必修4——1.1.2弧度制（教案）.doc

1.1.2弧度制教学目标：理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数并能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题教学重点：弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明教学难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系教学过程：一、创设情景，揭示课题在初中几何里，我们学习过角的度量，1的角是怎样定义的呢?（周角的为1的角）这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度二、研探新知长度等于半径的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1 。用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）。正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0。若圆的半径为，圆心角所对的圆弧长为，则其弧度数就是；若半径为，圆心角所对的圆的弧长为，则其弧度数就是，故有 度【探究】：如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向【注意】：（1）用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位。例如1 ，2 ，可以分别写成1，2，sinp表示p 角的正弦；（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度030456090120135150180弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210225240270300315330360弧度7/65/44/33/25/37/411/62（3）应确立如下的概念：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.正角零角负角正实数零负实数任意角的集合 实数集R 弧长公式：由公式： （比公式简单） 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 扇形面积公式： 其中是扇形弧长，是圆的半径。（这比扇形面积公式 要简单） 说明：弧度制下的公式要显得简洁的多了；以上公式中的必须为弧度单位三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材例1）把下列各角从弧度化为度：（1） （2）解：（1） （2）【举一反三】1.将化为角度制是_，5是第_象限角。2.若为第四象限角，则为第_象限角3.有以下四组角：；,，其中终边相同的是（ ） .和 .、和 .、和 .、和例2（教材例1）把下列各角从度化为弧度：（1）；（2）【举一反三】1.将化为弧度制是_2.比较大小：3_, _3.集合，则（ ）. . . .【触类旁通】1. 在同一直角坐标系中用阴影画出集合：，,并写出和2.已知集合，试求例3 （教材例3）已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的面积。AB解：设扇形的半径为，弧长为，则有，解得，故扇形的面积为【举一反三】1地球的赤道半径为6370千米，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是_，1弧度的圆心角所对的弧长是_2若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积等于_3一个半径为的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？例4 已知一扇形的周长为c(c0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.【举一反三】现有一根长为的铁丝，学生甲用它围成一个面积最大的矩形，学生乙用它围成一个面积最大的扇形，则两人围成的图形中，哪个面积较大？试说明理由。四、巩固深化，反馈矫正 1把45化成弧度。解：4545radrad.2把rad化成度。解：rad180108.3.将下列各角化成2k+（k的形式。（1）； （2）4.写出阴影部分的角的集合：5圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍。6已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。7若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 五、归纳整理，整体认识1.本节主要学习了弧度制的定义；弧度制与角度制的区别，角度与弧度的换算公式，使角的集合与实数集之间建立起一一对应关系；特殊角的弧度数；弧度制下的弧长公式、扇形面积公式2.在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。六、承上启下，留下悬念 1时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是_2把化成的形式是_3集合和关系是（ ） （A） （B） （C） （D）4集合的关系是（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不对。5已知集合，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）或6下列各对角中终边相同的角是（ ）A.（） B. 和 C.和 D. 7设，则的取值范围是_8将下列各角化成的形式，并确定其所在的象限 （1）；（2）9已知集合，试求，,试求10一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。112弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面积（要求作图）。12已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，最大值为多少？13（1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的?七、板书设计（略）八、课后记：数学应用例1 (1)把化成弧度 (2)把化成度。解：因为，所以 例2用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角的集合。（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。解：（1）终边落在轴的非正半轴的角的集合为；非负半轴的角的集合为；终边落在轴的非正半轴的角的集合为；非负半轴的角的集合为；所以，终边落在轴上的角的集合为；落在轴上的为（2）第一象限角为；第二象限角为；第三象限角为；第四象限角为例3 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。（1）； （2）； （3）解：（1），所以，此角为第一象限角；（2），所以此角为第一象限角；例4 1已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。 2已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？ 解：（1）因为