知识点059三角形的边、角、高、中线、角平分线2011.doc

一、选择题1. （2011江苏连云港，5，3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）A、B、C、D、考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积。分析：由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上解答：解：42+92=97122，三角形为钝角三角形，最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上故选C点评：本题考查了三角形高的画法当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形内部，一条高在内部2. （2011台湾，23，4分）如图，三边均不等长的ABC，若在此三角形内找一点O，使得OABOBCOCA的面积均相等判断下列作法何者正确（）A作中线AD，再取AD的中点OB分别作中线ADBE，再取此两中线的交点OC分别作ABBC的中垂线，再取此两中垂线的交点OD分别作AB的角平分线，再取此两角平分线的交点O考点：三角形的重心；三角形的面积。专题：证明题。分析：根据三角形重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，利用三角形面积公式即可解答此题解答：解：别作中线ADBE，再取此两中线的交点O，O为ABC的重心，SOABSBOCSOCA，B正确故选B点评：此题主要考查学生对三角形的重心和三角形面积等知识点的理解和掌握，难度不大，解答此题的关键是准确掌握三角形重心的定义3. 如图，在ABC中E是BC上的一点，BC=2BE，点D是AC的中点，设ABC，ADF，BEF的面积分别为SABC，SADF，SBEF，且SABC=12，则SADF-SBEF=（）A、1 B、2 C、3 D、4考点：三角形的面积分析：本题需先分别求出SABD，SABE再根据SADF-SBEF=SABD-SABE即可求出结果解答：解：SABC=12，BC=2BE，点D是AC的中点，SABE= 1312=4，SABD= 1212=6，SABD-SABE，=SADF-SBEF，=6-4，=2故选B点评：本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键4. （2011，台湾省，23,5分）如图，G为ABC的重心，其中C=90，D在AB上，GDAB若AB=29，AC=20，BC=21，则GD的长度为何？（）A、7B、1449C、14029D、42029考点：三角形的重心。专题：计算题。分析：连接AG、BG，根据重心的性质可知，SABG=13SABC，再根据三角形面积的表示方法，列方程求解解答：解：连接AG、BG，G为重心，SABG=13SABC，即12ABGD=1312BCAC，1229GD=13122120，29GD=720，解得GD=14029故选C点评：本题考查了三角形重心的性质三角形的重心是三角形三边中线的交点，根据中线平分面积，重心将中线分为1：2两部分求解5. （2011，台湾省，28,5分）如图，锐角三角形ABC中，BCABAC，小靖依下列方法作图：（1）作A的角平分线交BC于D点（2）作AD的中垂线交AC于E点（3）连接DE根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（）A、DEACB、DEABC、CD=DED、CD=BD考点：作图复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质。专题：作图题；综合题。分析：根据作法作图，及角平分线与中垂线的性质作答解答：解：依据题意画出右图可得知1=2，AE=DE，2=3，1=3，即DEAB故选B点评：考查了复杂作图及角平分线与中垂线的性质，由等量代换得出内错角相等是解题的关键6. 如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP= 50考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质分析：根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP=FAP，即可得出答案解答：解：延长BA，做PNBD，PFBA，PMAC，设PCD=x，CP平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，BP平分ABC，ABP=PBC，PF=PN，PF=PM，BPC=40，ABP=PBC=（x-40），BAC=ACD-ABC=2x-（x-40）-（x-40）=80，CAF=100，在RtPFA和RtPMA中，PA=PA，PM=PF，RtPFARtPMA，FAP=PAC=50故答案为：50点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键二、填空题1. （2011南昌，15，3分）如图，在ABC中，点P是的ABC的内心，则PBC+PCA+PAB=90度考点：三角形的内切圆与内心.专题：计算题.分析：根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和解答：解：点P是的ABC的内心，PB平分ABC，PA平分BAC，PC平分ACB，PBC+PCA+PAB=90，故答案为：90点评：本题考查了三角形的内心的性质，解题的关键是正确的理解三角形的内心的定义，是三角形三内角的平分线的交点2. （2011陕西，12，3分）如图，ACBD，AE平分BAC交BD于点E ，若， 则 考点：平行线的性质。分析：由ACBD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得B的度数；由邻补角的定义，求得BAC的度数；又由AE平分BAC交BD于点E，即可求得BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得2的度数解答：解：ACBD，B=1=64，BAC=1801=18064=116，AE平分BAC交BD于点E，BAE=BAC=58，2=BAE+B=64+58=122故答案为：122点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质题目难度不大，注意数形结合思想的应用3. 如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP= 50考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质分析：根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP=FAP，即可得出答案解答：解：延长BA，做PNBD，PFBA，PMAC，设PCD=x，CP平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，BP平分ABC，ABP=PBC，PF=PN，PF=PM，BPC=40，ABP=PBC=（x-40），BAC=ACD-ABC=2x-（x-40）-（x-40）=80，CAF=100，在RtPFA和RtPMA中，PA=PA，PM=PF，RtPFARtPMA，FAP=PAC=50故答案为：50点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键4. （2011贵港）在ABC中，A=30，B=55，延长AC到D，则BCD=85度考点：三角形的外角性质。分析：根据三角形外角的性质，即可推出BCD=A+B，即可推出结论解答：解：ABC中，A=30，B=55，BCD=A+B=85故答案为85点评：本题主要考查三角形外角的性质，关键在于推出BCD=A+B，认真的计算5. （2011西宁）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，1=30，3=20，则2=50考点：平行线的性质；三角形的外角性质。专题：综合题。分析：先根据三角形的外角性质求得4的度数，再根据平行线的性质即可求解解答：解：由三角形的外角性质可得4=1+3=50，2和4是两平行线间的内错角，2=4=50故答案为：50点评：本题综合考查了三角形的外角性质和平行线的性质，得到4的度数是解题的关键6 （2011湖州，12，4分）如图：CD平分ACB，DEAC且1=30，则2=60度考点：平行线的性质；角平分线的定义.专题：计算题.分析：已知CD平分ACB，DEAC，可推出ACB=2，易求解解答：解：CD平分ACB，ACB=21；DEAC，ACB=2；又1=30，2=60点评：本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等；角平分线的定义7. （2011鄂州）如图，在ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设ABC，ADF，BEF的面积分别为SABC，SADF，SBEF，且SABC=12，则SADFSBEF=2考点：三角形的面积。分析：SADFSBEF=SABDSABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为EC=2BE，点D是AC的中点，且SABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积解答：解：点D是AC的中点，SABC=12，SABD=1212=6EC=2BE，SABC=12，SABE=1312=4，SADFSBEF=SABDSABE=64=2故答案为：2点评：本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差8. （2011海南，17，3分）如图，在ABC中，ABAC3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是5cm，则BC的长等于 cm考点：线段垂直平分线的性质。专题：计算题。分析：由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NANB，而BCBNNC5cm，则BCANNC5cm，由ACANNC3cm，即可得到BC的长解答：解：AB的垂直平分线交AC于点N，NANB，又BCN的周长是5cm，BCBNNC5cm，BCANNC5cm，而ACANNC3cm，BC2cm故答案为：2点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义9. （2011湖北随州，8，3）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP50考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。分析：根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案解答：解：延长BA，做PNBD，PFBA，PMAC，设PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC40，ABPPBC（x40），BACACDABC2x（x40）（x40）80，CAF100，在RtPFA和RtPMA中，PAPA，PMPF，RtPFARtPMA，FAPPAC50故答案为：50点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PMPNPF是解决问题的关键10. 14、如图，ADBC，ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P，作PEAB于点E若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 4【考点】角平分线的性质；平行线的性质【专题】几何计算题【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案【解答】解：过点P作MNAD，ADBC，ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P，PEAB于点E，APBP，PNBC，PM=PE=2，PE=PN=2，MN=2+2=4故答案为：4【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键11. （2011湖南长沙，13，3分）如图，CD是ABC的外角ACE的平分线，ABCD，ACE100，则A_考点：角平分线 平行线专题：相交线与平行线分析：因为CD是ACE的平分线，ACE100，所以ACDACE50；因为ABCD，所以AACD50解答：50点评：本题解法不唯一，如可以先由平角定义求得ACB的度数，再由平角分线定义与平行线性质求得B的度数，最后由三角形的内角和定理，求得A的度数三、解答题1. （2011江苏扬州，23，10分）已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由。考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定。分析：（1）由OB=OC，即可求得OBC=OCB，又由，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180，即可证得ABC是等腰三角形；（2）首先连接AO并延长交BC于E，由AB=AC，OB=OC，即可证得AE是BC的垂直平分线，又由三线合一的性质，即可证得点O在BAC的角平分线上解答：解：（1）OB=OC，OBC=OCB，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，BEC=BDC=90，BEC+BCE+ABC=BDC+DBC+ACB=180，ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形；（2）连接AO并延长交BC于E，AB=AC，OB=OC，AE是BC的垂直平分线，BAE=CAE，点O在BAC的角平分线上点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及垂直平分线的判定等知识此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用2. （2011云南保山，18，8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 考点：菱形的判定；角平分线的性质；平行四边形的性质。分析：首先根据定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到DAC=CAE，然后证明DAC=DCA，可得到DA=DC，再根据菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论解答：解：是菱形理由如下：PEAB，PFAD，且PE=PF，AC是DAB的角平分线，DAC=CAE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCA=CAB，DAC=DCA，DA=DC，平行四边形ABCD是菱形点评：此题主要考查了菱形的判定，证明DAC=DCA是解此题的关键3. （2011浙江台州，23，12分）如图1，AD和AE分别是ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：A=特别地，当点DE重合时，规定：A=0另外，对BC作类似的规定（1）如图2，在ABC中，C=90，A=30，求AC；（2）在每个小正方形边长均为1的44的方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且A=2，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假（真命题打“”，假命题打“”）：若ABC中A1，则ABC为锐角三角形；若ABC中A=1，则ABC为锐角三角形；若ABC中A1，则ABC为锐角三角形考点：解直角三角形；三角形的角平分线中线和高；作图应用与设计作图专题：应用题分析：（1）根据直角三角形斜边中线高的特点进行转换即可得出答案，（2）根据题目要求即可画出图象，（3）根据真假命题的定义即可得出答案解答：解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又ACDC，A=1，过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，ACB=90，AF=CF，ACFCAF=30，CFE=60，C=cos60=，（2）如图：（3），点评：本题主要考查了直角三角形斜边中线高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大4. （2011黑龙江牡丹江，26，9分）在ABC中，ACB=2B，如图，当C=90，AD为ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD（1）如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质。分析：（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证ADEADC（SAS），则可得AED=C，ED=CD，又由ACB=2B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证EADCAD，可得ED=CD，AED=ACD，又由ACB=2B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD解答：解：（1）猜想：AB=AC+CD证明：如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，AD为ABC的角平分线时，BAD=CAD，AD=AD，ADEADC（SAS），AED=C，ED=CD，ACB=2B，AED=2B，B=EDB，EB=ED，EB=CD，AB=AE+DE=AC+CD（2）猜想：AB+AC=CD证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接EDAD平分FAC，EAD=CAD在EAD与CAD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，EADCADED=CD，AED=ACDFED=ACB又ACB=2B，FED=B+EDB，EDB=BEB=EDEA+AB=EB=ED=CDAC+AB=CD点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用5. （2011年广西桂林，21，8分）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.已知： 求证： 证明：考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质分析：结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出POEPOF即可答案：21（本题满分8分）已知：如图，OC是AOB的平分线，P是OC上任意一点，PEOA，PFOB，垂足分别为E、F 求证：PE=PF 证明：OC是AOB的平分线POE=POF PEOA，PFOBPEO=PFO 又OP=OP POEPOF PE=PF 点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边6. （2011青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题探究1：如