2021高三数学北师大版（文）：节圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）：节圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析编 辑：_时 间：_第十节圆锥曲线中的证明与存在性问题(对应学生用书第168页)考点1证明问题圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题、主要有两类：一是位置关系方面的、如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的、如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等(2)解决证明问题时、主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等、通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明、多采用直接法证明、有时也会用到反证法(20xx全国卷)设抛物线C：y22x、点A(2,0)、B(2,0)、过点A的直线l与C交于M、N两点(1)当l与x轴垂直时、求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时、l的方程为x2、可得M的坐标为(2,2)或(2、2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)当l与x轴垂直时、AB为MN的垂直平分线、所以ABMABN.当l与x轴不垂直时、设l的方程为yk(x2)(k0)、M(x1、y1)、N(x2、y2)、则x10、x20.由得ky22y4k0、可知y1y2、y1y24.直线BM、BN的斜率之和为kBMkBN.将x12、x22及y1y2、y1y2的表达式代入式分子、可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0、可知BM、BN的倾斜角互补、所以ABMABN.综上、ABMABN.把证明ABMABN转化为证明kBMkBN0是解题的关键(20xx全国卷)设O为坐标原点、动点M在椭圆C：y21上、过M作x轴的垂线、垂足为N、点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上、且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x、y)、M(x0、y0)、则N(x0,0)、(xx0、y)、(0、y0)由得x0x、y0y.因为M(x0、y0)在C上、所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3、t)、P(m、n)、则(3、t)、(1m、n)、33mtn、(m、n)、(3m、tn)由1、得3mm2tnn21、又由(1)知m2n22、故33mtn0.所以0、即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ、所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.考点2存在性问题圆锥曲线中存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”、将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在、用待定系数法设出、列出关于待定系数的方程组、若方程组有实数解、则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则、元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法(20xx泉州模拟)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2、右顶点为A、上顶点为B、且满足向量0.(1)若A(2,0)、求椭圆的标准方程；(2)设P为椭圆上异于顶点的点、以线段PB为直径的圆经过点F1、问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在、求出其斜率；若不存在、说明理由解(1)易知a2、因为0、所以BF1F2为等腰直角三角形所以bc、由a2b2c2可知b、故椭圆的标准方程为1.(2)由已知得b2c2、a22c2、设椭圆的标准方程为1、点P的坐标为(x0、y0)因为F1(c,0)、B(0、c)、所以(x0c、y0)、(c、c)、由题意得0、所以x0cy00.又因为点P在椭圆上、所以1、由以上两式可得3x4cx00.因为P不是椭圆的顶点、所以x0c、y0c、故P.设圆心为(x1、y1)、则x1c、y1c、圆的半径rc.假设存在过点F2的直线满足题设条件、并设该直线的方程为yk(xc)、由相切可知r、所以c、即20k220k10、解得k.故存在满足条件的直线、其斜率为.本例第(2)问中、涉及直线与圆相切问题、需要求出圆心和半径、然后利用圆心到直线的距离等于半径、列等式求解教师备选例题(20xx长沙模拟)已知椭圆C的中心为原点O、焦点在x轴上、左、右焦点分别为F1、F2、离心率为、右焦点到右顶点的距离为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2的直线与椭圆C分别相交于不同的两点A、B、则F1AB的面积是否存在最大值？若存在、求出这个最大值及直线l的方程；若不存在、请说明理由解(1)设椭圆C：1(ab0)、e、ac1、a2、c1、椭圆C的方程为1.(2)设A(x1、y1)、B(x2、y2)、不妨设y10、y20、即f(t)在区间1、)上单调递增、f(t)f(1)4、SF1AB3、即当t1、m0时、F1AB的面积取得最大值3、此时直线l的方程为x1.(20xx哈尔滨模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为、点F为左焦点、过点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点、且|AB|3.(1)求椭圆C的方程；(2)在圆x2y23上是否存在一点P、使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M、N两点、且满足？若存在、求l的方程；若不存在、请说明理由解(1)e、3a24b2.又|AB|3、a2、b.椭圆C的方程为1.(2)假设存在点P、使得.当直线l的斜率不存在时、l：x或x、与椭圆C：1相交于M、N两点、此时M、N或M、N、30、当直线l的斜率不存在时、不满足.当直线l的斜率存在时、设ykxm、联立得(34k2)x28kmx4m2120.直线l与椭圆C相交于M、N两点、0、化简得4k2m23.设M(x1、y1)、N(x2、y2)、x1x2、x