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第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二重积分的计算 第六章 二 利用极坐标计算二重积分 一 利用直角坐标计算二重积分 说明 则面积元素可记为 故二重积分可写为 除去边界上的闭区域含曲边外 一 积分区域D为X 型区域 穿过 内部且平行于 轴的直线与 边界交点不超过两点 1根据积分区域的类型计算二重积分 特点 其中函数 在区间上连续 假定 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法求 得 二 积分区域D为 型区域 穿过 内部且平行于 轴的直线与 边界的交点不超过两点 特点 三 D不是 型区域 也不是 型区域 把D分成几部分 使每个部分是X 型区域或是Y型区域 四 若积分区域D既是X 型的 又是Y 型的 则 注 2 D既是X 型的 又是Y 型时 选择适当的积分次序使计算简便 特别 3 二重积分化为二次积分关键是确定积分限 积分限的确定根据区域D的类型 为此 需 画出D的图形 判定D的类型 X 型区域还是 型区域 例1计算其中D是由直线y x y 1 x 2所围成的闭区域 解法2 D为Y 型区域 例2计算 其中D是由抛物线 直线 解 D作为Y 型区域 例3计算 其中D是直线 所围成的闭区域 1 对既是X 型又是Y 型上的二重积分 可按两种顺序的二次积分计算 但选择计算量较小的一种顺序 如例2 说明 2 某些二重积分只能选择一种积分顺序 如例3 问 既是X 型又是Y 型上的二重积分 若给出的积分顺序计算繁琐 怎么办 答 转变积分次序 步骤 1 根据给出的二次积分 在同一坐标系内画出积分区域D 2 根据积分区域D 写出另一种二次积分 例4改变二次积分的积分顺序 交换二次积分的积分次序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 2 利用二重积分的 对称性 简化计算 i 积分区域D关于x轴对称 ii 积分区域D关于y轴对称 例5 解 例6 解 习题6 2第165页3 2 4 5 6 二重积分在直角坐标下的计算公式 X 型 Y 型 小结 作业 4 5 练习题1计算围成的闭区域 练习题2求由抛物柱面2y2 x 平面和z 0所围成的立体的体积 练习题3 练习题4 化二重积分为二次积分 1 D由围成 2 D 课前练习 解 二 利用极坐标计算二重积分 1 面积元素 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积 及射线 常数 分划区域D为 在极坐标系下 用同心圆 常数 2 二重积分由直角坐标化为极坐标的变换公式 3 化为二次积分公式 说明 对给定的二重积分 当被积函数是 的形式或积分区域是圆域 圆环或者它们的一部分时 二重积分用极坐标计算较方便 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试 答 问 的变化范围是什么 1 2 注 解 积分区域D如右图 例2 计算 其中D 解 的原函数不是初等函数 故
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