第一部分数学Ⅱ附加题部分专题Ⅱ－7专题验收评估.doc

1已知ABC的三边长为有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数证明：(1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cos A是有理数(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数假设当nk(k1)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，由及归纳假设，知cos(k1)A与sin Asin(k1)A都是有理数即当nk1时，结论成立综合可知，对任意正整数n，cos nA是有理数2已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解：(1)抛物线C的焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为，解得c1.F(0,1)，故抛物线C的方程为x24y.(2)设点P的坐标为(x，y)，由xy20，得xy2，则|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.由得y2(2yx2)yy20，有y1y2x22y，y1y2y2.|AF|BF|y2x22y1y2(y2)22y122，当y，x时，即P时，|AF|BF|取得最小值.3已知斜率为k(k0)的直线l过抛物线C：y24x的焦点F且交抛物线于A，B两点设线段AB的中点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若2k1时，点M到直线l：3x4ym0(m为常数，m0恒成立，则y0.又x01，消去k ，得y2(x01)，所以点M的轨迹方程为y22(x1)(2)由(1)知，点M.因为m，所以d.由题意，得，m2对2k1恒成立因为2k1时，2的最小值是，所以m.故m的取值范围为，4已知函数f(x)在x0，x处存在极值(1)求实数a，b的值；(2)函数yf(x)的图像上存在两点A，B使得AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围解：(1)当x0)若t1上的值域是(0，)，所以实数c的取值范围是(0，)5(2013江南十校第一次联考)已知各项均为正的数列an的首项a11，对任意的正整数n都有(n2n)(aa)1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前n项和为Sn，求证：Sn0，an.法二：a11，an0，(n2n)(aa)1，a2，a3，a4，猜想an，下面用数学归纳法证明，当n1时，a11，n1时，an.假设nk时所证成立，即ak，当nk1时，(k2k)(aa)1，aa.ak1.故nk1时，an仍成立，由可知，对任意nN*，an成立(2)法一：2()，Sn12(0)2.法二：an，Sn1.当n1时，左边1，右边2，左右，n1时，Sn2.假设nk时所证成立，即Sk2，当nk1时，Sk1120)(1)若函数f(x)在x0处取极值，求a的值；(2)如图，设直线x，yx将坐标平面分成、四个区域(不含边界)，若函数yf(x)的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；(3)比较3243542 0122 011与2334452 0112 012的大小，并说明理由解：(1)f(x)(2x1)ln(2x1)a(2x1)2x(a0)，f(x)2ln(2x1)4a(2x1)1.f(x)在x0处取极值，f(0)4a10.a.(2)因为函数的定义域为，且当x0时，f(0)a0.又直线yx恰好通过原点，所以函数yf(x)的图象应位于区域内，于是可得f(x)x，即(2x1)ln(2x1)a(2x1)2x0，a.令h(x)，h(x).令h(x)0，得x.x，x时，h(x)0，h(x)单调递增；x时，h(x)0，h(x)单调递减hmax(x)h.a的取值范围是.(3)由(2)知，函数h(x)在x时单调递减，函数p(x)在x(e，)时单调递减，xln(x1)(x1)ln x.ln(x1)xln x(x1)，即(x1)