炎德英才大联考长郡中学2019届高三月考试卷六理数试卷与答案全解.pdf

书书书 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 题 答 要 不 内 线 封 密 号 学 名 姓 级 班 校 学 炎德 英才大联考长郡中学 届高三月考试卷 六 数 学 理科 得分 本试卷共 页 时量 分钟 满分 分 一 选择题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 设集合 集合 则 等于 若 为虚数单位 复数 满足 则 的虚部为 槡 槡 槡 槡 设随机变量 其正态分布密度曲线如图所示 那么向正方形 中随机投掷 个点 则落入阴影部分的点的个数的估计值是 注 若 则 九章算术 中的 竹九节 问题 现有一根 节的竹子 自上而下各节的容 积成等差数列 上面 节的容积共 升 下面 节的容积共 升 现自上而 下取第 节 则这 节的容积之和为 升 升 升 升 已知某几何体的外接球的半径为槡 其三视图如图所示 图中均为正方 形 则该几何体的体积为 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 某城市有连接 个小区 和市 中心 的整齐方格形道路网 每个小方格均为正方 形 如图所示 某人从道路网中随机地选择一条最 短路径 由小区 前往小区 则他经过市中心 的概率为 已知 的内角 的对边分别为 若 则 面积的最大值是 槡 执行如图所示的程序框图 输出 的值等于 槡 槡 槡 槡 已知非空集合 满足以下两个条件 的元素个数不是 中的元素 的元素个数不是 中的元素 则有序集合对 的个数为 设 则 在三棱锥 中 平面 槡 是边 上的一动点 且直线 与平面 所成角的最大值为 则三棱锥 的外接球的表面积为 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 已知 是函数 的导函数 且对任意实数 都有 是自然对数的底数 若不等式 的解 集中恰有两个整数 则实数 的取值范围是 选择题答题卡 题 号 得分 答 案 二 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 已知平面向量 满足 且 则 等于 已知奇函数 的导函数的部分图象如图所示 是 最高点 且 是边长为 的正三角形 那 么 已知实数 满足 若 只在点 处取得最大 值 则实数 的取值范围是 已知抛物线 点 在该抛物线上且位于 轴的两侧 其中 为坐标原点 则 面积的最小值是 三 解答题 本大题共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 题为选考题 考 生根据要求作答 一 必考题 共 分 本小题满分 分 设数列 的前 项和为 且 在正项等比数列 中 求 和 的通项公式 设 求数列 的前 项和 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 如图 四 棱 锥 中 平 面 平 面 底面 为梯形 槡 且 与 均为正三角 形 为 的重心 求证 平面 求平面 与平面 所成锐二面角的正切值 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 某公司计划购买 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一 易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个 元 现需决策 在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了 台这 种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这 台机器更换的易损零件数的频率代替 台机器更换的易损零 件数发生的概率 记 表示 台机器三年内共需更换的易损零件数 表示购买 台机器的同时购买的易损零件数 求 的分布列 若要求 确定 的最小值 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在 与 之中选其一 应选用哪个 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 如图 在平面直角坐标系中 已知点 过直 线 左侧的动点 作 于点 的角平分线交 轴于点 且 槡 记动点 的轨迹为曲线 求曲线 的方程 过点 作直线 交曲线 于 两点 点 在 上 且 轴 试 问 直线 是否恒过定点 请说明理由 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 设函数 若直线 和函数 的图象相切 求 的值 当 时 若存在正实数 使对任意 都有 恒成立 求 的取值范围 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 二 选考题 共 分 请考生在 题中任选一题作答 如果多做 则按所 做的第一题计分 本小题满分 分 选修 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 以原点 为极点 以 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系 圆 的极坐标方程为 槡 将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程 过点 作斜率为 的直线 直线 与圆 交于 两点 试求 的值 本小题满分 分 选修 不等式选讲 已知定义在 上的函数 且 恒 成立 求实数 的值 若 求证 书书书 理科数学试题参考答案 长郡版 炎德 英才大联考长郡中学 届高三月考试卷 六 数学 理科 参考答案 一 选择题 题 号 答 案 解析 集合 集合 故选 解析 槡 槡 槡 槡 故 的虚部为 槡 故选 解析 则 阴影部分的面积为 向正方形 中随机投掷 个点 则落入阴影部分的点的个数的估计值是 解析 设自上而下各节的容积分别为 公差为 上面 节的容积共 升 下面 节的容积共 升 解得 自上而下取第 节 则这 节的容积之和为 解析 几何体为正四面体 解析 由题意知 此人从小区 前往小区 的所有最短路径为 共 条 记 此人经过市中心 为事件 则 包含的基本事件为 共 个 所以 即他经过市中心 的概率为 解析 由题意知 由余弦定理 故 有 故 槡 解析 槡 即得 槡 解析 根据条件 的元素个数不是 中的元素 的元素个数不是 中的元素 当集合 只有 个 元素时 集合 中有 个元素 且 此时仅有一种结果 当集合 有 个元素时 集合 中有 个元素 且 此时集合 中必有一个元素为 集合 中必有一个元素 为 故有如下可能结果 理科数学试题参考答案 长郡版 共计 种可能 可以推测集合 中不可能有 个元素 当集 合 中有 个元素时 集合 中有 个元素 此情况与 情况相同 只需 互换即可 共计 种可能 当 集合 中有 个元素时 集合 中有 个元素 此情况与 情况相同 只需 互换即可 共 种可能 综上所述 有序集合对 的个数为 答案选 解析 由 有 因为 所以 而 槡 所以 选 解析 三棱锥 中 平面 设直线 与平面 所 成角为 三棱锥外接球球心为 半径为 如图所示 则 且 的最大值是 槡 解得 槡 即 的最小值为 槡 的最小值是槡 即点 到 的距离为槡 槡 取 的外接圆圆心为 作 解得 槡 槡 取 为 的中点 槡 由勾股定理得 槡 槡 槡 槡 解析 构造函数 令 所以 由 得 所以 研究 的图象 易知选 二 填空题 槡 解析 由 可得 则 槡 槡 槡槡 解析 由奇函数 是边长为 的正三角形 可得 是 最高点且 槡 得 槡 所以 槡 解析 由不等式组 作可行域如图 联立 解得 当 时 目标函数化为 由图可知 可行解 使 取得最大值 符合题意 当 时 由 得 此直线斜率大于 当 在 轴上截距最小时 最大 要使可行解 为目标函数 取得最大值的唯一的最 优解 则 符合题意 理科数学试题参考答案 长郡版 当 时 由 得 此直线斜率为负值 当在 轴上截距最大时 最大 要使可行解 为使目标函数 取得最大值的唯一的最优解 则 即 综上 实数 的取值范围是 槡 解析 设直线 的方程为 点 直线 与 轴的交点为 将 代入 可得 根据韦达定理有 即 所以直线 恒过点 且 当 槡 时 面积的最小值是槡 三 解答题 解析 当 时 当 时 分 所以 所以 于是 解得 或 舍 所以 分 由以上结论可得 当 时 当 时 令 得 所以 综上 分 解析 连接 并延长交 于 连接 由梯形 中 且 知 又 为 的重心 故 又 平面 平面 平面 分 平面 平面 与 均为正三角形 连接 并延长交 于 的中点 连接 平面 以 为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 理科数学试题参考答案 长郡版 槡 槡 槡 槡 槡 槡 设 槡 槡 可得 槡 槡 槡 分 设平面 的一个法向量为 由 槡 槡 槡 槡 令 得 槡 同理可得平面 的一个法向量 槡 槡槡 槡 所以平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 分 解析 每台机器更换的易损零件数为 记事件 为第一台机器 年内换掉 个零件 记事件 为第二台机器 年内换掉 个零件 由题知 因为 台机器三年内共需更换的易损零件数的随机变量为 则 的可能的取值为 分 要使 则 的最小值为 分 购买零件所需费用含两部分 一部分为购买机器时额外购买零件的费用 另一部分为备件不足时再购买 的费用 当 时 费用的期望为 当 时 费用的期望为 所以应选用 分 理科数学试题参考答案 长郡版 解析 设 由题可知 所以 槡 即 槡 槡 化简整理得 即曲线 的方程为 分 由已知可得直线 的斜率不为 可设直线 的方程为 联立方程组 消去 得 恒成立 记 则 则 直线 的斜率为 直线 的方程为 即 又 直线 的方程为 直线 过定点 分 解析 设切点的坐标为 由 得 所以切线方程为 即 由已知 和 为同一条直线 所以 令 则 当 时 单调递增 当 时 单调递减 所以 当且仅当 时等号成立 所以 分 当 时 由 结合函数的图象知 存在 使得对于任意 都有 则不等式 等价 即 设 由 得 由 得 若 因为 所以 在 上单调递减 因为 所以对任意 与题意不符 若 所以 在 上单调递增 因为 所以对任意 符合题意 理科数学试题参考答案 长郡版 此时取