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文档简介

二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特征向量方阵对角化的充要条件对称方阵对角化二次型化标准形 第五章二次型 本节重点 二次型及标准形定义和矩阵表示规范正交基概念Schimidt规范正交化方法正交矩阵的概念 性质正交变换的概念和优点 1二次型定义及矩阵表示 n个变量x1 x2 xn的 f x1 x2 xn 称为二次型 二次齐次函数 定义1 f x1 x2 xn 二次型的矩阵 1 A称为二次型f的矩阵 A为实对称矩阵 2 二次型f与实对称矩阵A一一对应 注 于是二次型的矩阵表示为 f y1 y2 yn 为标准形 定义2 称 其矩阵为 f x1 x2 xn 寻找可逆的线性变换 保形状不变 本章中心 记作 使二次型 转换为标准形 2正交向量组 一 几个概念 定义1设有n维向量 为向量x与y的内积 称 性质 定义2非负实数 称为n维向量 性质 的长度 范数 称为向量 的夹角 定义3长为1的向量称为单位向量 若向量 定义5正交向量组 一组两两正交的非零向量 定义4如果 那么称向量x与y正交 则满足 定理1正交向量组必线性无关 证明 二 规范正交化 但不为正交向量组 定义6规范正交基 向量空间中由单位向量构成的两两正交的一个基 定理2基e1 e2 er为规范正交基 当且仅当 定理3设 是向量空间V的一个基 与之等价 则必有规范正交基 比如 若 线性无关 则是 的一个基 与之等价的规范正交基存在不唯一 Schimidt的做法 Schimidt规范正交化过程 正交化 单位化 与 等价 例5 解 再把它们单位化 取 例6 解 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 定义7如果n阶矩阵A满足ATA E 那么称A 都是正交矩阵 例7 为正交矩阵 正交矩阵的性质 若A为正交阵 则 只能是1或者 1 4 n阶矩阵A为正交矩阵 A的列 行 向量组是规范正交向量组 证明 例8判别下列矩阵是否为正交阵 解 所以它不是正交矩阵 考察矩阵的第一列和第二列 由于 所以它是正交矩阵 由于 定义8若P为正交矩阵 则线性变换x Py 都为正交变换 称为正交变换 例9 若线性变换x Py为正交变换 a b为任意 保持两向量内积不变 保持向量的长度不变 保距性 保持向量的夹角不变 保角性 把规范正交基仍变为规范正交基 两个向量 那么 正交变换性质 优点 正交变换具有下列性质 内容小结 第五章相似矩阵及二次型 1 向量的内积 2 内积的性质 3 向量
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