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理科数学答案 第 1 页 共 1 页 2020 年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学参考答案 2020 1 说明 说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 1 1 a a 2 2 d d 3 3 b b 4 4 b b 5 5 c c 6 6 d d 7 7 c c 8 8 c c 9 9 a a 1010 b b 1111 a a 1212 d d 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 2 14 16 5 或写成3 2 15 12 90 16 21 21 3 n n knn 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 解 1 由题设及正弦定理得 sincos3cossin3sincossincosabcacaba 2 分 整理得 sincos sincos3sincos 3cossinabbacaca sin 3sin abca 4 分 180abc sin3sincb 由正弦定理得3 c b 6 分 2 由已知及余弦定理得 222 24 cos 32 4 bc b 8 分 3cb 222 491 2 42 bb b 理科数学答案 第 2 页 共 2 页 2 240bb 1 33 4 b 10 分 abc 的周长为 133 44 44533 4 abcb 12 分 18 12 分 1 pd 平面abcd pdac 又 四边形abcd为菱形 bdac 又bdpdd ac 平面pbd de 平面pbd acde 5 分 2 连oe 在pbd 中 oepd oe 平面abcd 分别以oa ob oe 为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 设pdt 则 1 0 0a 0 3 0b 1 0 0c 0 0 2 t e 0 3 pt 7 分 由 1 知 平面pbd的一个法向量为 1 1 0 0n 设平面pab的一个法向量为 2 nx y z 则 2 2 0 0 nab nap 即 30 30 xy xytz 令1y 则 2 2 3 3 1 n t 9 分 二面角a pbd 的余弦值为 3 4 12 2 33 cos 3 412 4 n nt t 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 设ec与平面pab所成角为 3 1 0 2 ec 2 2 3 3 1 3 n 2 33 2 33 sincos 13 1394134 14 4323 ec n 12 分 19 12 分 解 1 该社区内的成人每天晚上打开 学习强国 的平均时间为 55 0 1 65 0 2 75 0 4 85 0 2 95 0 1 75 min 而调查总时长为 150 min 故 751 1502 p 5 分 2 根据题意 1 10000 2 xb 故 111 100005000 1 100002500 222 e xnpd xnpp 7 分 50001 100 502500 x zx 当49505100x 时 12z 0 1 zn 0 95450 6827 12 20 9545 0 8186 2 pzpz 故 49505100 120 8186 pzpz 10 分 所以估计 该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为 150 0 8186123 min 12 分 20 12 分 解 1 由椭圆 22 22 1 xy e ab 的右顶点为 6 0 a 得 2 6a 2 分 又椭圆 22 22 1 xy e ab 过点 2 1 b 则 2 4 6 1 1 b 解得 2 3b 椭圆e的标准方程为 22 1 63 xy 5 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页 2 当直线mn斜率存在时 设mn的方程为 1122 1 yk xm x yn xy 由 22 1 63 1 xy yk x 得 2 22 216xkx 即 2222 124260kxk xk 6 分 1 0 在椭圆内部 0 2 12 2 2 1 1 2 4 12 26 21 k xx k k x x k 7 分 1212 2211bmbnxxyy 121212 2411x xxxkxkkxk 222 1212 1225kx xkkxxkk 8 分 将 代入 得 22 222 22 264 1225 2121 kk bm bnkkkkk kk tbm bn 2 2 1521 21 kk t k 9 分 2 152210 t kktkr 2 24 15210tt 215110tt 即 2 213160tt 又 m n是 2 213160tt 两个根 13 2 mn 10 分 当直线mn斜率不存在时 联立 22 1 63 1 xy x 得 10 2 y 理科数学答案 第 5 页 共 5 页 不妨设 1010 1 1 22 mn 10 3 1 2 bm 10 3 1 2 bn 1015 91 42 bm bn 可知 15 2 nm 综上得 13 2 mn 12 分 21 12 分 解 1 函数 f x函数的定义域为 1 由 2 ln 1 1 x e f xax ax x 得 2 2 2 1 x eax ax fx x 令 0fx 得 2x是一个根 要使 f x在 1 3 上有三个极值点 123 x x x 则 0fx 有三个解 所以 2 0 x eax a 在 1 3 必有 2 个解 13 x x 2 1 x e a x 令 2 1 x e g x x 则 2 2 2 1 x ex g x x 由 0 13 gx x 得23x 由 0 13 gx x 得12x 3 分 g x 在 1 2 上单调递减 2 3 上单调递增 min 2 1g xg 当1x 时 g x 3 2 e g 为了满足题意 必有1 2 e a a 的取值范围为1 2 e a 6 分 另另解解注注 g x 在 1 2 上单调递减 2 3 上单调递增 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 3 1 2 222 e e eeee ggge e e 当1 2 e a 时 ya 与 2 1 x e g x x 在 1 2 和 2 3 上各有一个公共点 即两个公共点 理科数学答案 第 6 页 共 6 页 当 1a时 只有一个公共点 当1a 时 无公共点 当 2 e a 时 只在 1 2 上有一个公共点 综上 a的取值范围为1 2 e a 2 解法一 由 1 知 13 x x是方程 2 0 x eax a 在 1 3 内的 2 个解 31 22 13 xx eaxa eaxa 由 1 13 3 2 1 2 3 1 1 x xx x xe e ex 令 1 1x 3 1x 则e 即 lnln 1 要证 1 313 x xxx 只要证1 1 01 2 结合函数lnyx 的图像知 两点 11 ln ln 连线的斜率比两点 ln ln 连线的斜率小 即只要证 1 lnln 1 12ln0 01 1 就行 令 1 2ln 01 h 2 22 12 1 10h h 在 0 1 单调递减 1 0hh 1 313 x xxx 解法二 由 1 知 123 123xxx 令1xu 则 11 1xu 22 1xu 于是 1 u e g xh u u 由 1 知 h u在 0 1 单调递减 在 1 2 单调递增 13 012uu 则 1 1 1 u 8 分 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 111 1 1 1 1 11 1 11 111 1 1 1 uuu u eee gg uu e uuu u 令 1 1 1 1 1 11 1 u u e f uu e u 则 11 1 1 1 11 1 2 1 1 uu uu ee f u u 11 11 11 1 1 1 1 uu eu e u 又 1 1 1 01 1 u ue 11 1 1 1 11 0 0 uu u eef u 10 分 1 f u 在 0 1 单调递减 1 1 0f uf 1331 3 11 11 1gg ug uuu u uu 13 1 1 1xx 即 1 313 x xxx 12 分 22 10 分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 1 22222 4 3cossin4 3cos2 由 cos sin x y 得 22 22xy 曲线c的直角坐标方程 2 2 1 2 x y 5 分 2 由 1 知 2 0 0 1ab 则直线ab的直角坐标方程为220 xy 极坐标方程为cos2 sin20 在极坐标系中 设 qp 则2 点p在直线ab上 cos2sin20 理科数学答案 第 8 页 共 8 页 22 cossin20 即cos2sin 即 2 cos2 sin 点q轨迹的直角坐标方程为 22 20 xyxy 即 2 2 123 224 xy 点q的轨迹为半径为 3 2 的圆 圆的面积为 3 4 10 分 23 10 分 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 解 1 由已知得3 3 24xmxmxmxmm 又mn 1m 132f xxxx 等价于 1