反比例函数考点例析.doc

反比例函数考点例析反比例函数是中考的重点内容之一，中考要求：理解反比例函数的概念、会用待定系数法等方法求解析式、能利用图像判断其增减性。思想方法的考查主要是数形结合及方程的思想。分类思想在中考题中也时有体现。本文就从近几年中考题常见题型的角度解读如何抓住考点复习反比例函数考点一：面积与反比例函数1、运用k的几何意义解题例1，如图，ADx轴于D，AEy轴于E,由图像信息可知：S阴= 解析：S阴=SAEOD-SCOD -SBOE, 由k的几何意义可知：SAEOD=4，SCOD =SBOE=1所以S阴=4-2=22、运用等积变形例2，如图，AB/x轴，P是x轴上的一个动点，由图像信息可知：SPAB= 解析：因为AB/x轴，所以SPAB= SOAB，显然由k的几何意义可知： SOAB=|k1|/2+|k2|/2=|-4|/2+2/2=3点评：PAB与OAB同底等高，所以面积相等。3、运用中心对称对称性解题例3，如图，反比例函数y=2/x图像两点A、B，AB过O点，ACx轴于C,连BC,则SABC= 解析：由反比例函数图像是中心对称图形可知：OA=OB,所以SAOC= SBOC，又由k的几何意义可知：SAOC=1，所以SABC=2点评：反比例函数图像是以原点O为对称中心的中心对称图形4、运用轴对称解题例4，（2012深圳市 ）如图5，双曲线与O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向轴和轴作垂线。已知点的坐标为（1，3）则图中阴影部分的面积为 。解析：本题考查反比例函数值的几何意义，阴影部分的面积等于减去重叠部分面积的两倍。由于P（1，3），故，由对称性易知于是重叠部分是边长为1的正方形，则 点评：熟悉反比例函数值的几何意义用及反比例函数的图象关于对轴是解决问题的关键。 5、设出点的坐标例5，如图，ADx轴于D，AEy轴于E,由图像信息可知：S阴= 解析：本题看上去无从下手，此时只要设出点A的坐标（a,4/a）,就可以顺利的表示出B(a/2,4/a),C(a,2/a).从而S阴=1/2ABAC=0.5(a- a/2) (4/a-2/a)=0.5点评：当感到无从入手时，要设出点的坐标，再运用数形结合求解考点二：反比例函数中k的求法1，构造K字型相似例6，（2013乐山）如图6，已知第一象限内的点A在反比例函数 y =1/x 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y =K/X 的图象上，且OA0B ，tanA=3，则k的值为A-3 B.-6 C.- 9 D.-2解析：如图，分别过A、B两点作x轴的垂线于G、F，不难看出GOAFBO,由tanA=3可以发现GOA与FBO的相似比为1:3，由k的几何意义可知S GOA=1/2,由相似形的性质可得S FBO =9/2，由k的几何意义可知k=-9。反思：若把题目的条件tanA=3和结论k=-9互换，这个命题仍然是真命题，在近几年的中考题中也常有出现。2、运用对称性例7，（2012聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y=k/x（k0）的图象上与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于9，则k= 解析：由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为正方形面积的1/4，设正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，进而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，进而得出反比例函数的解析式点评：本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式及正方形的性质，根据题意得出直线AB的解析式是解答此题的关键3、构造平行线，设出点的坐标求k例8，如图，双曲线经过RtOMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA2AN，OAB的面积为5，,求k的值解析：由条件OA2AN、OAB的面积为5，不难发现NAB的面积为2.5。过点A作AEx轴于E,若设出A（a,b）,由EOAMON可以很快求出N（3/2a,3/2b）,又由xN=xB=3/2a,再由k的代数意义可知xAyA=xByB,=k,从而yB=2/3b,所以B(3/2a, 2/3b),由SONB=7.5可以得出方程1/2BNOM=7.5所以1/2(3/2b- 2/3b) 3/2a=7.5，所以k=ab=12点评：这种题型是求k题目中最复杂的，过分点A作NM的平行线及设出点A的坐标是本题的关键。考点三：方程（不等式）与反比例函数1、题目不同呈现方式的变式例9，由图像信息可知：x= 时，y1=y2x 时，y1y2x 时，y1y2变一：由图像信息可知：方程k2/x= k1x+b(或方程k1x+b-k2/x=0)的解x= 不等式k1x+bk2/x的解集为 不等式k1x+bk2/x的解集为 解析：这两道题实质是同一道题，只是题目呈现方式不同，由由图像信息可知x=-1或3时，y1=y2； x3或-1x0时，y1y2 ； x-3 或0x3时，y1y22、不同图形的变式变二：由图像信息可知：x= 时，y1=y2x 时，y1y2x 时，y1y2解析：由由图像信息可知x=1或3时y1=y2; x0 或-1x3时，y1y2；0x1或x3时y1y2点评：条件x0时，y1y2经常容易漏写。变三：由图像信息可知：x 时，y-2解析：x-2或x0点评：条件x0时y-2经常容易漏写。考点四：反比例函数的增减性例10.（2012山东省青岛市，8，3）点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=的图象上，若x1x20x3,则y1,y2,y3的大小关系是（ ）.A y3y1y2 By1y2y3Cy3y2y1 Dy2y1y3解析：由反比例函数的增减性可知，当x0时，y随x的增大而增大，当x1x20时，则0y1y2.又C（x3，y3）在第四象限，则y30，所以y3y1y2.故选A.点评：本题考查的是反比例函数的性质.关键是根据反比例函数的增减性解题常用数形结合方法来解答.变：设点A（x1,y1）,B(x2,y2),是y=k/x图像上的两点，且当x10x2时y1y2,则k的范围是 考点五：运动轨迹与反比例函数例11，已知：如图，A、B是反比例函数y =4/x图象上两点，且AB过原点O,以AB为边作等边ABC,且C在第四象限，当A、B在反比例函数图象上运动时，则点C在函数 的图象上运动。解析：可以设出点C的坐标（x,y）, 点A的坐标（a,b）,过点A、B分别作AEx轴于E; 作CFx轴于F，由EOAFCO可得x:b=-y:a=OA:CO=:2，又因为a b =4,所以y=-3/x(x0)点评：设出点的坐标，通过构造相似找出函数关系是本题的关键，因为题设有“C在第四象限”这个条件，容易出现的错误是审题不清，漏写x0这个条件。考点六：平行线与反比例函数1，利用k相等证直线平行例12，已知，如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，将一块直角三角板的顶点置于双曲线上的点C(2,1)处，两直角边与该双曲线交于A、B两点，请解答下列问题：(1)当点A坐标为（1，n）时，试从对称的角度，探索点A、B的关系；(2)对该双曲线，将三角板绕C点旋转，若两直角边与双曲线总有两个交点A、B，试探究旋转时得到的系列直线AB有怎样的位置关系，并说明理由。解析：(1)略（2）设旋转后的点A的坐标（a,2/a）, 可以设出点B的坐标（b,2/b）,过A、B分别作AD直线x=2于D,BE直线x=2于E, 则由CBEACD有：（2-a）:(1-2/b)=(2/a-1):(2-b)， ab=-1, b=-1/a,点A（a,2/a），点B（-1/a,-2a）设yAB=kx+m将点A（a,2/a），点B（-1/a,-2a）代入得k=2为定值旋转时得到的系列直线AB互相平行点评：本题看上去无从下手，只有运用数形结合，设出A、B两点的坐标，通过k字型相似找出a、b的关系从而将点A、点B的坐标用同一个字母表示出来，然后代入直线解析式求出k为定值，从而得出平行的结论。由此可见光有形没有数，研究问题难以入微。只有把数与形有效地结合起来，复杂的问题才能得以解决。2，利用角相等证平行例13，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y（x0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；（2）求AOB的面积；（3）Q是反比例函数y=（x0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB求证：ANMB解析：（1）略（2）如图，过点P分别作PCy于C，PDx于D由PA=PO=PB有BO=CO、AD=DOSPOC=SPBC SPOD=SPADSAOB=2SPCOD=12（3）如图，同理可证SOMN=121/2OAOB=1/2ONOMOAOB= ONOM OA:OM=ON:OBNOA=BOM NOABOMONA=OBM AN/BM点评：由k的几何意义及三角形面积相等，从而得出等积式，再根据边角边相似从而得出角相等，进而得出平行。由此可见光有数，不能把图形的性质运用起来，复杂的问题也难以解决。考点七：反比例函数的实际应用 年度2010201120122013投入技改资金x（万元）2.5 3 4 4.5产品成本y（万元/件）7.2 6 4.5 4例14，（2014泰州中考模拟题）（1）某厂从2010年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2014年已投入技改资金5万元 预计生产成本每件比2013年降低多少万元？ 如果打算在2014年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）解析：(1)是反比例函数表示其变化规律，设y=k/x，把点（2.5,7.2）代入得k=18,所以y=18/x.检验：把点（3,6）、（4,4.5）（4.5,4）代入也成立。（2）略点评：从表中的数据可得xy=18,由两个变量成反比例的意义可得x、y成反比例。仅代入一组数据得出k的值，不检验易造成失分，所以不能忘记检验其他点是否在图像上。考点八：分类与反比例函数例15，（2014福州）如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y= kx （k0，x0）的图象上，点P（m，n）是函数y= kx （k0，x0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S （1）求点B坐标和k的值 （2）当S= 92 时，求P的坐标 （3）写出S关于m的函数关系式解析：（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进