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1 第四章多属性决策 第一节多属性决策问题第二节确定权重的常用方法第三节加权和法第四节TOPSIS法第五节层次分析法第六节数据包络分析法 2 第一节多属性决策问题 引例设某人拟购买住宅一栋 有四所房屋可供选择 房屋的合意程度用五个指标去衡量 即价格 使用面积 距工作地点的距离 设备 环境 见下表的决策矩阵 3 第一节多属性决策问题 一 决策矩阵 设有n个决策指标Cj j 1 2 n m个可行方案Ai i 1 2 m 方案Ai在指标Cj下的指标 属性 值为xij 则有如下决策矩阵 或属性值表 4 例1研究生院试评估 5 例2某航空公司在国际市场买飞机 按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价 这6个指标是 最大速度 C1 最大范围 C2 最大负载 C3 价格 C4 可靠性 C5 灵敏度 C6 现有4种型号的飞机可供选择 具体指标值如表 写出决策矩阵 并用向量归一化法处理 6 数据的预处理又称属性值的规范化 标准化 主要有如下作用 1 区分属性值的多种类型使得对于任一属性 其属性值都是越大越好 2 非量纲化多属性决策的目标间具有不可公度性 即在属性值表中每一列数据都具有不量纲 即使对同一属性 采用不同的计量单位 表中的数值也会不同 需要排除量纲的选用对决策结果的影响 3 归一化将属性值变换到 0 1 区间上 二 数据的预处理 7 定性指标量化处理方法 将定性指标按性质划分为若干级别 分别赋予不同的量值 一般可以划分为五个级别 最优值10分 最劣值0分 其余级别赋予适当的分值 也可以划分为其他级别和赋予其他分值 方法类似 视具体情况而定 具体分值见表 8 9 1 向量归一化法 在决策矩阵中 令 则矩阵Y yij m n称为向量归一标准化矩阵 显然 矩阵Y的列向量的模等于1 即 经过向量归一化处理后 其指标均满足0 yij 1 并且 正 逆向指标的方向没有发生变化 10 11 2 线性比例变换法 对于正向指标Cj 则 对于逆向指标Cj 则 经过线性比例变换后 其指标均满足0 yij 1 并且正 逆向指标均化为正向指标 最优值为1 最劣值为0 12 13 3 极差变换法 正向指标 逆向指标 经过极差变换后 其指标均满足0 yij 1 并且正 逆向指标均化为正向指标 最优值为1 最劣值为0 14 15 4 标准样本变换法 经过标准样本变换之后 标准化的矩阵的样本均值为0 方差为1 16 5 区间型指标 指标值落在某个区间为最好 其中 为区间指标的适度区间 6 居中型指标 其中 qj为居中指标的理想值 17 逐对比较法是一种主观赋权法 基本思想 将属性按重要性进行两两比较 根据三级比例标度进行评分 各属性得分与所有属性总得分之比即为该属性的权重 1 逐对比较法 第二节确定权重的常用方法 18 显然 该矩阵单元之间存在如下的关系 指标Ck的权重系数分别为 19 4 18 1 5 18 5 5 18 20 连环比率法也是一种主观赋权法 其基本思路是 将所有指标排成一列 从上到下比较相邻两个指标重要性 并赋予一个比率值 对最后一个指标赋予1 再从下到上 依次求出各指标修正评分值 最后 进行归一化处理 求得各指标的权重 2 连环比率法 21 2 计算各指标修正评分值 3 归一化处理 1 1 2 1 6 1 6 1 6 1 2 2 5 22 熵是信息论中一个衡量系统不确定性的量 不确定性越大 熵越大 反之 不确定性越小 熵越小 3 熵值法 熵值法依据各指标所包含的信息量大小确定指标权重 是一种客观赋权法 1 对决策矩阵用线性比例变换法进行标准化处理 得标准化矩阵Y yij m n 并进行归一化处理 得 23 2 计算第j个指标的熵值 3 根据每个指标的熵值求其差异系数 即 指标的差异越大 对方案的评价作用就越大 反之 差异越小 对方案评价的作用越小 根据每个指标的差异系数 确定其权重系数 即 24 组织若干对决策系统熟悉的专家 采用一定的方式对指标权重独立地发表意见 用统计方法作适当处理 这种方法称为专家赋权法 也称Delphi法 设有n个决策指标C1 C2 Cn 组织l个专家咨询 每个专家确定一组指标权重估计值 4 专家赋权法 25 对l个专家给出的权重估计值平均 得到平均估计值 根据专家赋值和平均估计值求赋值权重的偏差 即 对于偏差较大的第j个指标的权重估计值 再请第i个专家重新估计权重值 经过几轮反复 直到偏差满足一定要求为止 这样 就得到一组指标权重的平均估计修正值 26 第三节加权和法 步骤 1 用适当方法确定各指标的权重 得到权重向量W w1 w2 wn T 2 对决策矩阵进行标准化处理 要求将所有的指标正向化 得到标准化矩阵Y yij m n 3 求出各方案的指标线性加权和 4 按照ui由大到小的顺序对方案进行排序 27 例3使用加权和法对例2的购买飞机问题进行决策 解 用适当方法确定决策指标的权重 得到wT 0 2 0 1 0 1 0 1 0 2 0 3 用线性比例变换法得到标准化决策矩阵 28 求得四个方案的加权指标值分别为u1 0 835 u2 0 709 u3 0 853 u4 0 738 利用公式计算各方案的加权指标值 由此可得最满意方案为a3 且各方案的优劣排序结果为 29 1 指标体系为树状结构 即每个下级指标只与一个上级指标相关联 2 每个属性的边际价值是线性的 每两个属性都是相互价值独立的 3 属性间的完全可补偿性 即某个属性的缺陷可以由其他属性来补偿 使用加权和法的前提条件 30 TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution 思想 通过构造理想解和负理想解 并以靠近理想解和远离负理想解两个基准 作为评价各方案的依据 理想解 各指标属性都达到最满意时的解 负理想解 各指标属性都处在最不满意时的解 早期理想解法只考虑与理想解距离 但有时会出现某两个备选方案与理想解距离相同的情况 为了区分这两个方案的优劣 引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离 与理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优 这就出现了后来的双基点理想解法 现仍称为理想解法 第四节理想点法 TOPSIS 31 TOPSIS理想解与负理想解图形 说明 最佳方案亦即距离理想解最近 同時距离负理想解最远的方案 32 A A 确定了理想解和负理想解 还需要定义一个距离测度表示各方案与理想解和负理想解的距离 TOPSIS法所用的是欧氏距离 A1 A2 A3 A4 33 1 用向量规一化方法求得标准化决策矩阵Y yij m n 设多属性决策问题的决策矩阵X xij m n 指标权重向量为W w1 w2 wn T 则理想点法的步骤为 2 计算加权标准化决策矩阵V vij m n 理想点法的步骤 34 5 计算各方案的相对贴近度 6 按Ci由大到小对方案排序 3 确定理想解V 和负理想解V 定义如下 其中 35 例4使用理想解法对例2的购买飞机问题进行决策 解 用适当方法确定决策指标的权重 得到wT 0 2 0 1 0 1 0 1 0 2 0 3 用向量归一化法得到标准化决策矩阵 36 计算加权标准化决策矩阵 可得 确定理想解和负理想解V 0 1168 0 0659 0 0531 0 0414 0 1347 0 2012 V 0 0841 0 0366 0 0455 0 0598 0 0577 0 1118 计算各方案到理想解和负理想解的距离S1 0 0545 S2 0 1197 S3 0 0580 S4 0 1009S1 0 0983 S2 0 0439 S3 0 0920 S4 0 0548 37 计算各方案的相对贴近度C1 0 643 C2 0 268 C3 0 613 C4 0 312 按Ci由大到小对方案排序 38 第五节层次分析法 AHP 层次分析法 TheAnalyticalHierarchyProcess 是美国运筹学家 匹兹堡大学教授T L Saaty在20世纪70年代初提出来的 它是处理多目标 多准则 多要素 多层次的复杂问题 进行决策分析 综合评价的一种简单 实用而有效的方法 是一种定性分析与定量分析相结合的方法 39 基本思路 首先根据问题的性质和所要达到的总目标 将问题分解为不同的组成要素 并按照这些要素间的相互关联影响以及隶属关系 将要素按不同层次聚集组合 形成一个多层次分析结构模型 最后将该问题归结为最低层相对最高层 总目标 的比较优劣的排序问题 40 一 AHP的步骤 1 建立层次分析结构模型 2 构造判断矩阵 3 层次单排序及一致性检验 4 层次总排序及一致性检验 41 确定各层次后 标明上一层与下一层要素之间的联系 层次结构往往用结构模型来描述 1 建立层次分析结构模型 分析评价系统中各基本要素之间的关系 建立系统的递阶层次结构 分解法 ISM法 42 43 44 判断矩阵B的含义 相对于上一层某要素 本层次各个要素重要性两两比较的判断值 bij表示要素i与要素j重要性的比值 bij按1 9标度给定 判断矩阵B具有如下性质 1 bii 1 2 bij与bji互为倒数 2 构造判断矩阵B b11 b1nB bij n n bn1 bnn 45 例如 相对于投资合理性 将风险小 利润高和易转产之间的重要性进行两两比较 如b21 3 表示利润高比风险小稍微重要 同理 相对于风险小 利润高 易转产 第三层各有一个方案之间满意度两两比较矩阵 这样 本问题共有四个判断矩阵 46 层次单排序 根据判断矩阵计算出某层次各要素相对于上一层次中某要素的相对权重 设有n个事物构成的一个整体W 其分量为 W w1 w2 wn 其总体和为1 为了得到每个事物在总体和中的权重 就需两两比较其分量 3 层次单排序及一致性检验 一致性 设矩阵A aij n n满足对任意i j k 1 2 n 有aik akj aij 则称A为一致性矩阵 47 A具有如下性质 aii 1 aij与aji互为倒数 完全一致性 即aik akj aij i j k 1 n 48 根据矩阵理论 一致性矩阵A的最大特征值等于矩阵A的阶数n 以n个事物为元素的向量W是矩阵A对应于n的特征向量 它表示n个事物在总量和中的权重 也就是说 矩阵A的最大特征值n所对应的特征向量即为被比较事物的权重 49 特征根法 基本思想 当矩阵A为一致性矩阵时 其特征根问题AW W的最大特征值所对应的特征向量归一化后即为排序权重向量 结论 求A的重要性权重就可以归结为求A的最大特征值所对应的特征向量 50 A的元素按列归一化 即 将归一化后的各列相加再除以n 即为权重向量 权重向量的近似算法1 求和法 算术平均法 51 步骤 按行求乘积开n次方根 将归一化为wi 得权重向量W w1 w2 wn 归一化公式 2 方根法 几何平均法 52 求和法 列相加0 691 940 37 除以30 2300 6470 123 例2分别使用求和法与方根法计算要素B1 B2 B3关于要素A的相对权重 53 方根法 连乘2 3151 10 归一化0 2300 6480 122 开3次方0 872 470 46 54 B与A都表示元素重要性比值 但A是按定义构造 而B是由主观判断获得 因此两者数学性质并不完全一致 表现在A具有完全一致性 从而其判断矩阵的最大特征根 n 而B不具备性质 大于n 从而把A推广到B所得的结论也有一定误差 为使特征根法仍能适用 须对误差进行检验 若误差在允许范围内 则对B所求的特征向量可近似表示权重 这一检验环节称一致性检验 相容性检验 例如 例2中的判断矩阵B就不满足完全一致性b13 b32 2 1 5 2 5 b12 1 3 b13 b32 b12 55 前述A的最大特征值为n 而判断矩阵B的最大特征值 max n 可以认为这是B不满足 而产生的结果 B越是不满足 max n越大 因此 将这一误差值作为衡量A满足完全一致性的程度 一致性指标 ConsistencyIndex 其中 56 考虑到n越大 判断矩阵B越难满足一致性 所以应对不同阶数的矩阵给予不同的误差限 为此引入随机一致性指标R I 1000个样本得到的平均C I 值 一致性比率 ConsistencyRatio C R C I R I 若C R 0 1 判断矩阵B具有满意一致性 若C R 0 1 判断矩阵B不具有满意一致性 需要重新构造 直到满意为止 57 例3对例2中的判断矩阵B进行一致性检验 故此判断矩阵具有满意一致性 58 4 层次总排序及一致性检验 层次总排序 计算各层要素相对于最高层 总目标 的总权重 并据此对方案等排序 59 采用同一层次中所有层次单排序的结果 就可计算对上一层次而言的本层次所有要素重要性的数值 总排序过程从上到下逐层进行 直到得出最后一层的总排序 设以第k 1层的第j个要素为准则的一致性指标为C I jk 相应的平均随机一致性指标为R I jk j 1 2 nk 1 那么第k层的综合指标分别为 综合一致性检验 60 当C R k 0 1时 认为层次结构在第k层以上的判断具有整体满意一致性 否则 认为层次结构在第k层以上的判断不具有整体满意一致性 但在实际应用中 整体一致性检验常常不必进行 61 以第k 1层要素为准则的一致性指标 平均随机一致性指标 第k层总排序 第k 1层要素第k 1层总排序值单排序值第k层要素 层次总排序及一致性检验表 62 二 AHP的流程图 63 三 应用举例 例4某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻工产品 现拟定三个投资方案 1 生产某种家用电器 2 生产某种紧俏产品 3 生产传统产品 评价和选择投资方案的准则是 风险程度 资金利润率和转产难易程度 经初步分析认为 若投资用来生产家用电器 其优点是资金利润率高 但因竞争厂家多 故所冒风险也大 且今后若要转产其他产品也较困难 若资金用来生产传统产品 情况正好相反 即其优点是所冒风险小 今后若要转产也较方便 但资金利润却很低 生产紧俏产品的投资方案 其优缺点则介于上述两种方案之间 因此 对上述三种投资方案不能立即作出评价与决策 64 1 建立层次分析结构模型 2 构造判断矩阵 进行层次单排序及一致性检验 65 66 0 230 0 105 0 648 0 592 0 122 0 081 0 230 0 022 0 648 0 008 0 122 0 035 3 层次总排序及一致性检验 C R C I R I 0 015 0 58 0 025 0 1 67 例5四级递阶结构的AHP算法 68 1 构造判断矩阵 进行层次单排序及一致性检验 69 70 二级综合重要度计算表 2 层次总排序及一致性检验 C R C I R I 0 0016 0 464 0 1 71 三级综合重要度计算表 C R C I R I 0 015 0 258 0 1 72 改进的1 9标度 Ax标度 参考书籍 系统工程定量技术批判与创新 张志勇 陕西人民出版社 73 第六节数据包络分析法 DataEnvelopmentAnalysis DEA 1 DEA的产生 数据包络分析是运筹学 管理科学和数理经济学交叉研究的一个新的领域 它是由A Charnes和W W Cooper等人于1978年创建的 DEA是使用数学规划模型评价具有多个投入和多个产出的部门或单位间的相对有效性 一 DEA概述 1978年 Charnes Cooper Rhodes C2R模型 1985年 Charnes Cooper Golany Seiford Stutz C2GS2模型 1986年 Charnes Cooper 魏权龄 C2W模型 74 国外 评价为弱智儿童开设的公立学校项目 2 DEA的应用研究工作 国内 1986年 周泽昆 陈珽等 中小学教育1988年 魏权龄等 学会1989年 余学林 科技情报机构1990年 李树根 杨印生等 机械部所属院校的科研相对有效性1992年 杨印生等 高校实验室管理效率 75 DEA适用于具有多投入多产出的复杂系统 1 DEA以各投入产出的权系数为决策变量 在最优化的意义上进行评价 避免了在统计平均意义上确定指标权系数 具有内在的客观性 2 DEA不必给出反映各投入与产出之间关联关系的表达式 3 DEA的优点 76 1 收集数据 投入 产出数据 2 调整数据 使投入数据的优化方向为越小越好 产出数据的优化方向为越大越好 3 建模 以N个决策单元为行向量 形成一个N M S 维数表 即为标准DEA模型 4 运行DEA程序 得出效率评价指数 据此判断决策单元是否有效 以及有效的投入量和产出量 4 DEA的操作步骤 77 二 C2R模型的基本原理 1 C2R模型 v1v2 vm u1u2 up 投入 产出 12 n 78 决策单元j的效率指标 hj表示第j个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率 可以适当选择权系数u v 使得hj 1 79 评价第j0个决策单元相对有效性的C2R模型 意义 寻找一组权系数v1 vm和u1 up 在全部所考察的决策单元的效率指数hj满足小于等于1的条件下 使所评价的决策单元j0的效率指数h0最大 80 向量形式 其中 81 利用Charnes Cooper变换 将上述分式规划问题转化为等价的线性规划问题 令 则有 向量形式 82 P 的对偶规划问题为 其中为松弛变量 为剩余变量 83 例1设有4个决策单元 2个投入指标和1个产出指标的评价系统 写出评价第1个决策单元相对效率的C2R模型 1334 3132 1234 1121 1 1 2 解得 84 2 系统的DEA有效性 定义1如果LP问题 P 的最优解满足条件则称决策单元j0为弱DEA有效 定义2如果LP问题 P 的最优解满足条件并且则称决策单元j0为DEA有效 定理1 1 如果 D 的最优值VD 1 则j0为弱DEA有效 反之亦然 2 如果 D 的最优值VD 1 并且每个最优解都满足条件则j0为DEA有效 反之亦然 85 3 系统DEA有效性的判定 为使模型计算简便易行 查恩斯和库伯引入非阿基米德无穷小量 得 86 定理2设LP问题 D 的最优解为则 1 若 0 1 则j0为弱DEA有效 2 若 0 1 并且s0 0 t0 0 则j0为DEA有效 87 例如 例1中评价第4个决策单元相对有效性的C2R模型为 1334 3132 1234 1121 1 1 2 88 利用单纯形法求解 得到最优解 因为 0 1 故决策单元4不是弱DEA有效 也不是DEA有效 同理 可判定决策单元1 2 3为DEA有效 89 三 DEA有效性的经济意义 1 生产函数 生产函数y f x 表示理想的生产状态 即投入量x所能获得的最大产出量y y f x x y A C B 规模有效 是指投入量既不偏大 也不过小 是介于规模收益由递增到递减之间的一种状态 边际报酬递减规律 技术有效 是指输出相对输入而言已达到最大 90 设LP问题 D 的最优解为 1 当 0 1 且s0 0 t0 0时 j0为DEA有效 2 当 0 1 但至少