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第三节 实对称矩阵 1 对称矩阵 例如 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等 2 定理2实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交 设A是对称矩阵 实对称矩阵的性质 定理1实对称矩阵的特征值必为实数 证明 定理3设A是n阶对称矩阵 是A的特征方程的重根 则对应特征值恰有个线性无关的特征向量 3 实对称矩阵的对角化 4 例用正交变换把下列对称矩阵对角化 解 求方阵 的特征值 由 得特征值 求特征向量 对于 对于 解方程组 得一个基础解系 解方程组 得一个基础解系 5 将特征向量组正交化 单位化 令 正交化 单位化 6 构造矩阵 写出相应的对角形矩阵 令 则有 7 求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤 1 求矩阵A的特征值2 求特征向量3 将特征向量正交化 单位化4 构造正交矩阵 写出对应的对角形矩阵 8 练习 设实对称矩阵 解 A的特征多项式为 A的特征值为 求正交矩阵P 使 为对角矩阵 9 当 解方程组 即 得到两个线性无关的特征向量 对于 得到特征向量 取 是矩阵A的正交特征向量组 10 单位化 令 则有 11 定义 性质 1 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数 2 奇数阶反对称阵对应的行列式为0 3 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵 反对称矩阵 12 定义 性质 1 幂等矩阵的特征值为0或1 幂等矩阵 13 幂零矩阵 定义 性质 1 幂零矩阵的特征值为0 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵 14 作业 P107 P108习题四4 94 11 1 4 124 17预习第四章第四节 15 此
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