量子力学习题集及答案.pdf

09光信息量子力学习题集 一 填空题 1 设电子能量为4电子伏 其德布罗意波长为 6 125 2 索末菲的量子化条件为 应用这量子化条件求得一 维谐振子的能级 3 德布罗意假说的正确性 在1927年为戴维孙和革末所做 的 电 子衍射实验所证实 德布罗意关系 公式 为 和 4 三维空间自由粒子的归一化波函数为 5 动量算符的归一化本征态 6 t 0时体系的状态为 其中为一维线性谐振子的定态波函 数 则 7 按照量子力学理论 微观粒子的几率密度 几率 流密度 8 设描写粒子的状态 是 粒子的几率密度 在中的 平均值为 9 波函数和是描写 同一 状态 中的称为 相因子 不影响波函数的归一化 因为 10 定态是指 能量具有确定值 的状态 束缚态是指 无穷远处波函数为零 的状态 11 是定态的条件是 这时几率密度和 几率密度 都与时间无关 12 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 称为隧道效应 13 无穷远处波函数为零 的状态称为束缚态 其能量 一般为 分立 谱 14 3 t 0时体系的状态为 其中为一维线性谐振子的定态 波函数 则 15 粒子处在的一维无限深势阱中 第一激发态的能量为 第一激发态的波函数为 16 基态是指 能量最低 的状态 写出一维线性谐振子 的基态波函数 17 一维线性谐振子的第一激发态的能量为 第一激发 态的波函数为 18 对应于同一本征值的本征函数的数目 称为简并 度 不考虑电子自旋时 氢原子的第n个能级的简并度为 n2 19 一维无限深势阱第n个能级的简并度为 1 不考虑 电子自旋时 氢原子的第n个能级的简并度为 n2 20 一维线性谐振子第n个能级的简并度为 1 考虑电 子自旋以后 氢原子的第n个能级的简并度为 2n2 21 氢原子的状态为 角动量平方是 角动量分量是 22 厄密算符的定义是 对于两任意函数和 等式 成 立 23 力学量算符的本征值必为 实数 力学量算符的属 于两个不同本征值的本征态必 相互正交 24 力学量算符的属于 不同本征值 的本征函数必相互 正交 25 量子力学中 力学量算符都是 厄米 算符 力学量 算符的本征函数组成 完全 系 26 算符在其自身表象中的矩阵为 对角 矩阵 例如在 表象中 27 如果 0 则存在组成 完全 系的共同本征态 的 共同本征态是 28 如果存在有组成 完全 系的共同本征态 则 0 的共同本征态是 29 对易子 30 31 0 32 能量与时间的测不准关系是 和的测不准关系是 33 在一维情况下 若粒子处于状态中 则在动量表象中的 波函数为 34 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中 则在表象中 一维线性谐振子的波函数为 0 0 3 5 0 4 5 0 35 斯特恩 革拉赫证实电子具有 自旋 角动量 它在 任何方向上投影只能取两个值 和 36 37 0 0 38 在表象中 粒子处在自旋态中 39 在表象中 粒子处在自旋态中 40 在表象中 则在状态中 41 全同性原理的内容是 在全同粒子组成的体系中 两 全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 42 泡里原理的内容是 不能有两个或两个以上的费密子 处于同一状态 43 描写电子体系的波函数只能是 反对称 波函 数 而电子体系的自旋波函数则可以是 对称 或者 反对称 的 44 电子是 费密 子 服从 费密 狄拉克 统计 描 写电子体系的波函数只能是 反对称 波函数 45 描写玻色子体系的波函数只能是 对称 波函数 而 玻色子体系的自旋波函数则可以是 对称 或者 反 对称 的 46 描写费密子体系的波函数只能是 反对称 波函数 而费密子体系的自旋波函数则可以是 对称 或者 反对称 的 47 光子是 玻色 子 服从 玻色 爱因斯坦 统计 描写光子体系的波函数只能是 对称 波函数 二 计算 证明题 1 粒子在一维势场中运动 试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能 级和归一化波函数 解 当 当 令 得 2 一粒子在一维势场中运动 试求粒子的能级和归一化定态波函数 准确解 解 令 则 3 一粒子在硬壁球形空腔中运动 势能为 试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数 不必归一 化 提示 在态中 解 当 当 令 得 有限 4 粒子在一维势场中运动 试从薛定谔方程出发求出粒子的定态 能级和归一化波函数 解 1 当 当 令 得 5 利用力学量算符本征函数的正交归一完全性 证明 式中 为本征值 解 6 求证 如果算符和有一组共同本征态 而且组成完全系 则算符 和对易 解 设任一波函数可展开为 7 求证 力学量算符的属于两个不同本征值的本征态相互正交 解 设当时 代入 得 8 证明力学量算符的本征值必为实数 解 设 在 中 令 得 9 证明 力学量在任意态中的平均值为实数 解 设已归一化 则 10 粒子处在的一维无限深势阱中的基态 设t 0时阱壁突然运动 到 求此时粒子处于基态的几率 解 11 设粒子的状态为 求粒子动量和动能的可能值及相应的几率 解 由 得 动量的可能值为 对应几率为 动能的可能值为 对应几率为 12 求证 证明 13 求证 解 3分 14 求证 解 15 求的本征值和归一化本征态 解 16 在表象中 1 求出的本征值和本征态 2 求在态中测得的几 率 解 1 对应的本征为 2 17 设 1 为的本征态 对应的本征值为 求证 也是的本征 态 并求出对应的本征值 解 所以 也是的本征态 对应的本征值为 18 一维线性谐振子处于基态 求该谐振子的动量处于内的几率 提示 解 内的几率为 19 一维线性谐振子处于基态 求该谐振子在动量表象中的波函数 提示 解 20 在表象中 1 求出的本征值和本征态 2 求在态中测得的几 率 解 1 对应的本征为 2 21 设氢原子的状态为 求 1 能量 的可能值和相应几率 2 能量 的平均值 解 由得 能量有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 22 设氢原子的状态为 求 1 氢原子能量 角动量平方 角动量分量的可能值和相应几 率 2 氢原子能量 角动量平方 角动量分量的平均值 解 由得 1 能量有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 2 23 设氢原子的状态为 求 1 能量E 轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几 率 2 能量E 轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值 解 1 能量有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 2 24 设氢原子的状态为 求 1 能量 的可能值和相应几率 2 能量 的平均值 由得 1 能量有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 有两种可能值 相应几率分别为 2 25 一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级 假设微扰矩 阵为 试用微扰论计算体系的能级至二级修正 解 n 1 2 3 26 一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级 假设微扰矩 阵为 试用微扰论计算体系的能级至二级修正 解 n 1 2 3 27 一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级