华理概率论答案第八册.pdf

1 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿 第八册 学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 任课教师 第二十二次作业 一 填空题 1 假设检验的基本思想是基于 小概率反例否定法 或 小概率事件原理 2 选择原假设最重要的准则是 含有等号 3 假设检验可能犯的错误是 第一类错误 和 第二类错误 4 假设检验的基本步骤是 提出假设 选取检验统计量并计算统计量观测值 确定拒绝域 或接受域 做出判断 二 选择题 1 假设检验中分别用 0 H 和 1 H表示原假设和备择假设 则犯第一类错误的概率 是指 C A 00 为真接受为真接受HHP B 00 PHH接受不真 C 00 为真拒绝为真拒绝HHP D 00 PHH拒绝不真 2 一个显著性的假设检验问题 检验的结果是拒绝原假设还是接受原假设 与之 有关的选项中 正确的 D A 与显著性水平有关 B 与检验统计量的分布有关 C 与样本数据有关 D 与上述三项全有关 3 一个显著性水平为 的假设检验问题 如果原假设 0 H 被拒绝 则 B A 原假设 0 H 一定不真 B 这个检验犯第一类错误的概率不超过 C 这个检验也可能会犯第二类错误 D 这个检验两类错误都可能会犯 4 显著性水平为 的假设检验 关于原假设 0 H 的拒绝域 错误的选项是 A A 与样本观测值的大小有关 B 与显著性水平 有关 2 C 与检验统计量的分布有关 D 是 0 H 接受域的补集 三 计算题 1 已知在正常生产情况下某厂生产的汽车零件的直径服从正态分布 75 0 54 2 N 在某日生产的零件中随机抽取 10 件 测得直径 cm 如下 54 0 55 1 53 8 54 2 52 1 54 2 55 0 55 8 55 1 55 3 如果标准差不变 在显著水平05 0 情况下 能否认为该日生产零件直径的 均值与标准值 54cm 无显著差异 解 由样本观测值计算 得54 46X 本问题相当于要检验 01 54 46 54 46HH 考虑到总体服从正态分布 2 54 0 75 N 故采用双侧 U 检验法 取检验统计量的测试值为 0 0 54 4654 1 9395 0 7510 X U n 由水平0 05 查表得 0 975 1 2 1 96UU 由于 0 975 UU 故接受 0 H 即该日生产得零件直径的均值与标准值没有显著差异 2 从一批矿砂中 抽取 5 个样品 测得它们的镍含量 单位 如下 3 25 3 24 3 26 3 27 3 24 设镍含量服从正态分布 问 能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3 25 显著水平05 0 解 由样本观测值计算 得 1 3 252 0 013 n XS 本问题相当于要检验 01 3 25 3 25HH 考虑到总体服从正态分布 2 N 其中方差 2 未知 故采用双侧t检验法 取检验统计量的测试值为 0 1 3 2523 25 0 3440 0 0135 n X T Sn 由水平0 05 查表得 0 975 1 2 1 4 2 776tnt 由于 0 975 4 Tt 故接受 0 H 3 即可以认为这批矿砂中的镍含量得平均值为3 25 3 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度7次 测得温度 C 112 0 113 4 111 2 112 0 114 5 112 9 113 6 而用某精确办法测得温度为112 6 可看作温度真值 试问热敏电阻测温仪的间 接测量有无系统偏差 显著水平05 0 解 由样本观测值计算 得 1 112 8 1 1358 n XS 本问题相当于要检验 01 112 6 112 6HH 考虑到方差 2 未知 故采用双侧t检验法 计算检验统计量的值为 0 1 112 8 112 6 0 4659 1 13587 n X T Sn 由水平0 05 查表得 0 975 1 2 1 6 2 4469tnt 由于 0 975 6 Tt 故接受 0 H 即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差 4 某工厂生产的铜丝的折断力 N 服从标注差为 40 的正态分布 某日抽取 10 根铜丝进行折断力试验 测得结果如下 2830 2800 2795 2820 2850 2830 2890 2860 2875 2785 在显著性水平05 0 情况下 能否认为该日生产的铜丝折断力的标准差无显 著性改变 解 由样本观测值计算 得 2 1 2833 5 1228 0556 n XS 本问题相当于要检验 2222 01 40 40HH 考虑到均值 未知 故采用双侧 2 检验法 取检验统计量的测试值为 2 2 1 22 0 1 9 1228 0556 6 9078 40 n nS 由水平0 05 查表得 2222 0 9750 025 1 22 1 9 19 023 1 9 2 700nn 由于 222 0 0250 975 9 9 4 设需要对某正态总体 方差 2 已知 的均值进行假设检验 0 H15 1 H15 显著性水平为 采用的统计量为 n x u 15 拒绝域为 H 采用的统计量 ns x T n 15 1 在 0 H为真时服从的分布为 4 t 拒绝域为7469 3 T 6 一元线性回归的模型为 0 2 10 NXY 回归分析的三个前 提是 正态性 独立性 方差齐性 根据n组样本数据 ii yx 求回归模型中参 数的极大似然估计 也是最小二乘估计 的公式为 xy L L xx xy 101 求变元X与Y的样本相关系数的公式为 yyxx xy LL L R 2 R称为可决系数 残差平方和SSE 2 10 1 i n i i xy 若SSE 0 则可决系数 2 R 1 5 在EXCEL中对回归方程进行检验 当检验的p值 小于 给定的显著性水平时 说明变元的线性相关关系显著 回归方程有意义 7 如图为根据变元X与Y的样本数据用EXCEL进行回归分析的结果 1 这个回归分析的前提是 0 2 10 NXY 其中误差项满足 正态性 独立性 方差齐性 2 变元X与Y的样本相关系数是 0 9584 可决系数是 0 9185 3 变元X与Y的回归方程是 Y 1 25 1 625X 回归的残差平方和是 3 4 在显著性水平0 05情况下 变元X与Y的线性相关关系是否显著 是 5 根据分析结果 当 X 0 时 预测变元 Y 的点估计为 1 25 6 回归方程中变元X系数的置信水平为95 的置信区间是 0 7355 2 5145 二 选择题 1 若要通过抽样了解其某个服从正态分布的质量指标的方差是否在允许的范围内 宜采用 的检验是 C A 双侧正态检验 B 双t检验 C 单侧 2 检验 D 单侧F检验 2 在显著性水平 下对原假设 0 H的检验 本来应该做双侧检验的 某同学却错误 地做了单侧检验 其检验的结果是拒绝 0 H 则 D A 双侧检验的结果一定是拒绝 0 H B 双侧检验的结果一定是接受 0 H C 无论用单侧检验还是双侧检验 犯第一类错误的概率都相同 6 D 无论用单侧检验还是双侧检验 犯第一类错误的概率都不超过 3 假设一个 一元或多元 线性回归问题的总离差平方和SST 100 残差平方和 SSE 19 则错误的选项是 C A 回归平方和SSR 81 B 可决系数 2 R为0 81 C 样本 复 相关系数R为0 9 D 样本 复 相关系数R为0 9或 0 9 4 假设根据样本数据求得变元X与Y的样本相关系数R 0 9 则变元X与Y 可能的回归方程是 B A Y 1 2X B Y 1 2X C Y 1 2X D Y 0 9 0 9X 注 根据变元负相关 或R与 1 的计算公式可得他们符号相同 判断 三 计算题 1 某种导线的电阻 单位 服从正态分布 按照规定 电阻的标准差不得 超过0 005 今在一批导线中任取9根 测得样本标准差007 0 1 n S 这批导线 的电阻的标准差比起规定的电阻的标准差来是否显著地偏大 05 0 解 检验 2222 01 0 005 0 005HH 考虑到均值 未知 故采用单侧 2 检验法 取检验统计量 2 0 2 12 1 n Sn 在 0 H真时服从 1 2 n 计算统计量的值 22 2 1 22 0 1 8 0 007 15 68 0 005 n nS 由0 05 查表得 22 10 95 1 8 15 507n 由于 22 0 95 8 故拒绝 0 H 即认为电阻的标准差显著偏大 2 某公司营销人员对公司 6 个月来每月广告费用 记为 x 单位 万元 和销售额 记为 y 单 位 万元 做了统计 得到如下数据 广告费用 x 1 2 3 4 5 6 销售额 y 3 6 9 15 20 25 经计算得 21 i x 91 2 i x 78 i y 1376 2 i y 352 iiy x 1 计算销售额 y 与广告费用 x 的相关系数 2 求销售额对广告费用的直线回归方程 7 3 若下月计划广告费支出 10 万元 试预测相应的销售额 解 1 相关系数 2222 xy xxyy Lnxyxy R L L nxxnyy 0 99 2 由xy L L xx xy 101 得 10 4 51 2 8 所以直线回归方程为 xy51 48 2 3 3 421051 48 2 y 3 为了研究钢线含碳量 单位 x对于电阻Y在20oC下的影响 做了7次 试验 得到数据如下 钢线含 碳量x 0 10 0 30 0 40 0 55 0 70 0 80 0 95 电阻y 15 18 19 21 22 6 23 8 26 1 画出散点图 2 求电阻关于钢线含碳量的直线回归方程 3 进行线性回归的显著性检验 0 01 解 1 利用Excel计算得到画出散点图 0 5 10 15 20 25 30 00 20 40 60 81 2 利用Excel计算得到 SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R 0 998714 R Square 0 99743 8 Adjusted R Square 0 996916 标准误差 0 016539 观测值 7 方差分析 df SS MS F Significan ce F 回归分析 1 0 530775 0 5307751940 48 1 14E 07 残差 5 0 001368 0 000274 总计 6 0 532143 Coefficien ts 标准误差t Stat P value Lower 95 Upper 95 下限 95 0 上限 95 0 Intercept 1 10794 0 037993 29 162 8 89E 07 1 2056 1 01028 1 2056 1 01028 X Variable 1 0 079474 0 001804 44 05088 1 14E 07 0 0748370 0841120 074837 0 084112 所以直线回归方程为 1 11 0 08yx 3 由于 P value 小于 故认为回归方程有显著意义 4 从某锌矿的东 西两支矿脉中 各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测 试 的样本含锌平均值及样本方差如下 东支 230 0 x 1337 0 2 x S 西支 269 0 y 1736 0 2 y S 若东 西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同 问东 西两支矿脉 含锌量的平均值是否可以看作一样 05 0 解 检验 012112 HH 采用双侧t检验法 检验统计量为 nm S yx T w 11 在 0 H真时服从 2 nmt 计算 8 0 13377 0 1736 0 15232 15 w S 9 0 2300 269 0 2056 1111 0 15232 98 w XY T S mn 由0 05 查表得 0 975 1 2 2 15 2 1314tmnt 由于 0 975 15 Tt 故接受 0 H 即这两支矿脉含锌量的平均值可以看作一样 5 为了提高振动板的硬度 热处理车间选择两种淬火温度 1 T及 2 T进行试验 测 得振动板的硬度数据如下 1 T 85 6 85 9 85 7 85 8 85 7 86 0 85 5 85 4 2 T 86 2 85 7 86 5 85 7 85 8 86 3 86 0 85 8 设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布 检验 1 两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异 05 0 2 淬火温度对振动板的硬度是否有显著