人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课件(2).ppt

空间点 直线 平面之间的位置关系 长方体的面给我们以平面的印象 生活中常见的如黑板 平整的操场 桌面 平静的湖面等等 都给我们以平面的印象 实物引入 揭示课题 观察活动室里的地面 它呈现出怎样的形象 实例引入 观察 1 平面的含义 以上实物都给我们以平面的印象 几何里所说的平面 就是从这样的一些物体中抽象出来的 平面是没有厚薄的 可以无限延伸 这是平面最基本的属性 常见的桌面 黑板面 平静的水面等都是平面的局部形象 一个平面把空间分成两部分 一条直线把平面分成两部分 2 平面的画法及表示 平面的画法 在立体几何中 常用平行四边形表示平面 当平面水平放置时 通常把平行四边形的锐角画成450 且横边长画成邻边长的两倍 画两个平面相交时 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时 应把被遮住的部分画成虚线或不画 平面的表示方法 平面 常把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上 如平面 平面 等 也可以用代表平面的四边形的四个顶点 或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称 3 点 直线与平面的关系 平面内有无数个点 平面可以看成点的集合 点A在平面 内 记作A 点B在平面 外 记作B 直线l在平面 内表示为l 直线l不在平面 内表示为l 练习 思考 4 平面的基本性质 如果直线l与平面 有一个公共点 直线l是否在平面 内 如果直线l与平面 有两个公共点呢 实际生活中 我们有这样的经验 把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上 可以看到 直尺的整个边缘就落在了桌面上 图形语言 符号语言 B A 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 用途 可以用来判断直线是否在平面内 4 平面的基本性质 在生产 生活中 人们经过长期观察与实践 总结出关于平面的一些基本性质 我们把它作为公理 这些公理是进一步推理的基础 生活中经常看到用三角架支撑照相机 或测量用的平板仪等等 4 平面的基本性质 公理2过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 存在性 唯一性 作用 确定平面的主要依据 不再一条直线上的三个点A B C所确定的平面 可以记成 平面ABC 4 平面的基本性质 补充3个推论 4 平面的基本性质 推论1 经过一条直线与直线外一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条平行直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条相交直线 有且只有一个平面 把三角板的一个角立在课桌面上 三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B 为什么 思考 4 平面的基本性质 观察长方体 你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗 观察 这条公共直线B C 叫做这两个平面A B C D 和平面BB C C的交线 另一方面 相邻两个平面有一个公共点 如平面A B C D 和平面BB C C有一个公共点B 经过点B有且只有一条过该点的公共直线B C 4 平面的基本性质 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 判断点在直线上 4 平面的基本性质 符号表示为 图形表示为 例1如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 1 2 解 在 1 中 在 2 中 例题示范 课堂练习 课本P44练习1 2 3 4 补练 有三个公共点的两个平面重合 梯形的四个顶点在同一个平面内 三条互相平行的直线必共面 四条线段顺次首尾连接 构成平面图形 2 下列命题正确的是 A 两条直线可以确定一个平面B 一条直线和一个点可以确定一个平面C 空间不同的三点可以确定一个平面D 两条相交直线可以确定一个平面 1 下列命题中 正确的命题是 A 圆上三点可以确定一个平面B 圆心和圆上两点可确定一个平面C 四条平行直线不能确定五个平面D 空间四点中 若四点不共面 则任意三点不共线 4 若给定空间三条直线共面的条件 这四个条件中不正确的是 三条直线两两相交 三条直线两两平行 三条直线中有两条 平行三条直线共点 3 在空间中 下列命题错误的是 在正方体中 判断下列命题是否正确 并说明理由 直线在平面内 错误 随堂练习 在正方体中 判断下列命题是否正确 并说明理由 由点A O C可以确定一个平面 错误 随堂练习 在正方体中 判断下列命题是否正确 并说明理由 由确定的平面是 由确定的平面与由确定的平面是同一个平面 正确 正确 随堂练习 知识小结 实例引入平面 平面的画法和表示 点和平面的位置关系 平面三个公理 2 1 2空间中两直线的位置关系 判断下列命题对错 1 如果一条直线上有一个点在一个平面上 则这条直线上的所有点都在这个平面内 2 将书的一角接触课桌面 这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点 3 四个点中如果有三个点在同一条直线上 那么这四个点必在同一个平面内 4 一条直线和一个点可以确定一个平面 5 如果一条直线和另两条直线都相交 那么这三条直线可以确定一个平面 平面有关知识 复习 判断下列直线的位置关系 1 竖直的两条电线杆所在的直线 思考 在平面内 两条不重合的直线之间有几种位置关系 2 十字路口的两条路所在的直线 3 教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线 空间的两直线呢 l m P m l 图1 图2 l l l l 一 空间中两直线的位置关系 从图中可见 直线l与m既不相交 也不平行 空间中直线之间的这种关系称为异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 既不相交也不平行的两条直线 不同在任何一个平面内 1 异面直线 判断 直线m和l是异面直线吗 2 则与是异面直线 3 a b不同在平面内 则a与b异面 异面直线的画法 通常用一个或两个平面来衬托 异面直线不同在任何一个平面的特点 1 相交 2 平行 只有一个公共点 没有公共点 在同一平面 2 空间中两直线的三种位置关系 3 异面直线 没有公共点 不同在任一平面 AB CD EF GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 相交直线有几对 平行直线有几对 二 空间直线的平行关系 若a b b c 1 平行关系的传递性 公理4平行于同一直线的两直线互相平行 则a c 例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AB与C1D1 AD1与BC1是什么位置关系 为什么 练习 在上例中 AA1与CC1 AC与A1C1的位置是什么关系 例题示范 例1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 分析 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH FG且EH FG E F G H分别是各边中点 连结BD 只需证 EH BD且EH BDFG BD且FG BD 例题示范 例1 在空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 变式一 在例2中 如果再加上条件AC BD 那么四边形EFGH是什么图形 E H F G 分析 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等 菱形 变式二 空间四面体A BCD中 E H分别是AB AD的中点 F G分别是CB CD上的点 且 求证 四边形ABCD为梯形 A B C D E H F G 分析 需要证明四边形ABCD有一组对边平行 但不相等 3 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 3 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 定理的推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两条直线所成的锐角 或直角 相等 两直线的夹角 两直线相交所成的4个角中 其中不大于的角叫做两直线的夹角 三 两条异面直线所成的角 如图所示 a b是两条异面直线 在空间中任选一点O 过O点分别作a b的平行线a 和b a b 则这两条线所成 的锐角 或直角 称为异面直线a b所成的角 任选 若两条异面直线所成角为90 则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直也记作a b 异面直线所成角 的取值范围 平移 例3在正方体ABCD A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角 练习 1 求直线AD1与B1C所成的夹角 2 与直线BB1垂直的棱有多少条 1 AB与CC1 2 A1B1与AC 3 A1B与D1B1 1 AB与CC1所成的角 90 2 A1B1与AC所成的角 45 3 A1B与D1B1所成的角 60 2 与棱BB1垂直的棱有 A B C D A1 B1 C1 D1 相交 异面 垂直 相交垂直 异面垂直 1 直线AD1与B1C所成的夹角 90 例题示范 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线AA 垂直 解 1 由异面直线的判定方法可知 与直线 成异面直线的有直线 例题示范 例2 如图 已知正方体ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直线与直线BA 是异面直线 2 直线BA 和CC 的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线AA 垂直 解 2 由可知 等于异面直线与的夹角 所以异面直线与的夹角为450 3 直线 与直线都垂直 填空 1 空间两条不重合的直线的位置关系有 三种 2 没有公共点的两条直线可能是 直线 也有可能是 直线 3 和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有 4 过已知直线上一点可以作 条直线与已知直线垂直 5 过已知直线外一点可以作 条直线与已知直线垂直 平行 相交 异面 平行 异面 无数 无数 相交 异面 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2 空间两条不相交的直线一定是异面直线 3 垂直于同一条直线的两条直线必平行 4 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则它一定与另一条直线垂直 判断对错 练习反馈 1 判断 1 平行于同一直线的两条直线平行 2 垂直于同一直线的两条直线平行 3 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 4 与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 5 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行 那么这两个角相等 6 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 练习反馈 2 选择题 1 a b是异面直线 是指 a b 且a不平行于b a 平面a b 平面b且a b a 平面a b 平面a 不存在平面a 能使a a且b a成立上述结论中 正确的是 A B C D 2 长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 A 2对 B 3对 C 6对 D 12对 C C 3 两条直线a b分别和异面直线c d都相交 则直线a b的位置关系是 A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 可能是平行直线 D 可能是异面直线 也可能是相交直线 4 一条直线和两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 相交或异面 3 两条直线互相垂直 它们一定相交吗 答 不一定 还可能异面 D D 4 垂直于同一直线的两条直线 有几种位置关系 答 三种 相交 平行 异面 5 画两个相交平面 在这两个平面内各画一条直线使它们成为 1 平行直线 2 相交直线 3 异面直线 6 选择题 1 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 A 异面 B 平行 C 相交 D 以上都有可能 2 异面直线a b满足a a b b a b l 则l与a b的位置关系一定是 A l至多与a b中的一条相交 B l至少与a b中的一条相交 C l与a b都相交 D l至少与a b中的一条平行 D B 3 两异面直线所成的角的范围是 A 0 90 B 0 90 C 0 90 D 0 90 7 判断下列命题的真假 真的打 假的打 1 两条直线和第三条直线成等角 则这两条直线平行 2 平行移动两条异面直线中的任一条 它们所成的角不变 3 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 C 课堂小结 这节课我们学习了两条直线的位置关系 平行 相交 异面 平行公理和等角定理及其推论 异面直线的概念 判断及异面直线夹角的概念 证明两直线异面的一般方法是 反证法 或 判定定理 求异面直线的夹角的一般步骤是 作 证 算 答 作业布置 P51A组3 4 1 2 3 5 6 2 1 3 空间中直线与平面之间的位置关系 复习引入 1 空间两直线的位置关系 1 相交 2 平行 3 异面 2 公理4的内容是什么 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3 等角定理的内容是什么 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 等角定理的推论是什么 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两条直线所成的锐角 或直角 相等 5 什么是异面直线 什么是异面直线所成的角 什么是异面直线垂直 异面直线定理的内容是什么 研探新知 1 一支笔所在直线与一个作业本所在的平面 可能有几种位置关系 2 如图 线段A1B所在直线与长方体ABCD A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系 直线与平面 相交 直线与平面 平行 a 无交点 直线在平面 内 有无数个交点 a a A 有且只有一个交点 结论 直线与平面的位置关系有且只有三种 例1 下列命题中正确的个数是 若直线上有无数个点不在平面 内 则 若直线与平面 平行 则与平面 内的任意一条直线平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行 若直线与平面 平行 则与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 B 1 C 2 D 3 例题示范 分析 可以借助长方体模型来看上述问题是否正确 问题 1 不正确 相交时也符合 问题 2 不正确 如右图中 A B