微积分B第4次习题课答案.pdf

作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page1of10 微积分微积分 B 1 B 1 第第四四次习题课次习题课参考答案参考答案 第七周第七周 教学目的教学目的 本周本周的的题目题目只只练习练习连续连续函数函数的的性质性质有关有关的的内容内容 在在学习学习的的过程过程中中应应掌握掌握基本基本的的 函数函数在在一点一点连续连续与与间断间断的的定义定义 间断点间断点的的类型类型 连续连续函数函数的的几条基本几条基本性质性质及其及其应用应用 一致一致 连续连续性性是是比较比较难于难于理解理解的的概念概念 应注意应注意体会体会一致连续一致连续与与连续连续的的区别区别和和联系联系 一 连续函数及其性质 1 研究下列函数在定义域内的连续性 指出间断点及其类别 1 4 tan 1 x x xxf 0 2 x 2 1 1 2 xx xx xf 3 cos f xx 4 ln 1 1 sin xx f x x 5 1 1 1 0 1 lim tx t x t x x f x t x 解 1 对初等函数 找间断点就是找没定义域的孤立点 在 2 0 内 因为 4 tan x没 定 义 的 点 为 4 7 4 3 4 tan x等 于 零 的 点 为 4 5 4 1 所 以 函 数 4 tan 1 x x xxf在 2 0 内的间断点有 4 个 易知 37 44 xx 是第一类 间断点 可去型 15 44 xx 为第二类间断点 2 函数 1 1 2 xx xx xf的间断点为1 0 因为1 lim 1 lim 00 xfxf xx 所以0 x是 xf的第一类间断点 跳跃型 因为 2 1 lim 2 1 lim 11 xfxf xx 所以1 x是 xf的第一类间断点 可去型 因为 lim lim 11 xfxf xx 所以1 x是 xf的第二类间断点 3 cos f xx 当xk 时 cos 1x cos 1f xx 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page2of10 当xk 时 cos 1x cos 0f xx 因此xk 是间断点 因为lim cos lim 00 xkxk xf k 所以xk 均为第一 类间断点 可去型 4 ln 1 1 sin xx f x x 的定义域是 0 2 2 x xxkkZ 所以 0 2 2 xk 是间断点 由于 22 22 ln 1 lim lim 1 sin xkxxk xx f x x 所以 0 2 2 xk 是第二类间断点 当 2 xnnN 时 22 2 2 2 ln 1 ln 1 lim lim 1 sin1 sin xnxn nxnn f xf n xn 22 2 2 2 1 ln 1 1 ln 1 lim lim 1 sin1 sin xnxn nxnn f xf n xn 所以 2 xnnN 为第一类间断点 跳跃型 5 当1x 时 1 11 1 1 1 11 limlim x tt ttx tx x tx tx txtx xxt e tt 所以 1 0 1 1 x x x f x ex 由于0 lim lim 11 xfxf xx 所以函数 f x在1 x处间断 且1 x是 xf的 第二类间断点 2 试举出定义在 上的函数f 要求 f仅在2 1 0 x三点处连续 其余的点都是 f的第二类间断点 解 令 1 2 f xx xxD x 其中 1 0 xQ D x xQ 在点0 x 附近 易见 1 2 xxD x 有界 故有 0 lim 0 0 x f xf 即f在0 x 点连续 类似可证f在1 2x 点连续 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page3of10 另一方面 0 0 1 2 x 取有理点列 n x 0 n xxn 有 000 lim 1 2 n n f xx xx 0 取无理点列 n x 0 n xxn 有 lim 0 n n f x 所以f在点 0 x不存在左右极限 故 f x以 0 x为其第二类间断点 3 1 若 xf是以2 为周期的连续函数 则在任何一个周期内存在R 使得 ff 2 已知函数f在圆周上有定义 并且连续 证明 可以找到一条直径 使得其两个端点A B满足 BfAf 证明 1 连续函数的零点存在定理 周期函数的概念 令 xfxfxF 则 xF连续 且 afafaF 2 afafafafaF 所以0 aFaF 当等号成立时 取a 当等号不成立时 由连续函数的零 点存在定理 存在R aa 使得 0 F 即ff 2 连续函数的零点存在定理 周期函数的概念 以圆心为极点 某个半径作极轴 于是圆周上的点可以由极角 决定 f便是 的连续函数 且以 2为周期 至此问题变成求一 0 使得 00 ff 以下做法同第 2 1 题 4 证明 若 Cxf 0 x 使得 00 f f xx 则存在 使 得f 证明 连续函数的零点存在定理 法一 令xxfxF 则 xF连续 且 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page4of10 00000 F f xf f xf xxf x 所以 00 0F x F f x 当等号成立时 取 0 x 当等号不成立时 由连续函数的 零点存在定理 存在介于 0 x与 0 f x之间的点 使得 0 F 即 f 法二 反证法 若xxf 不妨设xxf 则 000 f f xf xx 这与条件矛盾 故存在 使得f 5 证明 平面上 沿任一方向作平行直线 总存在一条直线 将给定的三角形分成面积相 等的两部分 简证 建立如图所示的坐标系 xS表示阴 影部分的面积 由于对于任意的 21 baxx 都有 2121 xxLxSxS 所以 baCxS 又因为 sbSaS 0 根据连续函数的介值 定理可知存在 ba 使得sS 2 1 6 证明 若函数 xf在 ba上连续 并且存在反函数 则 xf在 ba上单调 证 反证法 假设函数 xf在 ba上没有单调性 则总存在 1234 xxxx 使得 2134 f xf xf xf x 或者 2134 f xf xf xf x 仅考虑 2134 f xf xf xf x 另外一种情况类似 下面排列着四个数 我们仅考虑它们互不相等的情形 否则与 xf在 ba上存在反函数 矛盾 若 213 f xf xf x 由介值定理 存在 523 xx x 使得 51 f xf x A B C ab xS x 1 x 2 x x y L 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page5of10 若 231 f xf xf x 存在 612 xx x 使得 36 f xf x 若 321 f xf xf x 考虑 4 f x 若 3214 f xf xf xf x 存在 724 xx x 使得 17 f xf x 若 3241 f xf xf xf x 存在 812 xx x 使得 48 f xf x 若 3241 f xf xf xf x 存在 934 xx x 使得 29 f xf x 若 3421 f xf xf xf x 存在 1023 xx x 使得 410 f xf x 以上情形均与 xf在 ba上存在反函数矛盾 综上可知函数 xf在 ba上单调 7 设 f x在 a b上连续 对 xa b 总存在 ya b 使得 1 2 f yf x 求证 至少存在一点 a b 使得 0f 证明 反证法 如果函数 f x在 a b上没有零点 则函数 f x在 a b上也没有零点 所以 0f x 因为 f x在 a b上连续 根据闭区间上连续函数的性质 必存在最小值 即存在点 a b 使得 min 0 a x b ff x 由题设条件知 在 a b内存在 ya b 使得 1 2 f yff 这与 f 是最小值矛盾 所以函数 f x在 a b上至少有一个零点 直接法 取0 00 xfbax 根据题中条件 存在 1 bax 使得 2 1 01 xfxf 假设0 1 xf 类似地 存在 2 bax 使得 2 1 12 xfxf 假设0 2 xf 依 次下去 存在 baxn 满足存 2 1 2 1 01 xfxfxf n nn 假设0 n xf 易知0 lim n n xf 因为数列 n x有界 所以存在收敛子列 k n x 记lim k n k x 则 a b 因为函 数 xf在 处连续 所以 lim lim 0 kk nn kk ffxf x 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page6of10 8 设f xC a 且有界 若f a xa f x sup 则 满足 sup xfaf ax 都 a 使得 f 证明 使得 xfaf ax sup 取 xf ax sup 2 1 则 ab 使得 sup 2 1 sup afxfxfbf axax 由于 baCxf 根据介值定理可知 aba 使得 f 9 设 f x g xC a b 证明 1 max min f xf x g xf x g xC a b 2 min max axax m xfM xfC a b 证明 1 0 xa b 由于 0 0 lim xx f xf x 以及 00 0 f xf xf xf x 可以得到 0 0 lim xx f xf x 因此 f x在 0 x 处连续 当 0 xa 或者 0 xb 时上述的极限和连续均表示单侧极限与单侧连续 注意到 max 22 min 22 f xg xf xg x f x g x f xg xf xg x f x g x 知max min f x g xf x g xC a b 2 0 xa b 只需证明 min ax m xf 在 0 xx 处连续 先考察0 x 的情形 由于 0 0 min ax m xf 1 如果 00 f xm x 即f在 0 a x的最小值在 0 a x内取到 由于 0 0 lim xx f xf x 当x 很小时 在 00 x xx 上 均有 0 f xm x 因此在 0 a xx 上 最小值仍为 0 m x 即 00 m xxm x 所以有 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page7of10 000 00 lim lim xx m xxm xm x 2 如果 00 f xm x 即f在 0 a x的最小值在 0 x处取到 那么 0 0 min axx m xxffx 其中 00 xx xx 当0 x 时 0 xx 因此有 000 00 lim lim xx m xxfxf xm x 下面考察0 x 的情形 1 如果 00 f xm x 即f在 0 a x的最小值在 0 a x内取到 由于 0 0 lim xx f xf x 当 x 时 区间 00 xx x 不包含取得最小值的点 因此 00 m xxm x 所以有 000 00 lim lim xx m xxm xm x 2 如果 00 f xm x 即f在 0 a x的最小值在 0 x处取到 那么 0000 f xm xm xxf xx 由夹逼准则 000 0 lim x m xxf xm x 最终有 0 xa b 00 0 lim x m xxm x 这就证明了 min ax m xfC a b 注 意到 max min axax M xff 于是 max ax M xfC a b 10 研究函数 1 pp xp qq qqf x xx 其中互素 1 是无理数 在有理点与无理点的连续性 解 设 0 0 x 为有理数 即 0 1 p xq q 根据条件 0 1 p f x q 取一列趋于 0 x的有理数 列 k k k p x q 由于任何收敛到 0 x的有理数列 k k p q 都有 1 lim0 n k q 我们有 0 00 0 lim limlim 1 1 1 k kk k kkk k k p pqp f xxf x qq q 因此 0 x为不连续点 从而函数在 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page8of10 不为零有理点都是间断的 下面设 0 x为无理数 任一列趋于 0 x的有理数列 k k k p x q 00 0 00 0 lim limlim 1 01 1 k kkk kkk kk k p f xx ppq fx f xxqq q 由此得到函数在负无理数处间断 下面取无理数列 k y 0k yx 有 00 lim lim kk kk f yyxf x 对 于 正 无 理 数 0 x 我 们 得 到 取 任 何 有 理 数 列 k x和 无 理 数 列 k y 均 有 00 kk f xf xf yf xk 由此我们得到任何趋于正无理数 0 x的子列 k z 均有 0 k f zf xk 即函数在正无理数点连续 类似上面的讨论可以得到函数在0 x 处也连续 二 一致连续性 11 证明 sinf xx 在 0 上一致连续 证明 对 1 x x 有 sinsin2 sincos 22 1 2 xxxx xx xx xxxx xx 从而sinx在 1 上一致连续 又sinx在 0 1 连续 从而在 0 1 上一致连续 故sinx在 0 上一致连续 注 请说明sinx在 0 1 和 1 上一致连续 就能保证在 0 上一致连续的理由 12 设 0 f x g xC lim 0 x f xg x 证明 函数 f x在 0 上一致 连续当且仅当函数 g x在 0 上一致连续 证明 先设 g x在 0 一致连续 作者作者 闫浩闫浩2013 年年 9 月月 Page9of10 0 因为lim 0 x f xg x 所以0N 对xN 都有 3 f xg x 因为 g x在 0 一致连续 所以 1 0 对 0 x t 当 1 xt 时 有 3 g xg t 因为 f x在 0 1 N 上一致连续 所以 2 0 对 0 1 x tN 当 2 xt 时 有 3 f xf t 令 12 min 1 xt 若0 tx 则只有两种可能 1 1 tN 从而1 xN 因为 2 0 tx 所以 3 f xf t 2 1 tN 从而 xN 所以 33 f xg xf tg t 又因为 1 0 tx 所以 3 g xg t 从而 333 f xf t f xg xf tg tg xg t 综上所述 可知函数 f x在 0 上一致连续 再 设 f x在 0 一 致 连 续 因 为lim 0 x f xg x 所 以 lim 0 x g xf x 由上面的论述可知 函数 g x在 0 上一致连续 13 证明 函数 f x在区间I上一致连续的充要条件是 对区间I上的任何两个数列 n x 与 n y 当lim 0 nn n xy 时 有lim 0 nn n f xf y 并证明 1 函数 exf x 在 上非一致连续 2 证明 2 sinf xx 在 0 上 不一致连续 证明 设函数 f x在区间I上一致连续 即0 0 对 x yI 当 xy 时 有 f xf y 作者作者 闫浩闫浩201