3.1传递函数的时域辨识.ppt

1 1 3 1传递函数辨识的时域法 传递函数辨识的时域方法包括阶跃响应法 脉冲响应法和矩形脉冲响应法等 其中以阶跃响应法最为常用 阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传递函数进行辨识 阶跃响应曲线即为输入量作为阶跃变化时 系统输出的变化曲线 第3章传递函数的时域和频域辨识 1 2 1 一阶惯性滞后环节的辨识 设系统的输入u的变化量为 则放大倍数为 1 3 1 切线法在S型曲线的变化速率最快处作一切线 分别与时间轴t及阶跃相应的渐近线相交于和 这样便得到时滞和时间常数 1 4 参数和的这种求解方法也可称为图解法 其优点是特别简单 但对于一些实际响应曲线 寻找该曲线的最大斜率处并非易事 主观因素也比较大 2 两点法 在上选取两个坐标值和 只要求0 这三个数值之间有明显的差异即可 则 1 5 式中 分别记为 解得 1 6 如果选择和这两个固定值 那么和可化为 显然这时的计算非常简单 对于所计算的和 还可在 这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验 1 7 2 由二阶惯性加纯迟延的传递函数拟合 二阶惯性环节加纯滞后传递函数 增益K值按下式计算 时间延迟可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段到开始变化的时刻来确定 见图2 截去纯延迟部分 并化为无量纲形式的阶跃响应此时传递函数变成 1 8 图2根据阶跃响应曲线上的两个点的数据确定和 1 9 对应的阶跃响应为 根据上式可利用响应曲线上的两个数据点和确定参数和 一般取为0 4和0 8 再从曲线上定出和 然后可得 将所取两点查得到的 代入上式可得所需的 1 10 为求解方便 上式可以近似表示为 一般来说 二阶对象满足 因为 二阶环节正是位于这两种情况之间 在固定选取分别为0 4和0 8后 其对应的能够反映出的传递函数的阶次 其关系见表1 1 11 表1 高阶惯性对象 中阶数n与比值t1 t2的关系 1 12 3 用n阶惯性加纯迟延的传递函数拟合 式中常数T由下式求得 取为0 4和0 8 再从曲线上定出 然后可从表1中得到n 再根据上式确定T 若 需用高阶环节近似 1 13 4 测试响应曲线的步骤 1 将响应曲线化为无延迟无量纲的标准形式 参见图2 2 求取分别为0 4和0 8所对应的 根据的值来确定n 3 若 则可选用二阶惯性环节加纯延迟传递函数 4 若 则根据表一找其相近的数据对应的n值选用传递函数 式中T由求得 1 14 1基本原理可通过Bode图拟合来辨识开环传递函数 开环传递函数测试框图如图1所示 图1电机开环传递函数测试框图 3 2线性系统开环传递函数的辨识 1 15 设开环系统输入指令信号为 其中 分别为输入信号的幅度和角速度 假设开环系统是线性的 则其位置输出可表示为 1 2 1 16 其中分别为开环系统输出的幅度和相位 在时间域上取 并设 由式 1 和 2 得 1 17 由式 1 和 2 得 3 由式 3 根据最小二乘原理 可求出 的最小二乘解为 4 对于角频率 开环系统输出信号的振幅和相移如下 5 6 1 18 由于相频为输出信号与输入信号相位之差 幅频为稳态输出振幅与输入振幅之比的分贝表示 由于输入信号的相移为零 则开环系统的相频和幅频为 7 8 1 19 在待测量的频率段取角频率序列 对每个角频率点 用上面方法计算相频和幅频 就可得到开环系统的频率特性数据 利用Matlab频域函数和 从而实现开环传递函数的辨识 1 20 2仿真实例取对象的传递函数为 采样周期取1ms 即 输入信号为幅度为的正弦扫频信号 频率的起始频率为1 0Hz 终止频率为10Hz 步长为0 5Hz 对每个频率点 运行20000个采样时间 并记录采样区间为的数据 1 21 求出实际开环系统在各个频率点的相频和幅频后 可写出开环系统频率特性的复数表示 即 取 利用Matlab函数 可得到与复频特性相对应的 分子分母阶数分别为和的传递函数的分子分母系数和 从而得到开环系统辨识的传递函数 利用Matlab函数 可得到分子分母阶数分别为和的开环传递函数的复频表示 从而得到所拟合开环系统传递函数的相频和复频 1 22 通过仿真 可得开环传递函数为 仿真结果如图2至4 可见 该算法能非常精确地求出开环传递函数的幅频和相频 从而可以精确地实现开环传递函数的辨识 1 23 图2实际测试与拟合传递函数的Bode图比较 1 24 图3频率特性拟合误差曲线 1 25 图4实际对象与拟合传递函数的Bode图比较 1 26 开环系统辨识仿真程序chap9 12a mchap9 12b m 1 27 3 3 1基本原理针对线性控制系统 要设计前馈控制器 传统的方法是确定系统的闭环传递函数 采用建模方法难免产生较大的建模误差 目前在实际应用中 更多的是采用实验测试建模方法 即频率特性方法 通过频域辨识技术来确定闭环系统的传递函数 3 3闭环系统传递函数的辨识 1 28 由闭环系统的正弦激励响应 通过最小二乘方法和Bode图拟合来确定闭环系统的传递函数 闭环系统测试框图如图1所示 图1闭环系统测试框图 1 29 设闭环系统输入指令信号为 1 其中 分别为输入信号的幅度和角频率 位置跟踪误差为 在闭环系统内 采用P控制 控制律为 1 30 由于闭环系统是线性的 则其角位置输出可表示为 2 其中 分别为系统输出的幅度和相角 在时间域上取 并设 1 31 由式 2 和 3 得 3 由式 3 根据最小二乘原理 可求出 的最小二乘解为 4 对于角频率 闭环系统输出信号的振幅和相移如下 5 6 1 32 由于相频为输出信号与输入信号相位之差 幅频为稳态输出振幅与输入振幅之比的分贝表示 由于输入信号的相移为零 则闭环系统的相频和幅频为 7 8 1 33 在待测量的频率段取角频率序列 对每个角频率点 用上面方法计算相频和幅频 就可得到闭环系统的频率特性数据 利用Matlab频域函数和 从而实现闭环系统的建模 对于带有摩擦 干扰和重力等非线性因素的电机系统被控对象 无法得到适合于闭环系统建模的频率特性数据 因此 无法对闭环系统进行辨识 可通过摩擦补偿 干扰观测器 重力补偿器等方法 将系统转化为理想的线性系统被控对象 如果实现了闭环系统的建模 则可以利用闭环系统传递函数构造前馈控制器 实现高精度的前馈控制 这方面的研究已有许多 见文献 1 5 1 34 3 3 2仿真实例取对象的传递函数为 采样周期取1ms 即 输入信号为幅度为的正弦扫频信号 频率的起始频率为0 5Hz 终止频率为8Hz 步长为0 5Hz 对每个频率点 在时 记录1000次数据 1 35 求出实际闭环系统在各个频率点的相频和幅频后 可写出闭环系统频率特性的复数表示 即 取 利用Matlab函数 可得到与复频特性相对应的 分子分母阶数分别为和的传递函数的分子分母系数和 从而得到闭环系统辨识的传递函数 利用Matlab函数 可得到分子分母阶数分别为和的传递函数的复频表示 从而得到所拟合闭环系统传递函数的相频和复频 1 36 闭环系统采用P控制 取 通过仿真 可得闭环系统的传递函数为 图2为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性的比较 图3为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性之差 即建模误差 可见 该算法能非常精确地求出闭环系统的幅频和相频 从而可以精确地实现闭环系统的建模 1 37 图2实际传递函数与拟合传递函数的Bode图比较 1 38 图3频率特性拟合误差曲线 1 39 闭环系统辨识仿真程序chap9 9a mchap9 9b mSimulink仿真程序 zpe sim mdl 1 40 附 最小二乘参数辨识法假设一个变量与一组变量有线性关系 即 9 其中向量是一组待辨识参数 假设在时刻取得关于和的次观测结果 采用和 表示实测数据 则有 1 41 上式可以用矩阵表示为 10 其中 在实际工程中 实测数据往往有误差 定义误差矢量 令 11 1 42 误差性能指标为 则求对的导数并令结果为零 作为使为最小的估计值的条件 则有 1 43 可得解得的最小二乘估计值为 12 1 44 3 4基于闭环系统辨识的数字前馈控制 在闭环系统辨识的基础上 本节讨论基于闭环系统逆的控制器设计问题 3 4 1零相差前馈控制基本原理通常 前馈控制是基于不变性原理 即将前馈控制环节设计成待校正的闭环系统的逆 从而使校正后系统的输入输出传递函数为1 从而达到精确控制 但当闭环系统为非最小相位系统时 这种方法就不适用了 这是由于非最小相位系统的逆会出现不稳定的极点 1 45 随着计算机技术的发展 现代高精度伺服控制中 采样频率通常较高 采样周期的范围在 之间 由于采样频率很高 离散化的闭环系统一般为非最小相位数字系统 即闭环系统的零点至少有一个在单位圆之外 因此非最小相位数字系统在实际工程应用中非常广泛 对于非最小相位数字系统 基于不变性原理的前馈控制器设计方法是不适用的 这是因为当闭环系统为非最小相位数字系统时 用不变性原理设计前馈控制器 即利用闭环系统的逆设计控制器 则闭环系统的不稳定零点将成为前馈控制器的极点 造成前馈环节存在不稳定极点 控制系统不稳定 1 46 零相差跟踪控制器 ZPETC ZeroPhaseErrorTrackingControl 是一种数字前馈控制器 适用于闭环系统为非最小相位的数字控制系统 该控制器由日本学M Tomizuka提出 1 零相差前馈控制器通过在控制器中引入零点来补偿闭环系统的不稳定零点 当指令超前值已知时 校正后的系统在全频域范围内相移为零 在低频范围 增益近似为1 零相差前馈跟踪控制在数控加工中心 坐标仪以及绘图仪等高精度伺服系统中得到了成功应用 有效地拓宽了系统频带 基于零相差前馈控制器的控制系统如图1所示 其中为输入指令信号 为系统输出 为前馈控制器 为闭环控制器 为对象的传递函数 虚线框内为闭环控制系统 设离散化后的闭环系统传递函数为 则图2可以进一步化简 得到图3 1 47 图1控制系统原理图 图2等效框图 1 48 不失一般性 可以写成如下形式 13 其中 为分母多项式 其所有的根都位于单位圆内部 为非负整数 为步延迟 和为多项式 中包含了中的所有的不稳定零点 位于单位圆上或单位圆外 中包含中的所有稳定的零点 位于单位圆内 假定闭环系统有个不稳定的零点 则可以写成如下形式 14 1 49 显然 如果用不变性原理设计前馈控制器 则控制器表示为 由于闭环系统的不稳定零点成为前馈控制器的极点 采用上式作为控制器会造成控制系统不稳定 为了克服这种情况 对于闭环系统 13 通过在控制器中引入零点来补偿闭环系统的不稳定零点 设计零相差前馈控制器为 15 1 50 3 4 2系统相移定理1 1 对于 14 式定义的 设 则有 1 2 证明 由式 13 和 15 加入零相差前馈控制器后 整个系统 包括前馈环节 的传递函数为 16 1 51 设系统的采样周期为 为角频率 由式 14 有 17 1 52 其中则 18 1 53 由式 17 可见 为一个非负实数 则也为一个非负实数 因此 加入零相差前馈控制器后 整个系统的相移在全频域范围内为0 由式 18 可见 在低频情况下 很小 又由于采样时间 很小 故 的增益近似为1 1 54 通过上述分析可见 采用零相差前馈控制器 可实现系统相移在全频范围内为零 在低频范围增益近似为1 从而实现高精度跟踪控制 由控制器式 15 可见 零相差控制要求待跟踪轨迹在开始运动前就预先知道 即指令信号的超前值是已知的 在实际应用中 还有一类高精度伺服系统 指令的超前信息是未知的 即在采样时刻只知道该时刻和该时刻以前的指令值 对于指令超前信息未知的高精度伺服系统 当采样时间很小时 可忽略指令的超前信息 即应用当前的指令值代替指令的超前信息 从而实现零相差前馈控制 1 55 3 4 3仿真实例在闭环系统辨识的基础上进行零相差控制 采样周期取1ms 将闭环系统的辨识模型离散化可得 可见 离散化的闭环系统有一个零点在单位圆之外 因此是一个非最小相位数字系统 闭环系统的零点为 极点为 增益为 由的表达式 13 可知 1 56 则 则根据式 15 零相差控制器的表达式为 1 57 可见 前馈控制器的超前环节为 将控制器的系数和保存在zpecoeff mat文件中 其中 由于 则根据式 16 控制系统输入输出传函的Bode图如图3所示 1 58 为了进行控制器验证 求得基于前馈控制的控制系统的低通增益为1 简化表达式为 则对象输出值为序列 的移动平均值 即的Bode图如图3所示 1 59 可见 在低频情况下 即时 相移为零 增益近似为1 系统输出可以高精度地跟踪输入指令 图3系统的Bode图 1 60 位置指令取正弦信号 仿真结果如图4和图5所示 由仿真结果可见 取M 1时 指令的超前信息为未知 忽略指令的超前信息 采用当前的指令值代替指令的超前信息 可实现高精度的位置跟踪 如图4所示 取M 2时 指令的超前信息为已知 可实现高精度位置跟踪 如图5所示 1 61 图4位置跟踪结果 M 1 指令的超前信息未知 1 62 图5位置跟踪结果 M 2 指令的超前信息已知 1 63 仿真程序 1 控制器设计 chap9 10 m2 位置跟踪 chap9 11 m 1 64 参考文献 1 刘强 现代高精度数字伺服系统运动控制理论及应用研究 D 北京 北京航空航天大学 20022 TomizukaM Zerophaseerrortrackingalgorithmfordigitalcontrol ASMEJournalofDynamicSystems Measurement andControl 1987 109 65 683 TsaoTC Optimalfeed forwarddigitaltrackingcontrollerdesign ASMEJournalofDynamicSystems Measurement andControl 1994 116 583 5914 KempfCJ KobayashiS Disturbanceobserverandfeedforwarddesignforahigh speeddirect drivepositioningtable IEEETransactiononControlsystemtechnology 1999 7 5 513 5265 HoSL MasayoshiT Robustmotioncontrollerdesignforhigh accuracypositioningsystems IEEETransactionsonIndustrialElectronics 1996 43 1 48 55 1 65 论文讨论 HoSL MasayoshiT Robustmotioncontrollerdesignforhigh accuracypositioningsystems IEEETransactionsonIndustrialElectronics 1996 43 1 48 55 1 66 3 5一种基于干扰观测器的系统辨识 1 67 1 基本设计原理 一个实际对象 直流电机带动一个负载 及名义模型的频率特性曲线如图1所示 图1对象及名义模型频率特性曲线 1 68 干扰观测器的基本思想是将外部力矩干扰及模型参数变化造成的实际对象与名义模型输出的差异统统等效的控制输入端 即观测出等效干扰 在控制中引入等量的补偿 实现对干扰完全抑制 干扰观测器的基本思想如图2所示 1 69 图2干扰观测器的基本思想 1 70 图2中的为对象的传递函数 为等效干扰 为观测干扰 为控制输入 由上图 求出等效干扰的估计值为 式 1 说明 用上述方法可以实现对干扰的准确估计和补偿 图2描述了干扰观测器的基本思想 但对于实际的物理系统 其实现存在如下问题 1 1 71 1 通常情况下 的相对阶不为0 其逆物理上不可实现 2 对象的精确数学模型无法得到 3 考虑测量噪声的影响 上述方法的控制性能将下降 1 72 2基于名义模型的干扰观测器解决上述问题的一个自然的想法是在的后面串入低通滤波器 并用名义模型的逆来替代 得到如图3所示的框图 其中虚线框内部分为干扰观测器 为输入信号 为等效干扰 为测量噪声 1 73 图3干扰观测器原理框图 1 74 根据梅森公式 由图3可得从到的传递函数计算方法 由于 则根据梅森公式有 3 2 1 75 即 根据式 3 对图3做等效变换 得到简化框图4如下 图4图3的简化框图 4 1 76 利用梅森公式 根据图4 可推出 5 6 是干扰观测器设计中一个非常重要的环节 首先 为使 正则 的相对阶应不小于 的相对阶 其次 带宽的设计 是在干扰观测器的鲁棒稳定性和干扰抑制 能力之间的折衷 的设计原则为 即在低频段 在高频段 具体分析如下 1 77 在低频时 由式 3 至 6 有 7 上式说明 在低频段 干扰观测器仍使得实际 说明干扰观测器对于 频带内的 低频干扰具有完全的抑制能力 说明干扰 对象的响应与名义模型的响应一致 即可以实现 对低频干扰的有效补偿 从而保证较好的鲁棒性 观测器对于低频测量噪声非常敏感 因此 在实际 应用中 必须考虑采取适当的措施 减小运动状态 测量中的低频噪声 1 78 在高频段 由式 3 至 6 有 8 上式说明 在高频时 可见干扰观测器对测量噪声不敏感 可以实现对高频噪声的有效滤除 但对于对象参数的摄动及外部扰动没有任何抑制作用 通过上述分析可见 通过采用低通滤波器设计 可以实现对低频干扰的有效补偿和高频噪声的有效滤除 是一种很有效的工程设计方法 由简化框图4可以从另一个角度来理解干扰观测器的作用 在低频段 则 显然 加入干扰观测器后 1 79 系统在低频段时的控制相当于高增益控制 在高频段 则 即前向通道的控制增益为1 反馈系数为0 则从到之间 3 低通滤波器的选择 假设被控对象可以表示为 9 其中 为延迟时间 相当于开环 其传递函数等于对象的开环传递函数 干扰观测器的作用消失 1 80 名义模型可以表示为 10 在设计低通滤波器的带宽时 高频扰动 11 其中为高频振动 为分析时间延迟对控制器性能的影响 假设时间 对系统产生扰动作为标称对象的乘积摄动 延迟因子是唯一不确定部分 此时 1 81 和 由公式 9 10 和 11 可以得到 12 保证干扰观测器内环鲁棒稳定的充分必要条件是 13 其中 是补灵敏度函数 1 82 在干扰观测器的设计中 取 14 上式为低通滤波器 的设计依据 为了说明高频振动 对扰动观测器带宽的限制 图5 从 与 的幅值特性来反映 带宽的限制 实际系统中 综合低通性能与稳定性考虑 采用三阶低通滤波器 则 1 83 15 低通滤波器的截止频率由时间常数 决定 随着 带宽逐渐增加 取滤波器 和450HZ 分别记为 的截止频率分别为50 150 和 见图5所示 的减少 1 84 由图5可以看出 当截止频率为450HZ时 式 13 的鲁棒稳定条件已经被破坏 截止频率为150HZ时 与的幅值比较接近 是较为理想的选择 但是考虑实际系统还有其他的模型误差及离散化时残差的影响 综合鲁棒稳定与系统性能 只能选择50HZ的滤波器 综上所述 由于时间的延迟的影响 系统只能在较低频段保持扰动观测器的特性 1 85 图5滤波器的选择 1 86 参考文献 C J Kempf S Kobayashi DisturbanceObserverandFeedforwardDesignforaHigh SpeedDirect DrivePositioningTable IEEETransactionsonControl