周世勋量子力学习题及解答.pdf

1 量子力学习题及解答 第一章量子理论基础 1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律 能量密度极大值所对应的波长 m 与温 度 T 成反比 即 m T b 常量 并近似计算 b 的数值 准确到二位有效数字 解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv vv 1 18 3 3 1 以及cv 2 ddv vv 3 有 1 18 5 kT hc v v e hc c d c d d dv 这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 d 之间的辐射能量密度 本题关注的是 取何值时 取得极大值 因此 就得要求 对 的一 阶导数为零 由此可求得相应的 的值 记作 m 但要注意的是 还需要验证 对 的二阶导数在 m 处的取值是否小于零 如果小于零 那么前面求得的 m 就 是要求的 具体如下 0 1 1 5 1 18 6 kT hc kT hc e kT hc e hc 2 0 1 1 5 kT hc e kT hc kT hc e kT hc 1 5 如果令 x kT hc 则上述方程为 xe x 1 5 这是一个超越方程 首先 易知此方程有解 x 0 但经过验证 此解是平庸的 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得 x 4 97 经过验证 此 解正是所要求的 这样则有 xk hc T m 把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 KmT m 3 109 2 这便是维恩位移定律 据此 我们知识物体温度升高的话 辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动 这样便会根据热物体 如遥远星体 的发光颜色来判定 温度的高低 1 2 在 0K 附近 钠的价电子能量约为 3eV 求其德布罗意波长 解根据德布罗意波粒二象性的关系 可知 E hv h P 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子 2 cE e ax ax x xU 0 0 0 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 解 txU与 无关 是定态问题 其定态 S 方程 10 2 2 22 xExxUx dx d m 在各区域的具体形式为 2 0 111 2 22 xExxUx dx d m x 由于 1 3 方程中 由于 xU 要等式成立 必须 0 1 x 0 2 x 即粒子不能运动到势阱以外的地方去 方程 2 可变为0 2 2 22 2 2 x mE dx xd 令 2 2 2 mE k 得 0 2 2 2 2 2 xk dx xd 其解为kxBkxAxcossin 2 根据波函数的标准条件确定系数 A B 由连续性条件 得 0 0 12 32 aa 0 B 0sin kaA 3 2 1 0sin 0 nnka ka A x a n Ax sin 2 11 由归一化条件 1 2 dxx 得1sin 0 22 a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m 2 sinsin x a n a x a A sin 2 2 2 2 2 2 mE k 3 2 1 2 2 2 22 nn ma En 可见 E 是量子化的 对应于 n E的归一化的定态波函数为 axax axxe a n a tx tE i n n 0 0 sin 2 2 4 证明 2 6 14 式中的归一化常数是 a A 1 证 ax axax a n A n 0 sin 2 6 14 由归一化 得 12 aA ax a n n aA aA dxax a nA x A dxax a n A dxax a n Adx a a a a a a a a a a n 2 2 2 22 2 22 2 sin 2 cos 22 cos1 2 1 sin1 归一化常数 a A 1 2 5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置 解 22 2 1 2 2 x xex 22 22 2 3 22 2 11 2 2 4 x x ex exxx 22 22 2 32 3 1x exx dx xd 令0 1 dx xd 得 xxx 1 0 由 1 x 的表达式可知 xx 0 时 0 1 x 显然不是最大几率的位置 22 22 251 4 22 2 62 2 4422 3 32222 3 2 1 2 x x exx exxxx dx xd 而 0 14 2 3 2 1 2 1 2 ax axU xU 0 0 0 运动 求束缚态 0 0UE 的能级所满足的方程 解法一 粒子所满足的 S 方程为 2 2 22 xExxUx dx d 按势能 xU的形式分区域的具体形式为 x E x U x dx d 2 1101 2 22 ax 2 22 2 22 xEx dx d axa x E x U x dx d 2 3303 2 22 xa 整理后 得 0 2 1 2 0 1 EU 0 E 2 2 2 2 0 2 3 2 0 3 EU 令 2 2 2 2 02 1 2 2 E k EU k 则 0 1 2 11 k 0 2 2 22 k 0 1 2 13 k 15 各方程的解为 xkxk 3 222 xkxk 1 11 11 FeEe xkcosDxksinC BeAe 由波函数的有限性 有 0 0 3 1 E A 有限 有限 因此 xk 3 xk 1 1 1 Fe Be 由波函数的连续性 有 13 FekaksinDkakcosCk a a 12 FeakcosDaksinC a a 11 aksinDkakcosCkBek a a 10 akcosDaksinCBe a a ak 1222232 ak 2232 2222 ak 121 22 ak 21 1 1 1 1 整理 10 11 12 13 式 并合并成方程组 得 0FekaDksinkaCkcosk0 0FeaDkcosaCksin0 00D aksinkaCkcoskBek 00aDkcosaCksinBe ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 解此方程即可得出 B C D F 进而得出波函数的具体形式 要方程组 有非零解 必须 0 Bekaksinkakcosk0 eakcosaksin0 0aksinkakcoskek 0akcosaksine ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 16 ak2coskk2ak2sin kk e ak2sinkak2sinkak2coskk2 e aksinekakcosaksinek akcosekakcosaksinek ek akcosaksinekaksinekk akcosaksinekakcosekk e ekaksinkakcosk eakcosaksin 0akcosaksin ek ekaksinkakcosk eakcosaksin 0aksinkakcosk e0 2212 2 1 2 2 ak2 2 2 12 2 2221 ak2 2 2ak 222 ak 1 2 2ak 222 ak 1 ak 1 22 ak2 22 2ak 21 22 ak2 22 2ak 21 ak ak 12222 ak 22 22 ak 1 ak 12222 ak 22 2222 ak 1 1 11 111 11 111 1 11 1 11 0 1 2 ak e 02cos22sin 2212 2 1 2 2 akkkakkk 即022 212 2 1 2 2 kkaktgkk为所求束缚态能级所满足的方程 解法二 接 13 式 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 17 0 0 0 02 2 2 2coscoscoscosk k k k2 2 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin 0 0 0 02 2 2 2coscoscoscos 2 2 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin 1 1 1 1 0 0 0 0coscoscoscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsinsin 0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos 0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos 0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscos 2 2 2 22 2 2 21 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a ak k k kk k k ka a a ak k k kk k k kk k k k a a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k k k k k k k k k 解法三 11 13 sinsinsinsin2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 F F F FB B B Be e e ek k k ka a a ak k k kD D D Dk k k k a a a ak k k k 10 12 FB eakcosD2 ak 2 1 a katgkk 12 10 13 11 122 11 13 a a a aik ik ik ik e e e eB B B BF F F Fk k k ka a a ak k k kC C C Ck k k k 1 1 1 1 coscoscoscos2 2 2 2 1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 12 10 aik 2 1 e BF aksinC2 k k k ka a a actgkctgkctgkctgkk k k k 10101010 12121212 13131313 11111111 1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 令 a a a ak k k ka a a ak k k k 2 2 2 22 2 2 2 则 d ctg c tg 或 f aU2 kk 2 2 02 2 2 1 22 合并 b a 18 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k kk k k k k k k kk k k k a a a ak k k ktg tg tg tg 利用 aktg1 atgk2 ak2tg 2 2 2 2 解法四 最简方法 平移坐标轴法 1 1 1 11 1 1 10 0 0 01 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 E E E EU U U U 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 E E E E 0 2a a a a 3 3 3 33 3 3 30 0 0 03 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 E E E EU U U U 2a a a a 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 E E E EU U U U E E E E E E E EU U U U 3 0k E2k 2 0k EU 2k 1 0k 3 2 13 22 22 2 22 2 0 2 11 2 11 束缚态0 0 0 0 E E E E 0 0 0 0 U U U U x x x xk k k kx x x xk k k k x x x xk k k kx x x xk k k k FeFeFeFeEeEeEeEe x x x xk k k kD D D Dx x x xk k k kC C C C BeBeBeBeAeAeAeAe 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 coscoscoscossinsinsinsin 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 E E E E B B B B 有限有限 有限有限 因此 x x x xk k k k x x x xk k k k FeFeFeFe AeAeAeAe 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 由波函数的连续性 有 7 Feak2cosDak2sinC a2 a2 6 Fekak2sinDkak2cosCk a2 a2 5 CkAk 0 0 4 DA 0 0 ak2 2232 ak2 1222232 2121 21 1 1 19 7 代入 6 a a a ak k k kD D D D k k k k k k k k a a a ak k k kC C C C k k k k k k k k a a a ak k k kD D D Da a a ak k k kC C C C 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2sinsinsinsin2 2 2 2coscoscoscos2 2 2 2coscoscoscos2 2 2 2sinsinsinsin 利用 4 5 得 0ak2coskk2ak2sin kk kk 0ak2cos2ak2sin k k k k 0A 0 ak2cos2ak2sin k k k k A ak2sinD k k ak2cosAak2cosAak2sinA k k 2212 2 1 2 2 21 22 1 2 2 1 22 1 2 2 1 2 1 2 222 2 1 即得两边乘上 2 8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 0 0 0 1 0 xb bxaU axU x xU 求束缚态的能级所满足的方程 解 势能曲线如图示 分成四个区域求解 定态 S 方程为 2 2 22 xExxUx dx d 对各区域的具体形式为 0 2 111 2 xExU 0 2 2202 2 axEU 2 3313 2 bxaEU 0 2 44 2 xbE 20 对于区域 xU 粒子不可能到达此区域 故 0 1 x 而 0 2 2 2 0 2 EU 0 2 3 2 1 3 EU 0 2 4 2 4 E 对于束缚态来说 有0 EU 0 2 2 12 k 2 02 1 2 EU k 0 3 2 33 k 2 12 3 2 EU k 0 4 2 44 k 22 4 2 Ek 各方程的解分别为 xkxk xkxk FeEe xkDxkC BeAe 33 11 4 223 2 cossin 由波函数的有限性 得 0 4 E有限 xk Fe 3 4 由波函数及其一阶导数的连续 得 AB 0 0 21 33 2 xkxk eeA akDakCeeAaa xkxk 2232 cossin 33 akDkakCkeeAkaa akak 2222133 sincos 33 bk FebkDbkCbb 3 2243 cossin bk eFkbkDkbkCkbb 3 3222243 cossin 21 由 得 a a a ak k k kD D D Da a a ak k k kC C C C a a a ak k k kD D D Da a a ak k k kC C C C e e e ee e e e e e e ee e e e k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 coscoscoscossinsinsinsin coscoscoscoscoscoscoscos 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 由 得D D D Db b b bk k k kk k k kC C C Cb b b bk k k kk k k kD D D Db b b bk k k kk k k kC C C Cb b b bk k k kk k k k coscoscoscos sinsinsinsin sinsinsinsin coscoscoscos 2 2 2 23 3 3 32 2 2 23 3 3 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 0 0 0 0 sinsinsinsincoscoscoscos sinsinsinsincoscoscoscos 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 D D D Db b b bk k k kb b b bk k k k k k k k k k k k C C C Cb b b bk k k kb b b bk k k k k k k k k k k k 12 令 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 k k k k k k k k e e e ee e e e e e e ee e e e a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k 则 式变为 0 0 0 0 sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 D D D Da a a ak k k ka a a ak k k kC C C Ca a a ak k k ka a a ak k k k 联立 12 13 得 要此方程组有非零解 必须 0 0 0 0 sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 a a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k k b b b bk k k kb b b bk k k k k k k k k k k k b b b bk k k kb b b bk k k k k k k k k k k k 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 coscoscoscos sinsinsinsin 0 0 0 0coscoscoscoscoscoscoscossinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin coscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscoscos 0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos sinsinsinsincoscoscoscos 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k a a a ab b b btgktgktgktgk k k k k k k k k a a a ab b b bk k k k k k k k k k k k a a a ab b b bk k k k a a a ak k k kb b b bk k k ka a a ak k k kb b b bk k k k a a a ak k k kb b b bk k k k k k k k k k k k a a a ak k k kb b b bk k k k k k k k k k k k a a a ak k k kb b b bk k k k a a a ak k k kb b b bk k k ka a a ak k k kb b b bk k k k k k k k k k k k a a a ak k k kb b b bk k k k k k k k k k k k b b b bk k k kb b b bk k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k kb b b bk k k kb b b bk k k k k k k k k k k k a a a ak k k ka a a ak k k k即即 把 代入即得 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k e e e ee e e e e e e ee e e e k k k k k k k k k k k k k k k k e e e ee e e e e e e ee e e e k k k k k k k k a a a ab b b btgktgktgktgk 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程 附 从方程 之后也可以直接用行列式求解 见附页 22 b b b bk k k ka a a ak k k ke e e ek k k kb b b bk k k ka a a ak k k ke e e ek k k kb b b bk k k k a a a ak k k ke e e ek k k kb b b bk k k ka a a ak k k ke e e ek k k kk k k ke e e ee e e ek k k k b b b bk k k ka a a ak k k ke e e ek k k kb b b bk k k ka a a ak k k ke e e ek k k kk k k kb b b bk k k k a a a ak k k ke e e ek k k kb b b bk k k ka a a ak k k ke e e ek k k kk k k ke e e ee e e e e e e ek k k kb b b bk k k kk k k kb b b bk k k kk k k k e e e eb b b bk k k kb b b bk k k k a a a ak k k ka a a ak k k k e e e ee e e ek k k k e e e ek k k kb b b bk k k kk k k kb b b bk k k kk k k k e e e eb b b bk k k kb b b bk k k k a a a ak k k kk k k ka a a ak k k kk k k k e e e ee e e e e e e ek k k kb b b bk k k kk k k kb b b bk k k kk k k k e e e eb b b bk k k kb b b bk k k k a a a ak k k kk k k ka a a ak k k kk k k kk k k ke e e ee e e e a a a ak k k ka a a ak k k ke e e ee e e e b b b bk k k kb b b bk k k k b b b bk k k kb b b bk k k kb b b bk k k kb b b bk k k k a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k k a a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k a a a ak k k ka a a ak k k k 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 32 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 32 2 2 21 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 32 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 32 2 2 2 3 3 3 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 3 3 3 32 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscoscos coscoscoscoscoscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscossinsinsinsinsinsinsinsincoscoscoscos sinsinsinsincoscoscoscoscoscoscoscos sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin 0 0 0 0coscoscoscossinsinsinsin sinsinsinsincoscoscoscos coscoscoscossinsinsinsin 0 0 0 0sinsinsinsincoscoscoscos 0 0 0 0 0 0 0 0 sinsinsinsincoscoscoscos0 0 0 0 coscoscoscossinsinsinsin0 0 0 0 0 0 0 0sinsinsinsincoscoscoscos 0 0 0 0coscoscoscossinsinsinsin 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 31 1 1 11 1 1 1 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 31 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 0 sinsinsinsin coscoscoscos sinsinsinsin coscoscoscos coscoscoscos sinsinsinsin sinsinsinsin coscoscoscos 3 3 3 31 1 1 1 3 3 3 31 1 1 1 3 3 3 31 1 1 11 1 1 1 3 3 3 31 1 1 11 1 1 1 2 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 22 2 2 21 1 1 12 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23 3 3 32 2 2 2 b b b bk k k ka a a ak k k k b b b bk k k ka a a ak k k k b b b bk k k ka a a ak k k ka a a ak k k k b b b bk k k ka a a ak k k ka a a ak k k k e e e ea a a ab b b bk k k kk k k kk k k kk k k ka a a ab b b bk k k kk k k kk k k kk k k ke e e e e e e ea a a ab b b bk k k kk k k kk k k kk k k ka a a ab b b bk k k kk k k kk k k kk k k ke e e e e e e ea a a ab b b bk k k kk k k kk k k ka a a ab b b bk k k kk k k kk k k ke e e ee e e e e e e ea a a ab b b bk k k kk k k ka a a ab b b bk k k kk k k kk k k ke e e ee e e e 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 31 1 1 12 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 23 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23 3 3 31 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 k k k kk k k kk k k k e e e ek k k kk k k kk k k ka a a ab b b btgktgktgktgkk k k kk k k kk k k ke e e ek k k kk k k kk k k k e e e ea a a ab b b btgktgktgktgkk k k kk k k kk k k kk k k kk k k kk k k k e e e ea a a ab b b btgktgktgktgkk k k kk k k kk k k kk k k kk k k kk k k k a a a ak k k ka a a ak k k k b b b bk k k k b b b bk k k k 此即为所求方程 补充练习题一 1 设 22 2 1 为常数 x Aex 求A 解 由归一化条件 有 x de 1 A x deA1 2222 x2x2 1 Adye 1 A 2y2 2 利用 dye 2 y A 23 2 求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率 解 基态能量为 2 1 0 E 设基态的经典界限的位置为a 则有 2 1 2 1 22 0 aE 0 a 1 a 在界限外发现振子的几率为 22 0 22 0 22 0 x a x a x edxedxe t 2 1 y dte 2 1 2 2 2 dyedye 2 dye 2 x de 2 dxe 2 2 2 t 1 yy 1 y a x a x 2 22 2 0 2 0 22 令 偶函数性质 式中 2 2 2 2 1 dte t 为正态分布函数 x t dtex 2 2 2 1 当 2 2 时的值 x 查表得92 0 2 92 0 16 0 92 0 1 2 在经典极限外发现振子的几率为 0 16 3 试证明 x3x2 e 3 x 33 x 2 1 22 是线性谐振子的波函数 并求此波 函数对应的能量 证 线性谐振子的 S 方程为 24 2 1 2 22 22 xExxx dx d 把 x 代入上式 有 3x9x2 e 3 e 3x6 x3x2 x 3 x3x2 e 3 dx d x dx d 2345 x 2 1 x 2 1 23332 33 x 2 1 22 22 22 3x9x2 e 3dx d dx x d 2345 x 2 1 2 222 x18x8 e 3x9x2 xe 3 335 x 2 1 2345 x 2 1 2 2222 x 7x x3x2 e 3 7x 224 33 x 2 1 224 22 把 2 2 x dx d 代入 式左边 得 2 7 2 1 2 1 2 7 2 1 2 2 7 2 1 2 2 7 2 1 2 2222 2224 22 2224 22 2 22 2 22 xE x xxxxx xxxxx xxxxx xx dx xd 右边 左边 当 2 7 E时 左边 右边 n 3 32 3 33 2 1 22 xxe dx d x x 是线性谐振子的波函数 其对应 25 的能量为 2 7 第三章 量子力学中的力学量 3 1一维谐振子处在基态 t ix ex 22 22 求 1 势能的平均值 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x xU U U U 2 动能的平均值 2 2 2 2 2 2 2 2 p p p p T T T T 3 动量的几率分布函数 解 1 dxdxdxdxe e e ex x x xx x x xU U U U x x x x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 4 4 4 1 1 1 1 0 1 2 2 12 531 2 aa n dxex nn axn 2 dxxpx p T 2 1 2 2 2 dxe dx d e xx 2222 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dxex x2 2 1 2 222 2 2 2222 222 2 dxexdxe xx 2 2 3 22 2 26 4422 2 2 2 2 2 4 1 或 4 1 4 1 2 1 UET 3 dxxxpc p 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 dxdxdxdxe e e ee e e e PxPxPxPx i i i i x x x x dxee Px i x 22 2 1 2 1 dxdxdxdxe e e e p p p pip ip ip ip x x x x 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 dxdxdxdxe e e ee e e e ip ip ip ip x x x x p p p p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p p p p e e e e 22 2 2 1 p e 动量几率分布函数为 22 2 1 2 p epcp 3 2 氢原子处在基态 0 3 0 1 ar e a r 求 1 r 的平均值 2 势能 r e2 的平均值 3 最可几半径 4 动能的平均值 5 动量的几率分布函数 解 1 drddrre a drrr ar sin 1 0 2 2 00 2 3 0 2 0 27 0 23 3 0 0 4 drar a ar 0 1 n axn a n dxex 0 4 0 3 0 2 3 2 34 a a a 0 2 2 0 3 0 2 0 2 3 0 2 0 2 00 2 3 0 2 0 2 00 2 2 3 0 22 2 14 4 sin sin 1 2 0 0 0 a e a a e drre a e ddrdre a e ddrdre ra e r e U ar ar ar 3 电子出现在 r dr 球壳内出现的几率为 0 2 0 22 sin ddrdrrdrrdrre a ar2 2 3 0 0 4 2 2 3 0 0 4 re a r ar 0 2 0 3 0 2 2 4 ar rer aadr rd 令 0321 0 0 arrr dr rd 当0 0 21 rrr 时 为几率最小位置 0 22 2 00 3 0 2 2 48 2 4 ar er a r aadr rd 0 8 2 3 0 2 2 0 e adr rd ar 0 ar 是最可几半径 28 4 2 2 2 2 2 1 pT 0 2 00 2 2 3 0 2 sin 1 2 00 ddrdree a T arar 0 2 00 2 2 2 3 0 2 sin 11 2 00 ddrdre dr d r dr d r e a arar 0 0 2 0 3 0 2 2 1 2 4 0 dre a r r aa ar 2 0 22 0 2 0 4 0 2 2 44 2 2 4 a aa a 5 drrpc p 2 00 cos 0 2 3 0 2 3 sin 1 2 1 0 ddedrre a pc pr i ar 0 cos 0 2 3 0 2 3 cos 2 2 0 dedrer a pr i ar 0 0 cos 2 3 0 2 3 0 2 2 pr i ar e ipr drer a 0 3 0 2 3 2 2 0 dreere ip a pr i pr i ar 0 1 n axn a n dxex 1 1 1 1 2 2 2 0 2 0 3 0 2 3 p i a p i a ip a 2 2 2 2 0 0 33 0 1 4 2 1 p a a ip ipa 222 2 0 44 0 0 33 0 2 4 pa a aa 222 2 0 2 3 0 2 pa a 22 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 r r rr 29 动量几率分布函数 422 0 2 53 0 2 8 pa