梁保松《线性代数》习题五解答本人亲自求解.pdf

第五章二次型 170 习习 题题 五五 1 判断下列命题是否正确并说明理由 1 向量的内积仍是向量 错误 向量的内积是数量 2 正交向量组一定是线性无关的向量组 正确 见本章定理 1 3 若 与 12 正交 则 与 12 的任一线性组合也正交 正确 因 与 12 正交 即 12 0 则 1 1221 1221122 0 kkkkkk 4 n维向量空间中的正交向量组所包含向量的个数至多等于n 正确 因为正交向量组是线性无关的向量组 其逆否命题是 线性相关的向量组一定不是正交向量组 而对于n维向量组来说 1n 个n维向量必定线性相关 因此n维向量空间中的正交向量组至多含有n个 向量 5 TT 12 cos sin sin cos 是 2 R中的标准正交基 正确 12 0 12 1 故 12 正交且长度为 1 故是 2 R中的标准正交基 6 正交矩阵行列式的值只能是1 正确 正交矩阵正交矩阵A满足满足 T A A E 2 TT 1A A AAAE 则则1 A或或1 7 若A是正交矩阵 则 T1 AA及A的伴随矩阵 A也是正交矩阵 正确 TTTT TTT1111T1 AAAAAAAAAA EE 2 1111 1AAA AA AAAA TTT EE 8 正交矩阵的行向量组和列向量组都是标准正交向量组 正确 见正交矩阵的性质 5 3 设 n R 证明 1 2222 2 2 则 0 22 22 1 2 2 证 22 2 0 5 设A是实反对称矩阵 证明 1 EAEA是正交矩阵 证 T AA 则 第五章二次型 171 1111 11 1 11 11 EAEAEAEAEAEAEAEA EAEAEAEAEAEA EAE EAEA EAEAEAEA EAEAE AEE AE AEA A TT T TTTT TT 6 证明 1 设A是正交矩阵 若1 A 则A一定有特征值1 2 设A是奇数阶正交矩阵 若1 A 则A一定有特征值1 证 1 因 TT 1 EAAAAAAEAAEEA 故0EA 2 TTn 1 EAAAAA AEA AEAEEA 故20 E A 10 求齐次线性方程组 1234 1234 1234 0 30 230 xxxx xxxx xxxx 解空间的一组标准正交基 解解 1 因系数矩阵 11111101 11130012 11230000 则原方程等价于 124 34 0 20 xxx xx 分别令 24 1 0 0 1xx 得基础解系 12 1 1 0 0 1 0 2 1 TT 2 将基础解系正交标准化 11 1 1 0 0 T 21 221 11 111 1 0 2 11 1 0 0 2 1 222 T TT 1 1 1 122 1 1 0 0 0 0 222 T T 2 2 2 2111142 2 1 221122222222 TT 12 为其解空间的一组标准正交基 11 判断下列命题是否正确并说明理由 1 22 12121212 2345f x xxxx xxx 是二次型 错误 二次型是二次齐次多项式 2 A是3阶实对称矩阵 T 123 x x x X 则 T X AX是二次型 正确 二次型与实对称方阵是一一对应的 3 等价的矩阵有相同的秩 但相似的矩阵以及合同的矩阵未必有相同的秩 错误 相似 合同变换都是初等变换 初等变换不改变矩阵的秩 4 相似或合同的矩阵必等价 正确 相似 合同变换都是初等变换 经初等变换的矩阵是等价的 5 合同的矩阵未必相似 相似的矩阵也未必合同 第五章二次型 172 正确 T1 P APP AP BB不能相互推得 6 合同变换把实对称矩阵仍变为实对称矩阵 正确 这是合同不变性 7 n阶方阵经相似变换未必能化为对角矩阵 而n阶实对称矩阵必能通过相似变换化为对角矩阵 正确 8 任一实对称矩阵必合同于对角矩阵 即任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形 正确 9 可逆线性变换不改变二次型的秩 正确 可逆矩阵不改变二次型矩阵的秩 即可逆线性变换不改变二次型的秩 10 二次型通过不同的可逆线性变换化成的标准形是唯一的 错误 二次型通过不同的可逆线性变换化成的规范形是唯一的 15 判断下列命题是否正确并说明理由 1 正交变换不改变向量的长度但会改变向量间的夹角 错误错误 正交变换不改变向量的内积 也就不会改变向量的长度 夹角 2 对于任一实对称矩阵A 必存在正交矩阵P 使 T1 P APP AP 即实对称矩阵A既合 同又相似于对角矩阵 正确正确 正交矩阵P满足 1 P T P满足 3 任一n阶方阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关 而n阶实对称矩阵的不同的特征值 所对应的特征向量线性无关且正交 正确正确 见有关定理 4 若二次型 T f X AX对于某一非零的n维向量X 有 T 0f X AX 则该二次型既不是正 定也不是负定的 正确正确 正定 负定 要求对于任一非零的n维向量X T 0X AX f 5 一个二次型 若不正定则必负定 错误错误 除正定 负定外 还有半正定 T 0X AX 半负定 T 0X AX 不定等情形 6 n元实二次型正定的充要条件是其负惯性指标等于 0 错误 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n 这与负惯性指标等于 0 的意义不同 7 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于二次型的秩 错误 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n 而二次型的矩阵不一定满秩 8 n阶实对称矩阵A正定的充要条件是其n个特征值非负 错误 n阶实对称矩阵A正定的充要条件是其n个特征值大于零 而不是非负 9 若0 A 则A必不正定 正确 因为A正定 则0A 其逆否命题为 0 A 则A必不正定 10 若A主对角线上的元素不全为正 则A必不正定 正确 因A正定 其主对角线上的元素大于零 其逆否命题为 A主对角线上的元素不全为正 则A 必不正定 18 把曲线 22 1212 61xxx x 用正交变换化为标准曲线 并指出该曲线的类型 解解 1 22 121212 2 13 6 31 T x fxxx xx xX AX x 第五章二次型 173 1 13 42 31 EA 特征值 12 4 2 2 对于特征值 1 4 因 3311 4 3300 EA 解 12 0 xx得基础解系 T 1 1 1 对于特征值 2 2 因 3 311 2 330 0 E A 解 12 0 xx得其基础解系 T 2 1 1 3 12 正交 将其单位化 1 1 1 122 1 1 222 T T 2 2 2 122 1 1 222 得正交矩阵 22 22 22 22 Q 4 即经过正交变换XQY 将二次型化为标准形 22 12 42yy 即把曲线 22 1212 61xxx x 化为 22 12 421yy 此为双曲线 19 三阶实对称矩阵A的特征值是1 1 1 特征值1 对应的特征向量为 T 0 1 1 求矩阵A及特征值1 对应的特征向量 解设矩阵A的属于1 的特征向量为 T 123 x x x 由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特 征向量正交 故有 T 123 0 xx 解此方程组得到的解向量 TT 23 1 0 0 0 1 1 是矩阵A 的属于1 的线性无关的特征向量 由 112233 1 1 1AAA 得 123123 A 因 123 线性无关 知 123 可逆 得 1 123123 A 01001 21 2100 101100001 10101 21 2010 22 t取何值时 矩阵 112 10 20 t t 是正定的 解解 讨论矩阵的各阶顺序主子式 123 112 1 1 110 10 1050 1 20 ttt t t t 得5t 23 求t的取值范围 使二次型 222 123123121323 44224f x x xxxxtx xx xx x 为正定二次型 第五章二次型 174 解解 1 1231232 3 11 42 124 T tx f x x xx x xtxX AX x 讨论A的各阶顺序主子式 2 123 11 1 110 40 424 210 4 124 t t tttt t 得21t 24 设A是n阶正定矩阵 证明 1 1 A是正定矩阵 2 若M是是n阶可逆方阵 则 T M AM也是正定矩阵 证 1 A正定 故A为实对称矩阵且 0A 因而 1 TT11 AAA 即 1 A 为实对称矩阵 设A的特征值为 则 1 A 的特征值为1 由A正定 A的特征值0 则 1 A 的特征值 1 0 故 1 A 正定 2 因A正定 故 T AA 从而 T TT M AMM AM T M AM为实对称矩阵 因M可逆 作可逆线性变换 YMX 则由XO 时 有 YO 于是由A正定 得到 TTTT 0 XM AM XMXA MXY AY 故实二次型 TT XM AM X正定 从而 T M AM为正定矩阵 2