2020江苏高考理科数学二轮讲义：等差数列与等比数列含解析.doc

教学资料范本2020江苏高考理科数学二轮讲义：等差数列与等比数列含解析编 辑：_时 间：_第1讲等差数列与等比数列 20xx考向导航考点扫描三年考情考向预测20xx20xx20xx1等差数列与等比数列基本量的运算第8题第9题数列是江苏高考考查的热点考查的重点是等差、等比数列的基础知识、基本技能、基本思想方法一般有两道题、一道填空题、一道解答题在填空题中、突出了“小、巧、活”的特点、属中高档题、解答题主要与函数、方程、推理证明等知识综合考查、属中等难度以上的试题、甚至是难题、多为压轴题2等差数列与等比数列的综合运用第20题第20题1必记的概念与定理(1)an与Sn的关系Sna1a2an、an等差数列等比数列定义anan1常数(n2)常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an1anan2(n1、nN*)an为等差数列(3)通项公式法：anpnq(p、q为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B为常数)an为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：aanan2(n1、nN*)(an0) an为等比数列(3)通项公式法：ancqn(c、q均是不为0的常数)an为等比数列判定方法(5)an为等比数列、an0logban为等差数列(4)an为等差数列ban为等比数列(b0且b1)(2)等差数列和等比数列2记住几个常用的公式与结论(1)等差数列的性质在等差数列an中、anam(nm)d、d；当公差d0时、等差数列an的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数、且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的常数项为0的二次函数若公差d0、则数列为递增等差数列、若公差d0、q1、则an为递增数列；若a11, 则an为递减数列；若a10、0q1、则an为递减数列；若a10、0q1, 则an为递增数列；若q0、a20、所以a22a12a2、即2(2)证明：法一：令m1、n2、得(S3S1)24a2a4、即(2a1a2a3)24a2a4、令mn2、得S4S12a4、即2a1a2a3a4又2、所以a44a28a1、a34a1由(SmnS1)24a2na2m、得(Sn1S1)24a2na2、(Sn2S1)24a2na4两式相除、得、所以2、即Sn2S12(Sn1S1)、从而Sn3S12(Sn2S1)以上两式相减、得an32an2、故当n3时、an是公比为2的等比数列又a32a24a1、从而ana12n1、nN*显然、ana12n1满足题设、因此an是首项为a1、公比为2的等比数列法二：在(SmnS1)24a2na2m中、令mn、得S2nS12a2n令mn1、得S2n1S12、在中、用n1代替n得、S2n2S12a2n2、得a2n122a2n2()、得a2n22a2n222()、由得a2n1将代入、得a2n12a2n、将代入得a2n22a2n1、所以2又2、从而ana12n1、nN*显然ana12n1满足题设因此an是首项为a1、公比为2的等比数列递推数列问题常见的处理方法(1)将第n项和第n1项合并在一起、看是否是一个特殊数列；若递推关系式含有an与Sn、则考虑是否可以将an与Sn进行统一(2)根据递推关系式的结构特征确定是否为熟悉的、有固定方法的递推关系式向通项公式的转换类型、否则可以写出数列的前几项、看能否找到规律、即先特殊、后一般、再特殊对点训练3设Sn为数列an的前n项和、对任意的nN*、都有Sn2an、数列bn满足b12a1、bn(n2、nN*)(1)求证：数列an是等比数列、并求an的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列、并求数列bn的通项公式解 (1)当n1时、a1S12a1、解得a11；当n2时、anSnSn1an1an、即(n2、nN*)所以数列an是首项为1、公比为的等比数列、故数列an的通项公式为an(2)因为a11、所以b12a12因为bn、所以1、即1(n2)所以数列是首项为、公差为1的等差数列所以(n1)1、故数列bn的通项公式为bn等差数列与等比数列的综合运用典型例题 (20xx高考江苏卷)设an是首项为a1、公差为d的等差数列、bn是首项为b1、公比为q的等比数列(1)设a10、b11、q2、若|anbn|b1对n1、2、3、4均成立、求d的取值范围；(2)若a1b10、mN*、q(1、证明：存在dR、使得|anbn|b1对n2、3、m1均成立、并求d的取值范围(用b1、m、q表示)【解】(1)由条件知：an(n1)d、bn2n1、因为|anbn|b1对n1、2、3、4均成立、即|(n1)d2n1|1对n1、2、3、4均成立、即11、1d3、32d5、73d9、得d、因此、d的取值范围为(2)由条件知：anb1(n1)d、bnb1qn1若存在d、使得|anbn|b1(n2、3、m1)成立、即|b1(n1)db1qn1|b1(n2、3、m1)、即当n2、3、m1时、d满足b1db1因为q(1、则10、对n2、3、m1均成立因此、取d0时、|anbn|b1对n2、3、m1均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n2、3、m1)当2nm时、当1q2时、有qnqm2、从而n(qnqn1)qn20因此、当2nm1时、数列单调递增、故数列的最大值为设f(x)2x(1x)、当x0时、f(x)(ln 21xln 2)2x0、所以f(x)单调递减、从而f(x)f(0)1当2nm时、2f0、所以bnbn12、所以数列bn是以1为首项、2为公差的等差数列、所以bn2n1因为bn1mbn2(bnmbn1)(bn1bn)m(bn2bn1)22m、所以对任意实数m、数列bnmbn1都是等差数列、且该数列的公差为22m(3)因为当n2时、cn、又c1也符合此式、所以cn、所以Tn(2)()()2又dn2、所以Tndn22、当n6时、0、所以Tn6时、0、所以Tndn1(20xx南京模拟)在等比数列an中、a2a616、a4a88、则_解析 法一：设等比数列an的公比为q、由a2a616得aq616、所以a1q34由a4a88、得a1q3(1q4)8、即1q42、所以q21于是q101法二：由等比数列的性质、得aa2a616、所以a44、又a4a88、所以或因为aa4a80、所以则公比q满足q41、q21、所以q101答案 12(20xx宿迁模拟)若等差数列an满足a2S34、a3S512、则a4S7的值是_解析 由S33a2、得a21、由S55a3、得a32、则a43、S77a4、则a4S78a424答案 243(20xx江苏名校高三入学摸底)已知数列an满足a12、an1、bn(nN*)、则数列bn的通项公式是_解析 由已知得(nN*)、则n(nN*)、即bn1bnn(nN*)、所以b2b11、b3b22、bnbn1(n1)、累加得bnb1123(n1)、又b11、所以bn1答案 bn4已知等比数列an为递增数列若a10、且2(anan2)5an1、则数列an的公比q_解析 因为2(anan2)5an1、所以2an(1q2)5anq、所以2(1q2)5q、解得q2或q因为数列为递增数列、且a10、所以q1、所以q2答案 25(20xx苏锡常镇四市高三教学调研(一)中国古代著作张丘建算经中有这样一个问题：“今有马行转迟、次日减半疾、七日行七百里”、意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢、每天行走的里程是前一天的一半、七天一共行走了700里那么这匹马最后一天行走的里程数为_解析 由题意可知、这匹马每天行走的里程数构成等比数列、设为an、易知公比q、则S72a1a1700、所以a1700、所以a7a1q6700、所以这匹马最后一天行走的里程数为答案 6(20xx市第一学期学业质量调研)设Sn是等比数列an的前n项和、若、则_解析 法一：设等比数列an的公比为q、若公比q为1、则、与已知条件不符、所以公比q1、所以Sn、因为、所以、所以q52、所以法二：因为、所以不妨设S5a、S103a、a0、易知S5、S10S5、S15S10、S20S15成等比数列、由S5a、S10S52a、得S15S104a、S20S158a、从而S2015a、所以答案 7设数列an、bn都是等差数列、且a125、b175、a2b2100、那么anbn组成的数列的第37项的值为_解析 an、bn都是等差数列、则anbn为等差数列、首项为a1b1100、d(a2b2)(a1b1)1001000、所以anbn为常数数列、第37项为100答案 1008(20xx市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列an中、a23、a427、S2n为该数列的前2n项和、Tn为数列anan1的前n项和、若S2nkTn、则实数k的值为_解析 因为各项均为正数的等比数列an中、a23、a427、所以a11、公比q3、所以S2n、an3n1令bnanan13n13n32n1、所以b13、数列bn为等比数列、公比q9、所以Tn因为S2nkTn、所以k、解得k答案 9(20xx市高三模拟)已知公差为2的等差数列an及公比为2的等比数列bn满足a1b10、a2b20、则a3b3的取值范围是_解析 法一：由题意可得、该不等式组在平面直角坐标系a1Ob1中表示的平面区域如图中阴影部分所示、则当a3b3a144b1经过点(2、2)时取得最大值2、则a3b32法二：由题意可得、则a3b3a144b12(a1b1)3(a12b1)42、故a3b3的取值范围是(、2)答案 (、2)10在数列an中、nN*、若k(k为常数)、则称an为“等差比数列”、下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0其中所有正确判断的序号是_解析 由等差比数列的定义可知、k不为0、所以正确、当等差数列的公差为0、即等差数列为常数列时、等差数列不是等差比数列、所以错误；当an是等比数列、且公比q1时、an不是等差比数列、所以错误；数列0、1、0、1、是等差比数列、该数列中有无数多个0、所以正确答案 11(20xx宝鸡模拟)已知数列an满足a15、a25、an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解 (1)证明：因为an1an6an1(n2)、所以an12an3an6an13(an2an1)(n2)又a15、a25、所以a22a115、所以an2an10(n2)、所以3(n2)、所以数列an12an是以15为首项、3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n、则an12an53n、所以an13n12(an3n)又因为a132、所以an3n0、所以an3n是以2为首项、2为公比的等比数列所以an3n2(2)n1、即an2(2)n13n(nN*)12(20xx苏州市高三模拟)已知数列an满足：a1、an1anp3n1nq、nN*、p、qR(1)若q0、且数列an为等比数列、求p的值；(2)若p1、且a4为数列an的最小项、求q的取值范围解 (1)因为q0、an1anp3n1、所以a2a1pp、a3a23p4p由数列an为等比数列、得、解得p0或p1当p0时、an1an、所以an、符合题意；当p1时、an1an3n1、所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(133n2)3n1、所以3符合题意所以p的值为0或1(2)因为p1、所以an1an3n1nq、又a4为数列an的最小项、所以、即、所以3q此时a2a11q0、a3a232qa2a3a4当n4时、令bnan1an、bn1bn23n1q23410、所以bn1bn、所以0b4b5b6、即a4a5a6a7综上所述、当3q时、a4为数列an的最小项、即所求q的取值范围为13已知数列an、对于任意n2、在an1与an之间插入n个数、构成的新数列bn成等差数列、并记在an1与an之间插入的这n个数的均值为Cn1(1)若an、求C1、C2、C3；(2)在(1)的条件下是否存在常数、使Cn1Cn是等差数列？如果存在、求出满足条件的、如果不存在、请说明理由解 (1)由题意a12、a21、a35、a410、所以在a1与a2之间插入1、0、C1在a2与a3之间插入2、3、4、C23在a3与a4之间插入6、7、8、9、C3(2)在an1与an之间插入n个数构成等差数列、d1、所以Cn1假设存在使得Cn1Cn是等差数列所以(Cn1Cn)(CnCn1)Cn1Cn(CnCn1)(1)n常数、所以1即1时、Cn1Cn是等差数列14(20xx无锡期中检测)在等差数列an中、a13、其前n项和为Sn、等比数列bn的各项均为正数、b11、其前n项和为Tn、且b2S211、2S39b3(1)求数列an和数列bn的通项公式；(2)问