垂径定理.垂径定理——杨振洲课件.ppt

24 1 2 垂直于弦的直径 兰州理工大附中 杨振洲 24 1 2 垂直于弦的直径 一切立体图形中最美的是球 一切平面图形中最美的是圆 毕达哥拉斯 1 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 2 能用垂径定理解决有关问题 课标要求 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 问题情境 活动一 用圆规在纸上画一个圆 沿着它的任意一条直径所在的直线对折 重复做几次 你发现了什么 圆是轴对称图形 它有无数条对称轴 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 或者说过圆心的直线都是对称轴 活动一 任意一条直径都是圆的对称轴 O A B C D E 活动二 用圆规的尖端 在折叠的半圆上扎一个洞 打开后在两个洞的地方标上字母A B 连接AB得到圆的一条弦 则这条弦的对称轴是刚才的折痕 如图所示 O A B C D E 活动二 AE BE CD是直径 CD AB 如图 小明的理由是 连接OA OB 则OA OB 在Rt OAE和Rt OBE中 OA OB OE OE Rt OAE Rt OBE AE BE 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 垂径定理的证明 叠合法 O A B C D E 垂径定理 CD AB AE BE O 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 CD是直径 AE BE CD AB 知 二 推 三 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 CD是直径 AE BE CD AB AC BC AD BD 垂径定理的推论 赵州桥问题 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 R R 7 2 18 7 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 由题设 答 赵州石拱桥的桥拱半径约为27 9m 实践应用 解决求赵州桥拱半径的问题 例1如图 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE CD垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解 连接OC 垂径定理的应用 例1如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 A E B O 解 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 则OE 3厘米 AE BE AB 4厘米在RtAOE中 根据勾股定理有OA 5厘米 O的半径为5厘米 温馨提示 1 过圆心作弦的垂线2 连接半径 练习 4 3 5 方法总结 作垂线 连半径 线段OE叫弦心距 一题多变 变式一 如图 O的半径为5厘米 弦AB的长为6厘米 求圆心O到AB的距离 4厘米 A B E 4 5 3 O 作垂线 连半径 变式二 如图 O的直径径为10厘米 弦AB的长为8厘米 P为弦AB上的一个动点 那么OP长的取值范围是 B P A O 5 4 3 作垂线 连半径 例2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 1 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 若截面的油面宽AB 600mm 求油的最大深度 知识延伸 练习 1 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 若截面的油面宽AB 600mm 求油的最大深度 B D C 练习 知识延伸 B A O 650 作垂线 连半径 判断下列说法是否正确 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直于弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 辨别是非 课堂小结 1 本节课主要学习了 1 圆的轴对称性 2 垂径定理及其逆定理 2 有关弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为解直角三角形的问题 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 可解决弦