2019-2020学年示范中学培优联盟高一上学期冬季联赛数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省示范中学培优联盟高一上学期冬季联赛数学试题一、单选题1若全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为( )ABCD【答案】B【解析】图中阴影部分表示的意思为：，根据集合运算关系即可得解.【详解】根据图中阴影部分表示的意思为：，所以.故选：B【点睛】此题考查韦恩图表示的集合关系辨析，并求出图中表示的集合，属于简单题目，关键在于准确识别图中表达的意思.2下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( )ABCD【答案】A【解析】A符合题意，B不关于原点对称，C不是增函数，D不关于原点对称.【详解】，记，是奇函数，可化为，当，且是增函数，当，且是增函数，所以函数在定义域内单调递增，所以A正确；是非奇非偶函数，不关于原点对称，所以B不正确；不是增函数，所以C不正确；是偶函数不是奇函数，不关于原点对称，所以D不正确；故选：A【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟记常见基本初等函数的性质对解题能起到事半功倍的作用.3已知定义域为的奇函数满足，且当时，则（）ABC3D【答案】D【解析】由题意利用函数奇偶性求得的周期为3，再利用函数的周期性求得的值【详解】解：已知定义域为的奇函数满足，的周期为3.时，,故选：D。【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题4函数（且）的图像是下列图像中的（ ）ABCD【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.5函数f（x）=，则不等式f（x）2的解集为（ ）AB（，-2 ）（，2 ）C（1，2）（，+）D（，+）【答案】C【解析】当时，有，又因为，所以为增函数，则有，故有；当时，有，因为是增函数，所以有，解得，故有综上故选C6已知函数，的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据图象求三角函数解析式，再根据余弦函数性质得零点，最后求的最小值.【详解】由图象可知，且，令，可得，解可得，或，或，则的最小值为，故选【点睛】本题考查三角函数解析式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.7已知函数，则的定义域是( )ABCD【答案】B【解析】解不等式组即可得定义域.【详解】已知函数，要使有意义，则，解得.所以函数定义域为.故选：B【点睛】此题考查求具体函数的定义域，其本质在于准确求解不等式组，涉及二次不等式和三角不等式，需要熟练掌握三角函数的图象和性质.8已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，则函数的零点所在的区间为（）ABCD【答案】D【解析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数是定义域为上的单调函数，所以为一定值，设为，即，而，解得，因此，所以，故函数的零点所在的区间为，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键.9已知函数，若，互不相等，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】画出函数图像，根据对称得到，再得到，最后得到答案.【详解】画出函数图像：，设 则 即 故答案选C【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题，画出图像是解题的关键，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.10函数的单调递减区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间利用复合函数的性质，可得所求的区间为，化简即可得答案【详解】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间.令，解得，所以原函数的单调减区间为.结合所给的选项，可知选B.【点睛】本题考查复合函数求单调性问题，属于基础题11函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：若函数在上为减函数,则，计算得出，所以B选项是正确的.【考点】函数的单调性，对数函数的定义域.【方法点睛】本题考查了复合函数单调性相关知识，同时也考查了对数函数定义域的要求，而同学们在做题时常常丢掉定义域的限制条件，属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单减，作为对数的底，所以有，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故，还需保证真数在定义域上恒大与，只需保证正数部分最小值大于即可.12函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】根据“梦想函数”定义将问题改写为，等价转化为有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.【详解】因为函数是“梦想函数”，所以在上的值域为，且函数是单调递增的.所以，即有2个不等的正实数根，令即有两个不等正根，且两根之积等于，解得.故选：A.【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.二、填空题13函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.【答案】6【解析】试题分析：由题意，则；时，不成立【考点】函数的最值及其几何意义14函数，则_.【答案】1009【解析】根据的周期性，分析，结合规律求解.【详解】，根据的周期性可知：所以【点睛】此题考查根据函数的周期规律求值，虽然函数不是周期函数但可以根据函数关系找出函数值变化的周期规律，根据规律求值，减少计算量.15函数满足，且在区间上，则的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 16已知：，则的取值范围是_【答案】【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得，所以，又因为 ，所以，解得，所以，故填 .【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题17已知集合，集合，函数的定义域为集合.(1)若，求集合；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）根据不等式求出集合A，求出函数的定义域B，即可求解补集和交集；（2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可.【详解】(1)集合，因为.所以函数，由，可得集合.或，故.(2)因为，由，而集合应满足，因为，故，依题意：，即或，所以实数的取值范围是.【点睛】此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需要考虑解集端点的大小关系.18已知：（1）当有实数解时，求：实数a的取值范围；（2）若恒有成立，求：实数a的取值范围【答案】【解析】【详解】(1)因为,即,a的最大值等于,a的最小值等于,所以,.(2) ,又,.所以,实数a的取值范围是.19已知，函数，且.（1）求的最小正周期；（2）若在上单调递增，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得的图象关于直线对称，由此求得的值，可得它的最小正周期（2）根据在-t，t上单调递增，可得，且，由此解得t的最大值【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称，所以，解得，又因为，所以，则的最小正周期.（2）因为，所以的单调递增区间为.因为在上单调递增，所以，解得.故的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题20已知函数且）.(1)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(2)当时，若不等式对于恒成立，求的最大值.【答案】(1)当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，证明见解析；(2).【解析】（1）对函数进行变形，分类讨论即可得到单调性；（2）结合（1）的结论，根据单调性转化为对于恒成立，即可求解.【详解】(1)当时，在上是减函数，当时，在上是增函数.证明如下：任取，则因为，所以，所以，所以当时，所以，故函数在上是减函数.所以当时，所以，所以，故函数在上是增函数.(2)易知是奇函数，即.当时，由(1)知，在上是减函数，从而在上是减函数，故对恒成立，即对恒成立.因为在上是减函数，所以的值域为.所以，故的取值范围是.【点睛】此题考查利用定义证明函数的单调性，利用单调性解决不等关系，根据不等关系求参数范围，涉及等价转化的思想.21某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收入最多？【答案】（1）（2）当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元【解析】【详解】试题分析：（1）根据x的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，x5.75，票价最低为6元，票价不超过10元时：y=1000x5750，（6x10的整数），票价高于10元时：y=x100030（x10）5750=30x2+1300x5750，解得：5x38，y=30x2+1300x5750，（10x38的整数）；（2）对于y=1000x5750，（6x10的整数），x=10时：y最大为4250元，对于y=30x2+1300x5750，（10x38的整数）；当x=21.6时，y最大，票价定为22元时：净收人最多为8830元【考点】函数解析式的求解及常用方法22若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”.(1)判断函数是否为“依附函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依附函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.【答案】(1)不是，理由见解析；(2)；(3).【解析】（1）举出反例：取，但是不存在，即可判定；（2）根据依附函数的关系，结合在递增，故，即，即可求得取值范围；（3）根据依附函数的关系结合单调性分析可得，将问题转化为存在，使得对任意的，有不等式都成立，即关于t的不等式恒成立，即可求解.【详解】(1)对于函数的定义域内存在，则，无解.故不是“依附