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高三数学试题 第 1 页 共 9 页 绝密 启用前 试卷类型 a 2019 2020 学年度高三校际联合考试 数学参考答案2020 01 一 单项选择题 本题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 c 2 d 3 b 4 c 5 a 6 b 7 b 8 a 1 答案 c 解析 因为 2 1 0 1 2 11 2 2abx xx 或 故答案为 c 2 答案 d 解析 因为2iz 所以 5z 故答案为 d 3 答案 b 解析 将问题三角形问题 已知一直角边为 3 尺 另两边和为 10 尺 设直角边为x尺 则斜边为10 x 尺 由勾股定理可得 222 3 10 xx 可得4 55x 尺 故答案为 b 4 答案 c 解析 由 1 1 0 2 ff 故答案为 c 5 答案 a 解析 根据指数函数的性质 0 8 71 7 010 8 根据对数函数的性质 0 8 log70 故选 a 6 答案 b 解析 根据题意得 恰有一个一等品的概率 51131 64643 p 故答案为 b 7 答案 答案 b 解析 解析 由2ab 可知 a b 方向相同 ab ab 表示 a b 方向上的单位向量 所以 ab ab 成立 反之不成立 故答案为 b 高三数学试题 第 2 页 共 9 页 8 答案 a 解析 四棱锥abcdp 的体积是336 1 36 3 3 ababpq 13 36 3 32 ababab 边长63 3ab pq 设3 3ohx omx 222222 3 3 3 2 roaomamx 222222 3ropohphx 2 3x 22 12321r 3 4 28 21 3 vr 球 故答案为 a 二 多项选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分 部分选对的得 3 分 有选错的得 0 分 9 ab 10 ac 11 abc 12 acd 9 答案 答案 ab 解析 解析 由题意知sin0 cos0 tan0 选项a sin 0 tan 选项b cossin0 选项 c sin cos0 选项 d sin cos 符号不确定 故答案 为 ab 10 答案 答案 ac 解析 解析 根据图示 可得甲 乙 丙三位同学的逻辑思维成绩排名中 甲同学更靠前 故答案为 ac 11 答案 abc 解析 因为 2f xf x 所以 42 f xf xf x 即4t 故a 正确 因为函数 1yf x 为奇函数 所以函数 1yf x 图像关于原点成中心对称 所以b正确 又函数 1yf x 为奇函数 所以 1 1fxf x 根据 2f xf x 令1x 代x有 1 1f xf x 所以 1 1f xfx 令1x 代x有 fxf x 即函数 f x为r上的偶函数 c 正确 因为函数 高三数学试题 第 3 页 共 9 页 1yf x 为奇函数 所以 1 0f 又函数 f x为r上的偶函数 1 0f 所 以函数不单调 d 不一定正确 故答案为 abc 12 答案 答案 acd 解析 解析 对于选项 a 点m到准线1 x的距离为 2 1 2 1 abbfaf 于是以 线段ab为直径的圆与直线1 x一定相切 进而与直线 2 3 x一定相离 对于选项 b 显然ab中点的横坐标与 2 1 bm不一定相等 因此命题错误 对于选项 c d 设 1122 a x yb xy 直线 ab 方程为1 myx 联立直线与抛物线方程可得 2 440ymy 1212 4 1y yx x 若设 4 4 2 aaa 则 1 4 1 2 aa b 于 是 2 12 2 1 42 4 abxxpa a ab最小值为 4 当2affb 可得 12 2yy 即 1 24 a a 所以 2 1 2 a 2 9 ab 故答案为 acd 三 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 1 2 14 60 15 1 31 或 2 31 2 2 16 551 3 13 答案 1 2 解析 因为tan3 所以 sincostan11 sincostan12 14 答案 60 解析 因为 26612 3 166 1 2 1 2 rrrrrrr r tcxc x x 令12 3 0r 得4r 所以常数项为 46 440 56 1 2 60 tc x 15 答案 1 31 或 2 31 2 2 解析 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc 再根据椭圆定义得 高三数学试题 第 4 页 共 9 页 32cca 所以椭圆m的离心率为1 2 31 13 c e a 双曲线n的渐近线方程为 n yx m 由题意得双曲线n的一条渐近线的倾斜角为 3 所以 2 2 2 tan3 3 n m 所以 2222 2 22 22 3 4 2 mnmm ee mm 16 答案 551 3 解析 2 62 xk 对称轴为 23 k x 周期为 10 x 9 10 2 f 不合适 过最高点对称轴 3 x 4 3 x 28 3 x 共有 10 条 过最低点对称轴共 有 9 条 根据正弦函数图像性质 得 12 2 3 xx 32 5 2 6 xx 1920 28 2 3 xx 2 n s 1 n xx 12 xx 23 xx 1920 xx 1528 2 363 111 2 1919 18 322 551 3 四 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 选择 113 sin2sin2 224 abc sab bcabcbc 所以2 2bc 5 分 由余弦定理可得 222 2cosacabbcab bcabc 2 482 2 2 2 20 2 所以202 5 ac 10 分 选择 设baccad 则 0 4 4 bca 在abc 中 sinsin acab abcbca 即 2 3 sinsin 44 ac 高三数学试题 第 5 页 共 9 页 所以 2 sin 4 ac 3 分 在在acd 中 sinsin accd adccad 即 4 sin sin 6 ac 所以 2 sin ac 6 分 所以 22 sin sin 4 解得2sincos 又 0 4 所以 5 sin 5 所以 2 2 5 sin ac 10 分 18 解 1 因为 1 2b 1 12 nn aan 所以 1 1 2 nn anan 所以 1 1 2 n n an an 5 分 即 1 2 n n b b 所以 n b是等比数列 且首项 1 2b 公比为 2 2n n b 7 分 2 2n nn abnn 所以 n s 123 2222 123 n n 2 1 22 2 n nn 12 分 19 解解 1 如图 连接ab交oc于点n 连接mn pa 平面moc pa mn 2bmmp 2bnna 2oaob 120aob 2 3ab 4 3 3 bn 高三数学试题 第 6 页 共 9 页 又 30oba 在bon 中 根据余弦定理得 2 3 3 on 222 onobbn 90bon o onob 4 分 又po 平面aob onop 5 分 obopo on 平面pob 又on 平面moc 平面moc 平面pob 6 分 2 由 1 得 ocob opoc opob 如图建立空间直角坐标系oxyz 5op 2oaoboc 0 0 5 op 3 1 0 oa 2 0 0 oc 0 2 0 ob 点mpb 且2bmmp 2 2 5 0 33 om 设平面poa的法向量为 1111 x y z n 则 1 1 0 0 op oa n n 即 1 11 50 30 z xy 令 1 1x 得 1 3y 1 0z 1 1 3 0 n 8 分 设平面moc的法向量为 2222 xy z n 则 2 2 0 0 oc om n n 即 2 22 20 22 5 0 33 x yz 即 2 22 0 50 x yz 令 2 1z 得 2 5y 2 0 x 2 0 5 1 n 10 分 设平面poa和平面moc所成二面角为 则 12 1 0350 11510 cos cos 41 3 5 12 6 n n 11 分 6 sin 4 平面poa与平面moc所成二面角的正弦值为 6 4 高三数学试题 第 7 页 共 9 页 12 分 20 解 1 由已知可得 22 222 22 11 1 2 c ab abc 解得 22 2 1 1 abc 所以椭圆 2 2 1 2 x cy 4 分 2 由已知可得 0 1 1 0 1 bf bfkbfl 设直线l的方程为 yxm 代入椭圆方程整理得 22 34220 xmxm 设 1122 m x yn xy 则 2 1212 422 33 mm xxx x 6 分 12 12 1 1 1 yy bnmf xx 即 121212 0y yx xyx 8 分 因为 1122121212 0yxm yxm xm xmx xxmx 即 2 1 212 2 1 0 x xmxxmm 2 2 224 2 1 0 33 mm mmm 所以 2 4 3 40 3 mmm 或1 m 10 分 又1m 时 直线l过b点 不合要求 所以 4 3 m 故存在直线 4 3 lyx 满足题设条件 12 分 21 解解 1 由题意得135 45 243204 0 a 解得6 a 3 分 2 当产品品质为优时频率为5 0 5 264 04 0 1 p 此时价格为34 x 当产品品质为中时频率为2 0 32 04 0 2 p 此时价格为25 5 3 x 当产品品质为差时频率为3 0 35 4 04 0 3 p 此时价格为20 5 3 x 高三数学试题 第 8 页 共 9 页 以频率作为概率 可得随机变量 的分布列为 34 x 25 5 3 x 20 5 3 x p 5 0 2 0 3 0 7 分 3 设公司年利润为 xf 则 3016 10 23 9 3 0 20 5 3 2 0 25 5 3 5 0 34 2 3 xx x xxxxxf 整理得 3 2 3 1230 92 x f xxx 10 分 2 11 312 3 12 33 fxxxxx 显然当 12 5 x时 0 xf 15 12 x时 0 xf 当年产量12 x时 xf取得最大值 138 12 f 估计当年产量12 x时 该公司年利润取得最大值 最大利润为 138 万元 12 分 22 解 1 2 1 1 1 2 h xaxxaf x 2 1 1 ln 2 h xaxxax 2 1 1 1 1 1 aaxxaaxax h xax xxx 0 x 2 分 设 1 1 r xaxax 当 0a 时 1 r xx 在 0 1 x 时 0r x 即 0h x 所以 h x 单调递减 在 1 x 时 0r x 0h x 所以 h x 单调递增 所以函数 h x 有唯一的极小值 点成立 当 0a 时 令 0r x 得1 1 10 x a 2 1x 在 0 1 x 时 0r x 即 0h x 所以 h x 单调递减 在 1 x 时 0r x 0h x 所以 h x 单调递增 所以函数 h x 有唯一的极小值点成立 4 分 高三数学试题 第 9 页 共 9 页 当 0a 时 令 0r x 得1 1 1x a 2 1x 当1 1 10 x a 时不合题意 则1 1 10 x a 且12 xx 即 1 10 2 aa且 设 12 max mx x 12 min nx x 在 0 xn 时 0r x 即 0h x 所以 h x 单调递减 在 xn m 时 0r x 0h x 所以 h x 单调递增 在 xm 时 0r x 即 0h x 所以 h x 单调递减 所以函数 h x 有唯一的极小值点成立 综上所述 a的取值范围为 1 1 2 aa且 7 分 2 令 e ln 0 e x x f