2019-2020学年珠海市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省珠海市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】B【解析】用列举法表示集合，结合并集的定义求解即可.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的并集运算，属于基础题.2已知扇形的圆心角为1,弧长为2,则扇形面积为( )A1B2C3D4【答案】B【解析】直接根据扇形面积公式求解即可.【详解】因为扇形的圆心角为1,弧长为2,所以扇形面积为：.故选：B【点睛】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，考查了数学运算能力.3下列函数是偶函数的是( )ABCD【答案】A【解析】根据偶函数的定义逐一判断即可.【详解】A：该定义域为实数集. 因为，所以该函数是偶函数，本选项符合题意；B：该函数的定义域为：且，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意；C：该函数的定义域为非零的实数集，因为，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意；D：该函数的定义域为：.因为，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意.故选：A【点睛】本题考查了偶函数的判定，考查了求函数的定义域，考查了代数式的恒等变形的能力.4在平面直角坐标系中,若角终边过点,则( )ABCD【答案】B【解析】利用余弦函数的定义直接求解即可.【详解】因为角终边过点,所以有.故选：B【点睛】本题考查了余弦函数的定义，属于基础题.5函数,其中,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是( )ABCD【答案】C【解析】在同一选项中的三个函数的图象，假设其中的一个正确去判断另外两个是否正确，这样就可以选出正确答案.【详解】A：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，但是选项中的图象是单调递减的，所以假设不成立，故本选项不正确；B：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，但是选项中的图象是单调递增的，所以假设不成立，故本选项不正确；C：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，假设不成立，这时幂函数图象有可能正确，也有可能错误，故存在某个实数,使得这三个图象是正确的，故本选项正确；D假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，选项中的图象是单调递增的，所以假设成立，这时幂函数的图象是不正确的，因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确.故选：C【点睛】本题考查了同一直角坐标系对数函数、指数函数、幂函数的图象，考查了数形结合思想.其时本题也可以这样思考，因为指数函数和对数函数具有相同的单调性，这样直接可以排除A，B，再根据幂函数的图象性质，结合指数函数或对数函数的单调性可以排除D.6要得到函数的图像,只需将函数的图像( )A横坐标缩小到原来的,纵坐标不变B横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变C纵坐标缩小到原来的,横坐标不变D纵坐标扩大到原来的2倍,横坐标不变【答案】A【解析】根据函数解析式的变化直接求解即可.【详解】函数的图像，横坐标缩小到原来的,纵坐标不变，就得到函数的图像.故选：A【点睛】本题考查了已知函数解析式的变化求函数图像变换的过程，属于基础题.7已知,则,的大小顺序是( )ABCD【答案】D【解析】利用对数函数的单调性结合指数函数的单调性直接求解即可.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性进行指数式、对数式的大小比较，属于基础题.8已知,则( )ABCD【答案】D【解析】结合已知利用诱导公式直接求解即可.【详解】,.故选：D【点睛】本题考查了正弦函数的诱导公式，属于基础题.9已知函数满足的定义域是,则的定义域是( )ABCD【答案】C【解析】由的定义域求出的定义域，最后结合指数函数的单调性，求出的定义域.【详解】的定义域是,即,的定义域为,的定义域为：,.故选：C【点睛】本题考查了复合函数的定义域，考查了指数函数的定义域，考查了数学运算能力.10如图,平行四边形中,分别是,中点,与交于点若,则( )ABCD【答案】A【解析】利用平行四边形的性质，结合平面向量的加法的几何意义、平面向量共线定理、平面向量基本定理，直接求解即可.【详解】平行四边形中,分别是,中点,与交于点,.故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量共线定理，考查了平面向量的加法的几何意义，属于基础题.11锐角中,下列不等关系总成立的是( )ABCD【答案】D【解析】根据锐角三角形的性质，结合正弦函数和余弦函数的单调性求解即可.【详解】A：锐角中,，故本选项不正确；B：锐角中,，故本选项不正确，D选项正确；C：当时，显然，故本选项不正确.故选：D【点睛】本题考查了余弦函数和正弦函数的单调性的应用，考查了锐角三角形的性质.12若偶函数的图像关于对称,当时,则函数在上的零点个数是( )A18B26C28D30【答案】B【解析】令，判断该函数的奇偶性，进而判断的奇偶性，问题是判断的零点个数，即也说是判断两个函数的图象的交点个数.利用已知可以判断出的周期性，这样在同一直角坐标系内，画出,的图象，利用数形结合可以判断出交点的个数，再利用奇偶函数的性质，问题解决即可.【详解】令，定义域为非零的实数集，所以该函数为偶函数，又是偶函数是偶函数，且，由得当时有偶函数的图象关于对称，且，是的周期函数，,为的对称轴当时,当,在同一坐标系中的图象如下可知与在上有13个交点即在上有13个零点是偶函数在上共有26个零点故选：B【点睛】本题考查了求函数零点的个数，考查了函数性质的综合应用，考查了数形结合思想.二、填空题13计算：_【答案】0【解析】结合指数幂的运算公式、对数的运算公式，对数式与指数式的恒等式直接求解即可.【详解】原式.故答案为：0【点睛】本题考查了对数的运算公式，考查了指数幂的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力.14 【答案】.【解析】试题分析：【考点】任意角的三角函数值15已知函数为奇函数,时,则时,_【答案】【解析】利用奇函数的性质直接求解即可.【详解】函数为奇函数,时,当,则,则时,.故答案为：【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求解析式，属于基础题.16函数（,）在一个周期上的图像如图所示,则这个函数解析式是_【答案】【解析】通过图象的最高点或最低点可以直接求出，结合函数相邻零点求出（为函数的最小正周期），最后利用正弦型函数最小正周期公式求出，最后把其中一个点的坐标代入函数解析式中求出的值，最后写出正弦型函数的解析式.【详解】由图像知,.设函数的最小正周期为，,，把点代入解析式中有：由，所以函数的解析式为：.故答案为：【点睛】本题考查了通过函数图象求函数的解析式，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.17幂函数,为常数,满足,则_【答案】16【解析】利用，结合指数幂的运算公式求出，最后求值即可.【详解】.故答案为：16【点睛】本题考查求幂函数解析式并求函数值问题，考查了数学运算能力.18已知函数,则下列结论正确的是_（请把正确的序号填到横线处）的一个周期是的一个对称中心是的一条对称轴方程是在上是减函数【答案】【解析】利用余弦函数的性质逐一判断即可.【详解】: 是的最小正周期是，所以也是它的一个周期，故本结论正确；：当时，所以函数关于对称，故本结论正确；：当时，所以函数是函数的一条对称轴，故本结论正确； ：的单调减区间为：，当时，故本结论不正确.故答案为：【点睛】本题考查了余弦型函数的对称性、周期性、对称性，属于基础题.19函数为上的奇函数,在上是增函数,则的解集是_【答案】【解析】利用奇函数的单调性的性质，结合已知，画出图象的大致形状，最后数形结合求解即可.【详解】解析：为上的奇函数,在上是增函数,在上是增函数,即函数的图象大致如下图所示：等价于与同号解集是.故答案为：【点睛】本题考查了奇函数的单调性的性质，考查了数形结合思想，考查了求解不等式解集问题.20已知点,是原点为圆心,2为半径的圆上两点,为锐角,则_【答案】【解析】先求出的取值范围，利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出角的正弦值，再利用两角差的余弦公式求出的值，最后利用平面向量夹角公式求解即可.【详解】,.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了同角三角函数的关系式，考查了两角差的余弦公式，考查了数学运算能力.三、解答题21已知,（1）求与的夹角；（2）求在上的投影【答案】（1） ；（2）1【解析】（1）对进行平方，然后利用平面向量数量积公式求出求与的夹角；（2）利用平面向量数量积的几何意义进行求解即可.【详解】（1）,，得，与的夹角，；（2）,在上的投影为.（另法：,在上的投影为）【点睛】本题考查了平面向量的夹角公式，考查了平面向量的几何意义.22已知,（1）求；（2）若,求【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）根据同角的三角函数关系中的平方和关系求出的值，再利用同角的三角函数关系式中的商关系求出；（2）根据同角的三角函数关系中的平方和关系求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出【详解】（1）,，（2）,，.【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了两角的差的正弦公式，考查了数学运算能力.23已知函数（1）求的定义域；（2）若是不等式的解,求的最大值【答案】(1) (2) 最大值为4【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组，解不等式组求出的定义域；（2）利用指数函数的单调性求解指数不等式，然后根据对数复合函数的单调性求出函数的最大值.【详解】（1）有意义,则有解得的定义域是；（2）等价于即得当时,的最大值为4【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，考查了解指数不等式，考查了对数复合函数的最大值，考查了数学运算能力.24已知,若其图像关于点对称（1）求的解析式；（2）直接写出在上的单调区间；（3）当时,求的值【答案】（1） ；（2） 增区间是,减区间是；（3）,.【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角的正弦、二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数的对称点，求出的值即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（3）根据数量积的坐标表示公式，结合两向量垂直它们的数量积为零，再结合特殊角的三角函数值求出的值【详解】（1）,的图象关于点对称,即,（2）的单调递增区间为：；单调递减区间为：；所以在上的增区间是,减区间是；（3）即,解得,【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了正弦型函数的单调性，考查了利用正弦型函数的对称性求解析式，考查了二倍角的正弦、二倍角的余弦公式、辅助角考查了数学运算能力.25已知函数是上的奇函数（1）求；（2）用定义法讨论在上的单调性；（3）若在上恒成立,求的取值范围【答案】（1）；（2） 是上的增函数；（3）.【解析】（1）利用奇函数的定义直接求解即可；（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为在上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等