对“旋转变换”解决几何问题的探讨(何兰红）.doc

对“旋转变换”解决平面几何问题的探讨（何兰红）内容摘要：随着新课改的推行与实施, 旋转变换已纳入初中几何教材之中。旋转变换是图形变换中的一种基本变换,它在平面几何求解题、证明题、作图题中有着广泛的应用。本文拟从通过剖析旋转变换的定义、性质，剖析几何图形特征及几何问题特点来探讨如何正确运用旋转变换解题。关键词：旋转变换、旋转中心、旋转角、几何问题新教材中，几何教学加强了“图形变换”的有关内容，通过体会和认识图形特征，增强了学生用旋转变换处理几何问题的感受，并注重几何直觉培养空间观念。而旋转变换，正是利用直观感知和合情推理或数学说理，使几何问题中已知或所求的部分集中到一个基本图形中，为求解创设合适的情景，从而减少了繁琐的逻辑推理、证明和运算，能更简便、灵活地解决问题。那么旋转变换解决几何问题的关键是什么，什么几何图形、哪些几何问题可运用旋转变换呢？本人根据自己的教学实践，作如下粗浅的探讨。首先、理解并掌握好旋转变换的定义、性质，正确运用旋转变换解题。旋转变换是将平面图形F1绕平面内一定点O旋转一个定角，得到一个与原来图形的形状与大小都一样的图形F2，O点叫做旋转中心，叫做旋转角，当时，称为中心对称变换， 所以中心对称变换是一种特殊的旋转变换。旋转变换的基本特征和性质是：（1）在旋转变换下，旋转图形中每一点绕着旋转中心转了同样大小的角度，即都等于旋转角；（2）在旋转变换下，对应线段相等；（3）在旋转变换下，对应直线的夹角等于旋转角。由旋转变换的定义和性质可知，平面上的旋转由旋转中心O和旋转角完全确定。因此，要对图形进行旋转变换，需要根据图形的特点选择合适的旋转中心和旋转角。例1、如图，四边形AFCE中，ABFC于B，且AF=AE，AB=BC=5，求四边形AFCE的面积。（由八年级上册第15页习题3改编）。分析：由于四边形AFCE不是特殊四边形，直接计算面积比较困难，由AF=AE，利用旋转变换，将AFB绕点A逆时针旋转900（ 即的度数）至 ，则可知点G、E、C在同一条直线上，四边形ABCG是一个正方形，这样求四边形AFCE的面积就转化成求正方形ABCG的面积，问题也就解决了。由例1可以看出，运用旋转变换关键是：（1）确定旋转中心（例1的旋转中心是点A）；（2）确定旋转图形（例1中是AFB）；（3）确定旋转的角度和方向（例1中旋转角度为900，逆时针方向）。其次、由旋转变换的性质可知，当平面几何图形中有共点且相等的线段时，可以考虑旋转变换，如等腰三角形、正方形。1、若问题中有等腰三角形，可设计以等腰三角形的顶点为旋转中心，以顶角为旋转角的旋转，而正三角形的旋转角往往是600。例2、D为等腰三角形ABC内一点，AB=AC，ADB求证:DCDB. 分析：如图，把绕顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，得到，连结DE，则有AD=AE，。因为所以。又因为AD=AE，所以，则，所以DCEC,即DCDB。注：此题若条件改为ADB=(或ADB),结论改为DC=DB(或DCAP. 另外、旋转变换在竞赛题、中考题中常有应用。例6、已知中，E、F为BC三等分点，M为AC中点，BM交AE、AF分别于G、H点，则BG：GH：HM= （第六届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）分析：如图，以点M为中心，作的中心对称图形，由平行线段成比例，易得BG=即，即，所以BG：GH：HM=5：3：2例7（2007年广州市中考压轴题）、已知中，AB=BC，在R中，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM。（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且；（2）如图中的绕点A逆时针转小于450的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。（1）证略）分析：题目中有两个等腰直角三角形，考虑旋转变换则有几种解法。其法一：把绕点B逆时针旋转900至，可证得四边形DECD1为平行四边形，连结DD1交CM于CM1，则EM1=CM1，EM=CM所以M1与M 重合，即D、M、D1共线，又因为BD=BD1，是直角三角形，DM=MD1，所以BM=DM且因此，当题设中涉及到正多边形、定角、等边及中点的情形时,采用旋转变换将分散的元素集中或将有关条件建立起联系,可收到事半功倍之效。掌握旋转变换的应用,对进行平面几何教学具有很好的指导作用。参考资料：1、王林全主编，初等几何研究教程。广州：暨南大学出版社，1996.8。2、盛建武主编，新课程教学问题解决实践研究（初中数学）。中央民族大学出版社，2005.12。3、袁联红，巧用图形的平移、旋转解题