF于点N、作QHPN交PN的延长线于点H、如右图所示、正方形ABCD的边长为12、BE=8、EFBC、点P、Q分别为DG、CE的中点、DF=4、CF=8、EF=12、MQ=4、PN=2、MF=6、QMEF、PNEF、BE=8、DF=4、EGBFGD、即、解得、FG=4、FN=2、MN=62=4、QH=4、PH=PN+QM、PH=6、PQ=、故答案为：22.（2018四川省攀枝花3分）如图、在矩形ABCD中、AB=4、AD=3、矩形内部有一动点P满足SPAB=S矩形ABCD、则点P到A.B两点的距离之和PA+PB的最小值为 解：设ABP中AB边上的高是hSPAB=S矩形ABCD、 ABh=ABAD、h=AD=2、动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上、如图、作A关于直线l的对称点E、连接AE、连接BE、则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中、AB=4、AE=2+2=4、BE=4、即PA+PB的最小值为4故答案为：43.（2018浙江省台州5分）如图、在正方形ABCD中、AB=3、点E、F分别在CD、AD上、CE=DF、BE、CF相交于点G若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3、则BCG的周长为+3【分析】根据面积之比得出BGC的面积等于正方形面积的、进而依据BCG的面积以及勾股定理、得出BG+CG的长、进而得出其周长【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3、阴影部分的面积为9=6、空白部分的面积为96=3、由CE=DF、BC=CD、BCE=CDF=90、可得BCECDF、BCG的面积与四边形DEGF的面积相等、均为3=、设BG=a、CG=b、则ab=、又a2+b2=32、a2+2ab+b2=9+6=15、即（a+b）2=15、a+b=、即BG+CG=、BCG的周长=+3、故答案为：+3【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题解题时注意数形结合思想与方程思想的应用4(2018辽宁省葫芦岛市) 如图、在菱形OABC中、点B在x轴上、点A的标为（2、3）、则点C的坐标为（2、3）【解答】解：四边形OABC是菱形、A.C关于直线OB对称A（2、3）、C（2、3） 故答案为：（2、3）5（2018辽宁省阜新市）如图、在矩形ABCD中、点E为AD中点、BD和CE相交于点F、如果DF=2、那么线段BF的长度为4【解答】解：四边形ABCD是矩形、ADBC、AD=BC、DEFBCF、 =点E为AD中点、DE=AD、DE=BC、 =、BF=2DF=4故答案为：46. （2018呼和浩特3分）如图、已知正方形ABCD、点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）、且AMAB、CBE由DAM平移得到若过点E作EHAC、H为垂足、则有以下结论：点M位置变化、使得DHC=60时、2BE=DM；无论点M运动到何处、都有DM=HM；无论点M运动到何处、CHM一定大于135其中正确结论的序号为 解：由题可得、AM=BE、AB=EM=AD、四边形ABCD是正方形、EHAC、EM=AH、AHE=90、MEH=DAH=45=EAH、EH=AH、MEHDAH（SAS）、MHE=DHA、MH=DH、MHD=AHE=90、DHM是等腰直角三角形、DM=HM、故正确；当DHC=60时、ADH=6045=15、ADM=4515=30、RtADM中、DM=2AM、即DM=2BE、故正确；点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）、且AMAB、AHMBAC=45、CHM135、故正确；故答案为：7. （2018乐山3分）如图、四边形ABCD是正方形、延长AB到点E、使AE=AC、连结CE、则BCE的度数是 度解：四边形ABCD是正方形、CAB=BCA=45；ACE中、AC=AE、则：ACE=AEC=（180CAE）=67.5；BCE=ACEACB=22.5故答案为：22.58. （2018莱芜4分）如图、正三角形和矩形具有一条公共边、矩形内有一个正方形、其四个顶点都在矩形的边上、正三角形和正方形的面积分别是2和2、则图中阴影部分的面积是2【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长、然后求大矩形的面积、从而求得图中阴影部分的面积【解答】解：设正三角形的边长为a、则a2=2、解得a=2则图中阴影部分的面积=22=2故答案是：2【点评】考查了二次根式的应用解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽9. （2018湖北咸宁3分）如图、将正方形OEFG放在平面直角坐标系中、O是坐标原点、点E的坐标为（2、3）、则点F的坐标为_【答案】（1、5）【解析】【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标、再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标【详解】如图、过点E作x轴的垂线EH、垂足为H过点G作x轴的垂线EG、垂足为G、连接GE.FO交于点O、四边形OEFG是正方形、OG=EO、GOM=OEH、OGM=EOH、在OGM与EOH中、 、OGMEOH（ASA）、GM=OH=2、OM=EH=3、G（3、2）、O（、）、点F与点O关于点O对称、点F的坐标为 （1、5）、故答案是：（1、5）【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等、正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.10.（2018江苏镇江2分）如图、点E.F、G分别在菱形ABCD的边AB、BC、AD上、AE=AB、CF=CB、AG=AD已知EFG的面积等于6、则菱形ABCD的面积等于27【解答】解：在CD上截取一点H、使得CH=CD连接AC交BD于O、BD交EF于Q、EG交AC于P=、EGBD、同法可证：FHBD、EGFH、同法可证EFGF、四边形EFGH是平行四边形、四边形ABCD是菱形、ACBD、EFEG、四边形EFGH是矩形、易证点O在线段FG上、四边形EQOP是矩形、SEFG=6、S矩形EQOP=3、即OPOQ=3、OP：OA=BE：AB=2：3、OA=OP、同法可证OB=3OQ、S菱形ABCD=ACBD=3OP6OQ=9OPOQ=27故答案为27三.解答题1. （2018广西贺州8分）如图、在ABC中、ACB=90、O、D分别是边AC.AB的中点、过点C作CEAB交DO的延长线于点E、连接AE（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24、tanBAC=、求BC的长【解答】（1）证明：点O是AC中点、OA=OC、CEAB、DAO=ECO、在AOD和COE中、AODCOE（ASA）、AD=CE、CEAB、四边形AECD是平行四边形、又CD是RtABC斜边AB上的中线、CD=AD、四边形AECD是菱形；（2）由（1）知、四边形AECD是菱形、ACED、在RtAOD中、tanDAO=、设OD=3x、OA=4x、则ED=2OD=6x、AC=2OA=8x、由题意可得：、解得：x=1、OD=3、O、D分别是AC、AB的中点、OD是ABC的中位线、BC=2OD=62. （2018湖北荆州8分）如图、对折矩形纸片ABCD、使AB与DC重合、得到折痕MN、将纸片展平；再一次折叠、使点D落到MN上的点F处、折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G求证：（1）AFGAFP；（2）APG为等边三角形【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD.BC的中点、DCMNAB、F为PG的中点、即PF=GF、由折叠可得：PFA=D=90、1=2、在AFP和AFG中、AFPAFG（SAS）；（2）AFPAFG、AP=AG、AFPG、2=3、1=2、1=2=3=30、2+3=60、即PAG=60、APG为等边三角形3. （2018湖北十堰10分）已知正方形ABCD与正方形CEFG、M是AF的中点、连接DM、EM（1）如图1、点E在CD上、点G在BC的延长线上、请判断DM、EM的数量关系与位置关系、并直接写出结论；（2）如图2、点E在DC的延长线上、点G在BC上、（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转、使D、E、F三点在一条直线上、若AB=13、CE=5、请画出图形、并直接写出MF的长【分析】（1）结论：DMEM、DM=EM只要证明AMHFME、推出MH=ME、AH=EF=EC、推出DH=DE、因为EDH=90、可得DMEM、DM=ME；（2）结论不变、证明方法类似；（3）分两种情形画出图形、理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【解答】解：（1）结论：DMEM、DM=EM理由：如图1中、延长EM交AD于H四边形ABCD是正方形、四边形EFGC是正方形、ADE=DEF=90、AD=CD、ADEF、MAH=MFE、AM=MF、AMH=FME、AMHFME、MH=ME、AH=EF=EC、DH=DE、EDH=90、DMEM、DM=ME（2）如图2中、结论不变DMEM、DM=EM理由：如图2中、延长EM交DA的延长线于H四边形ABCD是正方形、四边形EFGC是正方形、ADE=DEF=90、AD=CD、ADEF、MAH=MFE、AM=MF、AMH=FME、AMHFME、MH=ME、AH=EF=EC、DH=DE、EDH=90、DMEM、DM=ME（3）如图3中、作MRDE于R在RtCDE中、DE=12、DM=NE、DMME、MR=DE、MR=DE=6、DR=RE=6、在RtFMR中、FM=如图4中、作MRDE于R在RtMRF中、FM=、故满足条件的MF的值为或【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质、灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键4.（2018四川省攀枝花）已知ABC中、A=90（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹、不写作法）；（2）如图2、设BC边上的中线为AD、求证：BC=2AD（1）解：如图1、AD为所作；（2）证明：延长AD到E、使ED=AD、连接EB.EC、如图2CD=BD、AD=ED、四边形ABEC为平行四边形CAB=90、四边形ABEC为矩形、AE=BC、BC=2AD5.（2018云南省昆明12分）如图1、在矩形ABCD中、P为CD边上一点（DPCP）、APB=90将ADP沿AP翻折得到ADP、PD的延长线交边AB于点M、过点B作BNMP交DC于点N（1）求证：AD2=DPPC；（2）请判断四边形PMBN的形状、并说明理由；（3）如图2、连接AC、分别交PM、PB于点E、F若=、求的值【分析】（1）过点P作PGAB于点G、易知四边形DPGA、四边形PCBG是矩形、所以AD=PG、DP=AG、GB=PC、易证APGPBG、所以PG2=AGGB、即AD2=DPPC；（2）DPAB、所以DPA=PAM、由题意可知：DPA=APM、所以PAM=APM、由于APBPAM=APBAPM、即ABP=MPB、从而可知PM=MB=AM、又易证四边形PMBN是平行四边形、所以四边形PMBN是菱形；（3）由于=、可设DP=1、AD=2、由（1）可知：AG=DP=1、PG=AD=2、从而求出GB=PC=4、AB=AG+GB=5、由于CPAB、从而可证PCFBAF、PCEMAE、从而可得、从而可求出EF=AFAE=AC=AC、从而可得=【解答】解：（1）过点P作PGAB于点G、易知四边形DPGA、四边形PCBG是矩形、AD=PG、DP=AG、GB=PCAPB=90、APG+GPB=GPB+PBG=90、APG=PBG、APGPBG、PG2=AGGB、即AD2=DPPC；（2）DPAB、DPA=PAM、由题意可知：DPA=APM、PAM=APM、APBPAM=APBAPM、即ABP=MPBAM=PM、PM=MB、PM=MB、又易证四边形PMBN是平行四边形、四边形PMBN是菱形；（3）由于=、可设DP=1、AD=2、由（1）可知：AG=DP=1、PG=AD=2、PG2=AGGB、4=1GB、GB=PC=4、AB=AG+GB=5、CPAB、PCFBAF、=、又易证：PCEMAE、AM=AB=、EF=AFAE=AC=AC、=【点评】本题考查相似三角形的综合问题、涉及相似三角形的性质与判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质等知识、综合程度较高、需要学生灵活运用所学知识6（2018辽宁省沈阳市）（8.00分）如图、在菱形ABCD中、对角线AC与BD交于点O过点C作BD的平行线、过点D作AC的平行线、两直线相交于点E（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1、DE=2、ABCD的面积是4【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形、只需推知四边形OCED是平行