相似、位似等练习.doc

图形的相似与位似一、选择题1. （2015宁德 第8题 4分）如图，已知直线abc，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A4B4.5C5D5.5考点：平行线分线段成比例分析：直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论解答：解：直线abc，AC=4，CE=6，BD=3，=，即=，解得DF=4.5故选B点评：本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键2. （2015甘南州第7题 4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设OCD的面积为m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（） A m=5 B m=4 C m=3 D m=10考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 先根据平行四边形的性质求出OCDOEB，再根据相似三角形的性质解答即可解答： 解：ABCD，OCDOEB，又E是AB的中点，2EB=AB=CD，=（）2，即=（）2，解得m=4故选B点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行四边形的性质等知识，难度适中3. （2015酒泉第9题 3分）如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，则SDOE：SAOC的值为（）ABCD考点：相似三角形的判定与性质分析：证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明DOEAOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题解答：解：SBDE：SCDE=1：3，BE：EC=1：3；BE：BC=1：4；DEAC，DOEAOC，=，SDOE：SAOC=，故选D点评：本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答4. （2015酒泉第10题 3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作BPF的角平分线交AB于点E设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD考点：动点问题的函数图象分析：证明BPECDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断解答：解：CPD=FPD，BPE=FPE，又CPD+FPD+BPE+FPE=180，CPD+BPE=90，又直角BPE中，BPE+BEP=90，BEP=CPD，又B=C，BPECDP，即，则y=x2+，y是x的二次函数，且开口向下故选C点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明BPECDP是关键5. （2015，广西柳州，12，3分）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AEEF，AE=EF，现有如下结论：BE=GE；AGEECF；FCD=45；GBEECH其中，正确的结论有（）A 1个B2个C3个D4个考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质分析：根据正方形的性质得出B=DCB=90，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断；求出GAE+AEG=45，推出GAE=FEC，根据SAS推出GAECEF，即可判断；求出AGE=ECF=135，即可判断；求出FEC45，根据相似三角形的判定得出GBE和ECH不相似，即可判断解答：解：四边形ABCD是正方形，B=DCB=90，AB=BC，AG=CE，BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，错误；BG=BE，B=90，BGE=BEG=45，AGE=135，GAE+AEG=45，AEEF，AEF=90，BEG=45，AEG+FEC=45，GAE=FEC，在GAE和CEF中GAECEF，正确；AGE=ECF=135，FCD=13590=45，正确；BGE=BEG=45，AEG+FEC=45，FEC45，GBE和ECH不相似，错误；即正确的有2个故选B点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大6. （2015，广西钦州，11，3分）如图，AD是ABC的角平分线，则AB：AC等于（）ABD：CD BAD：CD CBC：AD DBC：AC分析：先过点B作BEAC交AD延长线于点E，由于BEAC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得BDECDA，E=DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知E=DAC=BAD，于是BE=AB，等量代换即可证解答：解：如图过点B作BEAC交AD延长线于点E，BEAC，DBE=C，E=CAD，BDECDA，=，又AD是角平分线，E=DAC=BAD，BE=AB，=，AB：AC=BD：CD点评：此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论关键是作平行线7（2015湖北十堰，第6题3分）.在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（6，4），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是（）A（2，1）B（8，4）C.（8，4）或（8，4）D.（2，1）或（2，1）考点：位似变换；坐标与图形性质分析：根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，即可求得答案解答：解：点A（4，2），B（6，4），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，点A的对应点A的坐标是：（2，1）或（2，1）故选：D点评：此题考查了位似图形与坐标的关系此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k8. （2015黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（） A = B = C = D =考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 根据相似三角形的判定和性质进行判断即可解答： 解：四边形ABCD是平行四边形，ADBF，BEDC，AD=BC，故选C点评： 此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断9. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A平移B旋转C对称D位似考点：几何变换的类型分析：开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换如果没有注意它们的大小，可能会误选A解答：解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换故选D点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形10. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是（）A1BC1D考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质专题：压轴题分析：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出AB，再求AA就可以了解答：解：设BC与AC交于点E，由平移的性质知，ACACBEABCASBEA：SBCA=AB2：AB2=1：2AB=AB=1AA=ABAB=1故选A点评：本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等11. （2015青海，第15题3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）ABCD考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：根据题意得出DEFBCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题解答：解：如图，四边形ABCD为平行四边形，EDBC，BC=AD，DEFBCF，=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k；=，故选A点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出DEFBCF是解题的关键12. （2015贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A2：3B：C4：9D8：27考点：相似三角形的性质分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解解答：解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2=4：9故选C点评：本题考查对相似三角形性质的理解（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比13. （2015辽宁省朝阳,第题3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A（2，3）B（3，1）C（2，1）D（3，3）考点：位似变换；坐标与图形变化-平移专题：几何变换分析：先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k求解解答：解：线段AB向左平移一个单位，A点平移后的对应点的坐标为（4，6），点C的坐标为（4，6），即（2，3）故选A点评：本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k也考查了坐标与图形变化平移14（2015辽宁铁岭）（第7题，3分）如图，点D、E、F分别为ABC各边中点，下列说法正确的是（）ADE=DFBEF=ABCSABD=SACDDAD平分BAC考点：三角形中位线定理.分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可解答：解：A、点D、E、F分别为ABC各边中点，DE=AC，DF=AB，ACAB，DEDF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、SABD=BDh，SACD=CDh，BD=CD，SABD=SACD，故该选项正确；D、BD=CD，ABAC，AD不平分BAC，故选C点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半15（4分）（2015黔西南州）（第5题）已知ABCABC且，则SABC：SABC为（） A 1：2 B 2：1 C 1：4 D 4：1考点： 相似三角形的性质分析： 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可解答： 解：ABCABC，=（）2=，故选C点评： 本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方16（4分）（2015黔西南州）（第10题）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（） A 42 B 24 C D 考点： 相似三角形的判定与性质；实数与数轴；等边三角形的性质；平移的性质分析： 先根据已知条件得出PDE的边长，再根据对称的性质可得出PFDE，DF=EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m=求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理判断出PFMPON，利用相似三角形的性质即可得出结论解答： 解：AB=3，PDE是等边三角形，PD=PE=DE=1，以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，PDE关于y轴对称，PFDE，DF=EF，DEx轴，PF=，PFMPON，m=，FM=，=，即=，解得：ON=42故选A点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM的长是解答此题的关键17. （2015齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论：EM=DN；SCDN=S四边形ABDN；DE=DF；DEDF其中正确的结论的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理分析： 首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是ABC的中位线，判断出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN；首先根据DNAB，可得CDNABC；然后根据DN=，可得SCDN=SABC，所以SCDN=S四边形ABDN，据此判断即可首先连接MD、FN，判断出DM=FN，EMD=DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出EMDDNF，即可判断出DE=DF首先判断出，DM=FA，EMD=EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出EMDEAF，即可判断出MED=AEF，然后根据MED+AED=45，判断出DEF=45，再根据DE=DF，判断出DFE=45，EDF=90，即可判断出DEDF解答： 解：D是BC中点，N是AC中点，DN是ABC的中位线，DNAB，且DN=；三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB交AB于点M，M是AB的中点，EM=，又DN=，EM=DN，结论正确；DNAB，CDNABC，DN=，SCDN=SABC，SCDN=S四边形ABDN，结论正确；如图1，连接MD、FN，D是BC中点，M是AB中点，DM是ABC的中位线，DMAC，且DM=；三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，FN=，又DM=，DM=FN，DMAC，DNAB，四边形AMDN是平行四边形，AMD=AND，又EMA=FNA=90，EMD=DNF，在EMD和DNF中，EMDDNF，DE=DF，结论正确；如图2，连接MD，EF，NF，三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB，M是AB的中点，EMAB，EM=MA，EMA=90，AEM=EAM=45，D是BC中点，M是AB中点，DM是ABC的中位线，DMAC，且DM=；三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，FN=，FNA=90，FAN=AFN=45，又DM=，DM=FN=FA，EMD=EMA+AMD=90+AMD，EAF=360EAMFANBAC=3604545（180AMD）=90+AMDEMD=EAF，在EMD和EAF中，EMDEAF，MED=AEF，MED+AED=45，AED+AEF=45，即DEF=45，又DE=DF，DFE=45，EDF=1804545=90，DEDF，结论正确正确的结论有4个：故选：D点评： （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质即：两个锐角都是45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半二、填空题1. （2015辽宁省朝阳,第16题3分）如图，在RtAOB中，AOB=90，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动的时间为t秒（1）当t=时，PQEF；（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P、Q，当线段PQ与线段EF有公共点时，t的取值范围是0t1且t考点：几何变换综合题分析：（1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出AENQOP，进而利用锐角三角函数关系求出即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出FBA是等边三角形，进而得出线段PQ与线段EF有公共点时t的最大值，进而得出答案解答：解：（1）如图1，当PQEF时，则QPO=ENA，又AEN=QOP=90，AENQOP，AOB=90，AO=，BO=1，tanA=，A=PQO=30，=，解得：t=，故当t=时，PQEF；故答案为：；（2）如图2，BAO=30，BOA=90，B=60，AB的垂直平分线交AB于点E，FB=FA，FBA是等边三角形，当PO=OA=时，此时Q与F重合，A与P重合，PA=2，则t=1秒时，线段PQ与线段EF有公共点，故当t的取值范围是：0t1，由（1）得，t故答案为：0t1且t点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质、锐角三角三角函数关系等知识，得出临界点时t的最值是解题关键2. （2015辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且ACD=B，则线段AD的长为考点：相似三角形的判定与性质分析：由已知先证ABCACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值解答：解：A=A，ACD=B，ABCACD，=，AB=5，AC=3，=，AD=故答案为点评：本题考查相似三角形的判定和性质识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值3. （2015辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，CBO=45，在直线BE上求点M，使BMC与ODC相似，则点M的坐标是（1，1）或（，）考点：相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征分析：根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得ODC是等腰三角形，先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到AC，BC，OB，OA，OC，AD，OD，CD，BD的长度，再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到BM的长度，进一步得到点M的坐标解答：解：OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，CBO=45，AB=AC=，OD=CD，在RtBAC中，BC=2，OB=2，OA=OBAB=2，在RtOAC中，OC=2，在RtOAD中，OA2+AD2=OD2，（2）2+AD2=（AD）2，解得AD=2，OD=CD=22，在RtBAD中，BD=2，如图1，BMCCDO时，过M点作MFAB于F，=，即=，解得BM=，MFAB，CA是OB边上的高，MFDA，BMFBDA，=，即=，解得BF=1，MF=1，OF=OBBF=1，点M的坐标是（1，1）；如图2，BCMCDO时，过M点作MFAB于F，=，即=，解得BM=2，MFAB，CA是OB边上的高，MFDA，BMFBDA，=，即=，解得BF=2+，MF=，OF=BFOB=，点M的坐标是（，）综上所述，点M的坐标是（1，1）或（，）故答案为：（1，1）或（，）点评：考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是得到BM的长度，注意分类思想的应用4. （2015山西,第15题3分）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位公共自行车车桩的截面示意图如图所示，ABAD，ADDC，点B，C在EF上，EFHG，EHHG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm考点：勾股定理的应用分析：分别过点A作AMBF于点M，过点F作FNAB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可解答：解：过点A作AMBF于点M，过点F作FNAB于点N，AD=24cm，则BF=24cm，BN=7（cm），AMB=FNB=90，ABM=FBN，BNFBMA，=，=，则：AM=，故点A到地面的距离是：+4=（m）故答案为：点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出BNFBMA是解题关键5. （2015天津,第16题3分）（2015天津）如图，在ABC中，DEBC，分别交AB，AC于点D、E若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为3.6考点：相似三角形的判定与性质分析：根据平行线得出ADEABC，根据相似得出比例式，代入求出即可解答：解：AD=3，DB=2，AB=AD+DB=5，DEBC，ADEABC，AD=3，AB=5，BC=6，DE=3.6故答案为：3.6点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中6（2015湖南张家界，第12题3分）如图，在ABC中，已知DEBC，则ADE与ABC的面积比为4：25考点： 相似三角形的判定与性质分析： 根据题意可得ADEABC，然后根据面积比为相似比的平方求解解答： 解：在ABC中，DEBC，ADEABC，SADE：SABC=4：25故答案为：4：25点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的面积比为相似比的平方7（2015吉林，第13题3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为12m考点： 相似三角形的应用专题： 应用题分析： 先根据题意得出ABEACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值解答： 解：EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，=，BE=1.5，AB=2，BC=14，AC=16，=，CD=12故答案为：12点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键8（2015重庆A15，4分）已知,与的相似比为4:1，则与对应边的高之比为 。考点：相似三角形的性质 分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可 解答：解：ABCDEF ，ABC 与 DEF 的相似比为4 ：1， ABC 与 DEF 对应边上的高之比是4 ：1， 故答案为：4 ：1 点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解 此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比 9（4分）（2015广东东莞14，4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9考点： 相似三角形的性质分析： 根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可解答： 解：两个相似三角形的周长比为2：3，这两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积比是4：9故答案为：4：9点评： 本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键10. （2015，广西柳州，18，3分）如图，矩形EFGH内接于ABC，且边FG落在BC上若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质专题：应用题分析：设EH=3x，表示出EF，由ADEF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长解答：解：四边形EFGH是矩形，EHBC，AEHABC，AMEH，ADBC，=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=ADEF=22x，=，解得：x=，则EH=故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键11. （2015，广西钦州，18，3分）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，按此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= 考点：位似变换；正方形的性质专题：规律型分析：由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为，据此即可求解解答：解：由图形的变化规律可得=，解得n=8故答案为：8点评：本题主要考查了正方形的性质及位似变换，解题的关键是正确的找出图形的变化规律12（2015辽宁阜新）（第10题，3分）如图，点E是ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果SDEF=a，那么SBCF=4a考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：根据平行四边形的性质得到ADBC和EFDCFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案解答：解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EFDCFB，E是边AD的中点，DE=BC，SDEF：SBCF=1：4，SDEF=a，SBCF=4a，故答案为：4a点评：本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方三、解答题1. （2015黑龙江省大庆,第27题9分）如图，四边形ABCD内接于O，ADBC，P为BD上一点，APB=BAD（1）证明：AB=CD；（2）证明：DPBD=ADBC；（2）证明：BD2=AB2+ADBC考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理专题： 证明题分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出=，进而得出答案；（2）首先得出ADPDBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；（3）利用相似三角形的判定方法得出ABPDBA，进而求出AB2=DBPB，再利用（2）中所求得出答案解答： 证明：（1）ADBC，ADB=BDC，=，AB=BC；（2）APB=BAD，BAD+BCD=180，APB+APD=180，BCD=APD，又ADB=CBD，ADPDBC，=，DPBD=ADBC；（3）APB=BAD，BAD=BPA，ABPDBA，=，AB2=DBPB，AB2+ADBC=DBPB+ADBC由（2）得：DPBD=ADBC，AB2+ADBC=DBPB+DPBD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+ADBC点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键2. （2015辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CDAB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且F=ABC（1）若CD=2，BP=4，求O的半径；（2）求证：直线BF是O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论考点：圆的综合题分析：（1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；（2）求得PBCBFA，根据相似三角形对应角相等求得ABF=CPB=90，即可证得结论；（3）通过证得AE=BF，AEBF，从而证得四边形AEBF是平行四边形解答：（1）解：CDAB，PC=PD=CD=，连接OC，设O的半径为r，则PO=PBr=4r，在RTPOC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4r）2+（）2，解得r=（2）证明：A=C，F=ABC，PBCBFA，ABF=CPB，CDAB，ABF=CPB=90，直线BF是O的切线；（3）四边形AEBF是平行四边形；理由：解：如图2所示：CDAB，垂足为P，当点P与点O重合时，CD=AB，OC=OD，AE是O的切线，BAAE，CDAB，DCAE，AO=OB，OC是ABE的中位线，AE=2OC，D=ABC，F=ABCD=F，CDBF，AEBF，OA=OB，OD是ABF的中位线，BF=2OD，AE=BF，四边形AEBF是平行四边形点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键3. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015呼伦贝尔）如图，已知直线l与O相离OAl于点A，交O于点P，OA=5，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求O的半径考点：切线的性质分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90，ACP+CPA=90，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出52r2=（2）2（5r）2，求出r，证DPBCPA，得出=，代入求出即可解答：证明：（1）如图1，连接OBAB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90，OBP+ABP=90，ACP+APC=90，OP=OB，OBP=OPB，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC；（2）如图2，延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，则AB2=OA2OB2=52r2，AC2=PC2PA2=（2）2（5r）2，52r2=（2）2（5r）2，解得：r=3，AB=AC=4，PD是直径，PBD=90=PAC，又DPB=CPA，DPBCPA，=，=，解得：PB=O的半径为3，线段PB的长为点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度4. （2015北海,第25题12分）如图，AB、CD为O的直径，弦AECD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使PED=C（1）求证：PE是O的切线；（2）求证：ED平分BEP；（3）若O的半径为5，CF=2EF，求PD的长考点： 切线的判定分析： （1）如图，连接OE欲证明PE是O的切线，只需推知OEPE即可；（2）由圆周角定理得到AEB=CED=90，根据“同角的余角相等”推知3=4，结合已知条件证得结论；（3）设EF=x，则CF=2x，在RTOEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RTAEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据AEBEFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的长解答： （1）证明：如图，连接OECD是圆O的直径，CED=90OC=OE，1=2又PED=C，即PED=1，PED=2，PED+OED=2+OED=90，即OEP=90，OEEP，又点E在圆上，PE是O的切线；（2）证明：AB、CD为O的直径，AEB=CED=90，3=4（同角的余角相等）又PED=1，PED=4，即ED平分BEP；（3）解：设EF=x，则CF=2x，O的半径为5，OF=2x5，在RTOEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x5）2，解得x=4，EF=4，BE=2EF=8，CF=2EF=8，DF=CDCF=108=2，AB为O的直径，AEB=90，AB=10，BE=8，AE=6，BEP=A，EFP=AEB=90，AEBEFP，=，即=，PF=，PD=PFDF=2=点评： 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键5. （2015齐齐哈尔,第22题6分）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：（1）画出ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的A1B1C1（2）以点B为位似中心，将ABC放大为原来的2倍，得到A2B2C2，请在网格中画出A2B2C2（3）求CC1C2的面积考点： 作图-位似变换；作图-平移变换分析： （1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据位似的性质画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式求出即可解答： 解：（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）如图所示：CC1C2的面积为36=9点评： 本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力6. （2015齐齐哈尔,第28题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA8|+（OB6）2=0，ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点： 一次函数综合题分析： （1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长；（2）证明ACDAOB，则OC=CD，然后根据ACDAOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CDAB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；（3）M是过A且垂直于AB的直线于BC的交点，首先求得M的坐标，然后分成四边形ABPM是矩形和APBM是矩形两种情况进行讨论解答： 解：（1）|OA8|+（OB6）2=0，OA=8，OB=6，在直角AOB中，AB=10；（2）在OBC和DBC中，OBCDBC，OC=CD，设OC=x，则AC=8x，CD=xACD和ABO中，CAD=BAO，ADC=AOB=90，ACDAOB，即，解得：x=3即OC=3，则C的坐标是（3，0）设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y=x+6，设CD的解析式是y=x+m，则4+m=0，则m=4则直线CE的解析式是y=x4；（3）设直线BC的解析式是y=nx+d，则，解得：，则直线BC的解析式是y=2x+6设经过A且与AB垂直的直线的解析式是y=x+e，则+e=0，解得：e=，则过A且与AB垂直的直线的解析式是y=x根据题意得：，解得：，则M的坐标是（5，4）当四边形ABPM是矩形时，同理求得过B且与AB垂直的直线的解析式是y=x+6，过M且与直线AB平行的直线的解析式是y=x+则，解得：，则P的坐标是（，）当APBM是矩形时，线段AB的中点是（4，3），设P的坐标是（e，f），则+e=4，+f=6，解得：e=，f=，则P的坐标是（，）点评： 本题考查了待定系数法求函数