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信息光学原理与计算 信息光学原理与计算 全书习题及参考答案 全书习题及参考答案 第第 1 章章 习题习题 1 1 设 ba 是实常数 试证明 函数下述坐标缩放性质 1 1 t a at 2 1 yx ab byax 参考答案 参考答案 1 按一维 函数的定义 1d xx 令上式atx 有 a tat 1 d 比较以上两式有 1 t a at 2 按二维 函数的定义 yxbyaxab ybyxaxab yyxx yxyx dd dd dd 1dd 即 ab yxbyax 1 dd 因此有 1 yx ab byax 习题习题 1 2 试求余弦函数xxf 0 cos 的傅立叶变换 参考答案 参考答案 设频域坐标为 有 22 1 22 1 exp 2 1 exp 2 1 d2expexpexp 2 1 d2expcoscos 00 00 00 00 xjFxjF xxjxjxj xxjxxF 习题习题 1 3 对于满足圆对称性的光学系统 函数 rgR仅与半径r有关 试证明 1 rgR在极坐标下的博里叶变换为 rrJrrgG R d 2 2 0 0 2 G在极坐标下的博里叶逆变换为 d 2 2 0 0 rJGrg R 以上两式中 0 J为零阶第一类贝塞尔函数 参考答案 参考答案 1 设 rg在直角坐标下对应的函数为 f x y 按照傅里叶变换的定义 在直角坐标下为 yxyxjyxfyxfFdd2exp 令xy 平面上的极坐标为 r 频率空间 平面上的极坐标为 有 cos sin xr yr cos sin 将 cos sin xr yr 代入上面 yxfF 表达式得 rrjrrgG R dsinsincoscos2expd 0 2 0 0 它等价于 dcos2expd 2 00 0 rjrrgrG R 利用贝塞尔恒等式 dcosexp 2 1 2 0 0 jaaJ可将上式化简为 rJrrgGG R d22 0 0 0 2 用与上面完全相同的论证方法 圆对称函数 G的傅里叶逆变换可表示为 d 2 2 0 0 rJGrg R 习题习题 1 4 请结合实际简述 什么是光学系统 什么是线性光学系统 什么是线性不变光学 系统 参考答案参考答案 利用 透镜 反射镜 棱镜 光阑等典型光学元件 或利用光栅 二元光学元件进行光 波变换的系统都称为光学系统 如 望远镜 显微镜 照相机镜头 投影仪镜头等 为典型 的成像光学系统 Fresnel波带板 微透镜阵列 DMD等 为衍射成像光学系统 输出与输入间满足线性叠加关系的光学系统称为线性光学系统 线性光学系统对输入的 作用可以用一个线性算符 L来表示 当 11 gyxfL 22 gyxfL 且 1 a 2 a为常数时 22112211 gagayxfayxfaL 式中 yx 分别表示输入 输出面坐标 理想成像系统 光波在自由空间的传播都具有线性光学系统的性质 输入函数在输入面上的平移仅对应输出函数在输出面上的相应平移 即系统传输特性满 足线性平移不变的光学系统称为线性不变光学系统 用公式可以表示为 2222111122221111 gagayyxxfayyxxfaL 衍射受限系统就是一个线性不变光学系统 习题习题 1 5 在 1 4 中我们学习了 Whittaker Shannon 二维抽样定理 请在理解它的物理意义 的基础上 说明它是不是唯一的抽样定理 如果不是 请你列举并简要介绍其它抽样定 理 参考答案 参考答案 Whittaker Shannon 二维抽样定理的公式描述为 sin 2 sin 2 2222 xy nm xyxy nmnm g x ygcB xcBy BBBB 得到此结果的条件是 空间函数 yxg的频谱是带限的 其带宽为 yx BB22 用了一个传递函数为 2 2 y y x x yx B f B f rectffH 的滤波器从离散函数的频谱中滤出 yx ffG 或者说滤掉 以 yx BB22 为周期进行周期性延拓出的那些频谱成分 空间函数 yxg是在一个矩形栅格的格点上进行抽样的 x 方向的格点距为 x B2 1 y 方 向的格点距为 y B2 1 由此可见 Whittaker Shannon 二维抽样定理并不是唯一的抽样定理 只要改变这两个 条件中的任何一个 就可以导出别的二维抽样定理 例如 用一个传递函数为 B circH 的滤波器来滤波 可导出新的二维抽样定理 其公式描述为 nm B m y B n xB B m y B n xBJ B m B n gyxg 22 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 式中 B 为空间函数 yxg的频谱以极半径的形式描述的频率带限宽 公式推导中用到的博里叶变换关系为 2 1 BrJ r B B circF 第第 2 章章 习题习题 2 1 直角坐标系 oxyz 中 沿 z 轴传播的功率为 P0 半径为 w 的基横模高斯光束在 z 0 平面为强度分布为 2 22 2 0 0 2exp 2 w yx w P yxI 平面波 若光波长为 在 z 0 平面上置 有薄透镜 试写出下面几种不同情况下穿过薄透镜时光波场的复振幅 并按照几何光学近似 说明后续光的焦点或焦线位置 1 穿过焦距为 f 的薄透镜 2 穿过母线在 y 方向焦距为 fx的柱面薄透镜 3 穿过焦距为 f 的球面薄透镜后再穿过母线在 y 方向焦距为 fx的柱面薄透镜 参考答案 参考答案 1 在 z 0 平面的光波复振幅为 2 22 2 0 00 exp 2 w yx w P yxIyxU 令波数 2 k 穿过焦距为 f 的球面薄透镜后光波复振幅即为 22 2 22 2 0 22 0 2 expexp 2 2 exp yx f jk w yx w P yx f jk yxU 后续光的焦点在 f 0 0处 2 2 2 22 2 0 2 0 2 expexp 2 2 exp x f jk w yx w P x f jk yxU xx 后续光的焦线是 x fz 与0 y的交线 3 22 2 22 2 0 222 2 22 2 0 222 0 2 exp 11 2 expexp 2 2 exp 2 expexp 2 2 exp 2 exp y f jk x ff jk w yx w P x f jk yx f jk w yx w P x f jk yx f jk yxU x x x 后续光有两条焦线 其一为 xx ffffz 与0 y的交线 其二为fz 与0 x的交线 习题习题 2 2 习题图 2 1 轴对称傍轴光学系统由焦距 f1 200mm f2 100mm 的两薄透镜构成 各平面间的距离如图所示 若平面 L0的光波复振幅为 yxU 0 光波长 波数 2 k 1 j 令依次到达透镜前方的光波场 U1 x y 及 U2 x y 到达平面 L 的光波 场为 U x y 1 按照菲涅耳衍射公式表示出光波传播到平面 L 时的光波场 2 按照衍射的角谱理论表示出光波传播到平面 L 时的光波场 参考答案 参考答案 1 00 2 0 2 0 0 000 0 0 1 dd 2 exp exp yxyyxx d k jyxU dj kdj yxU 11 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 111 1 1 2 dd 2 exp 2 exp exp yxyyxx d k jyx f jk yxU dj kdj yxU 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 dd 2 exp 2 exp exp yxyyxx d k jyx f jk yxU dj kdj yxU 2 22 00 1 1 1 2 exp yx ffdjyxUFFyxU 22 1 22 1 1 1 2 1 2 exp 2 exp yx ffdjyx f jk yxUFFyxU 22 22 2 2 1 1 2 exp 2 exp yx ffdjyx f jk yxUFFyxU 习题习题 2 3 习题图 2 2 是用 CCD 记录数字全息图的示意图 根据 CCD 记录的数字全息图 用衍射积分重建物平面光波场是数字全息的基本数据处理过程 由于 CCD 面阵尺寸通常甚 小于物体 在物体邻近 CCD 时不满足傍轴近似条件 令物体是边宽为 a 的方形薄板 物体 L0 f1 f2 L z d0 d1 d U0 x y U1 x y U2 x y U x y 习题图习题图 2 1 薄透镜组成的轴对称傍轴光学系统 到 CCD 面阵的距离为 d 光波长为 将物体的四个角点到 CCD 面阵中心传播角谱的相位 畸变小于 1 弧度视为采用傍轴近似的条件 试导出采用菲涅耳近似时 a d 应满足的关 系 参考答案 参考答案 按照题意有 d aa daad 2 2 2 2 2 2 22 22 2 求解得 22 2 2 2 2 22 22 2 d aa daad 习题习题 2 4 柯林斯公式可以简明地计算光波通过轴对称傍轴光学系统的衍射 根据图 X2 1 及习题 2 2 的相关参数定义 试解答下述问题 1 设入平面 L0到输出平面 L 间光学系统的光学矩阵为 DC BA 用柯林斯公式表示出光波 传播到平面 L 时的光波场 2 若 f1 200mm f2 100mm d0 200mm d1 300mm d 100mm 求光学矩阵元素 A B C D 的数值 参考答案 参考答案 1 物体 参考光 分束镜 CCD 习题图习题图 2 2 数字全息记录示意图 1111 222 1 2 1 110 10 dd2 2 exp exp yxyyxxyxDyxA B jk yxU Bj dddjk yxU 2 20 05 0 10 1 1 1 01 10 1 1 1 01 10 1 0 1 1 2 d f d f d DC BA 习题习题 2 5 光学系统的成像研究表明 物平面上点源的像是光学系统出射光瞳在像平面的夫琅和 费衍射图样 试回答下列问题 1 若光学系统的出射光瞳是直径为 D 30mm 的圆孔 像平面到出射光瞳的距离 d 50mm 照明光波长 532nm 求点源像的直径 2 若光学系统的出射光瞳是宽度 D 30mm 的方孔 像平面到出射光瞳的距离 d 50mm 照 明光波长 532nm 求点源像的宽度 参考答案 参考答案 1 令 2 3 7 式中2 Dw 得 2 1 2 2 2 2 J2 4 dkDr dkDr d D rI 1 阶贝塞尔函数的第一个零点满足22 1 2 d kDr 于是点源像的直径 D d r 44 22 将相关 参数代入后得mm D d r 3 1016 244 22 2 根据 2 3 3 式 令坐标原点两侧一个零点间的距离为像点宽度 可得 mm D d x 3 1077 122 习题习题 2 6 习题图 2 3 中 图 a 是直径为 60mm 的圆孔光阑 圆孔上有十字叉丝 在半径 7mm 波长 10 6 m 的基横模 CO2激光垂直照射下 图 b 给出光阑后某距离 d 放置热敏纸采样得到的图 像 由实验测得图 b 所示两衍射条纹极大值间隔 D 3 62mm 试估算衍射距离 d 习题图习题图2 3 光阑及穿过光阑的 CO2 激光经距离 d 后的热敏纸采样图像 参考答案 参考答案 图 X2 3 中 D 表示的是 n 4 的直边衍射亮纹到 n 0 直边衍射亮纹的间隔 按照 2 4 19 式有 2 2 2 11 2 2 1212 nn D d 相关参数代入后得mmd3 279 习题习题 2 7 习题图 2 4 是对一组合反射镜倾角检测的示意图 一束经准直的波长为 10 6 m 的 CO2激光自下而上射向组合反射镜中心 反射镜由四个平面镜构成 反射光被分割为四束光 沿水平方向 图中 z 轴方向 传播 在距反射镜中心距离 d 处平面 xy 上放置热敏纸采样 采 样图像示于图X2 4右侧 实验得四个衍射斑极大值的水平距离为35mm 垂直距离为42mm 距离 d 1358mm 求组合反射镜各镜面的法线方向 参考答案 参考答案 以第二象限光斑对应的反射镜为例给出解题示意图 图中 xy 是接收反射光斑 y 组合反射镜 y z x 激光 d 习题图习题图 2 4 组合反射镜反射面倾角测量示意图组合反射镜反射面倾角测量示意图 的平面 x0y0平面平行于 xy 其原点 O 是 4 面反射镜的交点 设过 O 点的镜面法线为 N 沿 y0轴传播的几何光线由 O 点反射后到达 xy 平面上 P Tx Ty 点 根据解题示意图所示 应求出法线与 y0轴夹角 及法线在 xz 平面上的投影与 z 轴的夹角 按照几何关系有 22 arctan 2 1 45 dT T x y d Tx arctan 由于衍射效应 实验检测到的衍射斑最大值处并不是几何光线的交点 衍射斑最大值到 y 轴的距离为 Tx dx 到 x 轴的距离为 Ty dy 根据 2 4 30 式 有 mmdDdydx24 3 2 2 11 0 max 于是有mmTx26 1424 32 35 mmTy76 1724 32 42 3746 45 135876 17 76 17 arctan 2 1 45 22 6016 0 1358 26 14 arctan 习题习题 2 8 根据矩形孔衍射公式 2 4 13 的讨论回答下列问题 1 写出方孔在第 1 象限且方孔两边分别与坐标轴相重合时的表达式 y0 y x0 O P Tx Ty 2 d x N P0 z 解题示意图解题示意图 2 基于 1 的结果 写出方孔边长无限大的衍射图像强度表达式 参考答案 参考答案 1 将 2 4 13 式的坐标原点平移到 yx ww 得 2 12 2 12 2 12 2 12 2 4 1 SSCC SSCC wywxUyxI yx 其中 xw d x 2 2 1 x d 2 2 yw d y 2 2 1 y d 2 2 2 基于上结果 当 yx ww 时有 2 1 1111 SCSC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 12 1 4 1 SC SC wywxUyxI yx 习题习题 2 9 用菲涅耳衍射积分解答下列问题 1 写出波面半径为 R 的发散球面波穿过边长为 w 的方孔光阑后经距离 d 的菲涅耳衍射表达 式 2 合并表达式中的二次相位因子 对衍射积分进行化简 根据化简结果讨论衍射图像与平 面波穿过另一尺寸等效方孔后在另一等效距离衍射图像的相似性 参考答案 参考答案 1 00 2 0 2 0000 dd 2 exp exp yxyyxx d k j yxU dj kdj yxU 其中 2 0 2 0 00 000 2 exp rect yx R k j w y w x yxU 2 00 2 0 2 0 00 22 dd 2 exp rect 1 2 1 1 exp exp yxyyxx dM k j Mw y Mw x M d yx M jk dMj kdj yxU 其中 1 R d M 衍射场是照明光振幅下降 倍 孔径放大 M 倍后经距离 的菲涅耳衍射 第第 3 章章 习题习题 3 1 设物光场取样数为 N N 512 512 取样间隔为 5 m 光波长 532nm 若沿光传 播方向进行距离 d 1000mm 的衍射计算 试回答下列问题 1 用菲涅耳衍射积分的一次 FFT 计算时衍射平面的宽度 L 2 用菲涅耳衍射积分的离散卷积计算时衍射平面的宽度 L 3 用菲涅耳衍射积分 基尔霍夫公式 瑞利 索末菲公式以及角谱衍射公式作离散卷积计 算时 所得衍射平面的宽度是否相同 为什么 4 通过对初始光场周围补零操作 形成 1024 1024 点的物光场后 分别给出菲涅耳衍射 积分的一次 FFT 计算及卷积计算时衍射平面的宽度 参考答案 参考答案 1 设初始光波场宽度为 L0 计算后的衍射场宽度是 mmNLdLdNL 4 106005 0 1000000532 0 00 2 mmLL56 2005 0512 0 3 相同 因卷积计算时计算结果平面宽度始终与初始平面宽度一致 4 由于初始平面取样宽度未变 一次 FFT 计算后的宽度仍然是 mmNLdL 4 106005 0 1000000532 0 0 但卷积计算时宽度变为 5 12mm 习题习题 3 2 基尔霍夫公式及瑞利 索末菲公式均能表示为卷积形式 能够使用 FFT 进行计算 由于所对应的传递函数只能表示为傅里叶变换 在进行衍射计算时 必须通过 FFT 获得传 递函数的数值解 1 试按照 3 2 6 式的讨论方法 分别导出这两个传递函数的取样条件 2 若光波长 532nm 初始屏为宽度 L0 10mm 的方形 试分别给出 d 184mm d 367mm d 734mm 时使用基尔霍夫传递函数及瑞利 索末菲传递函数进行衍射计算时的取样数 N 参考答案 参考答案 1 基尔霍夫衍射传递函数为 dyxd yxd j yxdjk ffH yxJ 222 222 222 2 exp F 1 因此 衍射的基尔霍夫公式可以用传递函数表为 yxJ ffHyxUyxU 0 1 FF 2 依照 3 2 6 式的讨论方法 正确的离散运算主要应考虑基尔霍夫传递函数的取样 分析 1 式知 222 expyxdjk 的空间变化率远高于 222 222 2yxd j dyxd 的空间 变化率 只要 222 expyxdjk 的取样满足取样定理 整个被变换函数的取样将近似满 足取样定理 令初始平面取样间隔为 x0 可以由下不等式确定满足奈奎斯特取样定理的条 件 0 2 222 2 xyxd x Lyx 3 令观测平面宽度为 L 求解得 L Ld x 2 22 0 4 于是 4 式成为基尔霍夫公式的 D FFT 算法满足取样定理的条件 分析上式可知 若衍射距离 d 甚小 并满足2 22 Ld 上式简化为 2 0 x 这个 结论表明 当衍射距离较小时 使用基尔霍夫传递函数计算衍射的取样宽度要接近波长量级 才能满足取样定理 这对于实际数值计算将形成极大困难 因此 通常不能用基尔霍夫公式 的 D FFT 方法计算近场衍射 衍射的瑞利 索末菲公式可以表为 yxR ffHyxUyxU 0 1 FF 5 式中 222 222 exp yxdj yxdjk dffH yxR F 6 是瑞利 索末菲传递函数 依照上面对基尔霍夫公式 D FFT 计算进行的讨论 正确的离散运算主要应考虑函数 222 expyxdjk 的取样 即瑞利 索末菲公式的 D FFT 计算满足取样定理的条件与基 尔霍夫公式的条件 4 完全一致 当衍射距离较小时 使用瑞利 索末菲公式的 D FFT 射的取样宽度也将接近波长量级 因此 通常也不能用瑞利 索末菲公式的 D FFT 方法计算近场衍射 2 根据条件 4 有 L Ld N L2 22 0 即 2 22 0 Ld LL N 由于 L L0 则有 d 184mm N 1021 d 367mm N 512 d 734mm N 256 习题习题 3 3 参照本章对衍射积分作 S FFT 计算时应满足取样定理的研究方法 导出柯林斯公 式 2 5 12 用 S FFT 方法计算时满足取样定理的条件 参考答案 参考答案 2 5 12 式如下 1111 222 1 2 1 111 dd2 2 exp exp yxyyxxyxDyxA B jk yxU Bj jkL yxU 1 将 1 式中轴上光程 L 用 d 代替 柯林斯公式可用傅里叶变换表示为 B y f B x f yx yxA B jk yxU yxD B jk Bj jkd yxU 2 0 2 0000 22 2 exp 2 exp exp F 2 即柯林斯衍射积分的计算过程 可以视为是输入信号和二次相位因子乘积的傅里叶变 换 但傅里叶变换结果还要再乘以一个二次相位因子 令 L0 L 分别是使用 FFT 计算时入射平面及出射平面光波场的空域宽度 取样数为 N N 按照离散傅里叶变换理论 离散变换后其频域宽度为 N L0 于是有 0 L N B L 或者 BNLL 0 3 由于B LN L 0 1 是离散变换计算结果的空域取样单位 可得到 3 取样后的表达式 22 2 2 000 0 22 2 0 00 exp exp exp nm BN AL j N L n N L mUFFTqp L BD j Bj jkd L B q L B pU 4 12 12 2 NNNnmqp 通常情况下 物函数U0的最高空间频率小于二次相位因子的最高频率 如何对指数相位 因子适当取样 让其满足奈奎斯特取样条件是需要解决的问题 由于在区域边界对应于 N 2 点离散取样以及二次相位的最大变化 按照本章对菲涅耳衍射的S FFT计算满足取样定理的 讨论 边界处相邻取样点引起的相位变化应小于 即二次相位因子取样应满足 2 22 2 2 0 Nnm nm BN AL m 5 求解得 N LA B 2 0 6 该式可以作为S FFT变换法正确获得衍射场强度分布计算的条件 为让整个计算结果是满足 取样定理的衍射场离散值 式 4 中FFT前方的二次相位因子的取样也应满足 2 22 2 0 Nqp qp L BD p 7 求解后有 DN L B 2 0 8 综合 6 8 两式得 DL NB A 1 2 0 9 9 式给出柯林斯公式的S FFT计算满足奈奎斯特取样条件时各量之间的关系 现在再考查S FFT计算时衍射场的空域宽度问题 根据 3 式BNLL 0 当给定ABCD 系统输入平面宽度L0时 对于有限的取样数N 若B趋近于0 则计算结果的取样区域宽度L 将趋近于0 反之 输出衍射场范围L随B增加而线性展宽 鉴于B趋近于0对应于输出平面趋 于物平面或像平面 S FFT算法将难于计算近场或邻近ABCD系统像平面的衍射场 习题习题 3 4 柯林斯公式存在逆运算式 yxyyxxyxAyxD B jk yxU Bj jkd yxU dd2 2 exp exp 00 2 0 2 0 22 000 式中 1 j d 为 ABCD 光学系统的轴上光程 k 2 为光波长 逆运算式在二元光 学及数字全息研究中具有重要意义 试讨论柯林斯公式逆运算式的 S FFT 算法满足取样定理应 该遵从的条件 参考答案 参考答案 根据 3 3 题对柯林斯公式满足取样定理的类似讨论不难得到 柯林斯公式逆运算的 S FFT 计算满足奈奎斯特取样的条件是 AL NB D 1 2 第第 4 章章 习题习题 4 1 本书图 4 2 2 的衍射受限成像实验系统中 透镜前方的矩形孔是孔径光阑 1 试说明为什么透镜平面为系统的像方主面 2 若孔径光阑的是宽度为 4mm 的方孔 求系统的出射光瞳位置及尺寸 3 令光波长为 频域坐标为 fx fy 写出该光学系统的相干传递函数 参考答案 参考答案 图 4 2 2 重绘如下 y0 x0y0 透镜光阑 xy 0 x0 0 H z d1 60mm 2f 2f 物面光阑 图图 4 2 2 衍射受限成像实验衍射受限成像实验 图中相关参数为 d1 10mm mmf127 H 4mm 1 平行于光轴的光线穿过光阑后将经透镜聚焦于光轴上的焦点 将透镜视为薄透镜 由焦 点反向延长的光线将与原入射光线交于透镜平面 因此 透镜平面为系统的像方主面 2 系统的出射光瞳是孔径光阑通过透镜在像空间所成之像 按照透镜定理 i ddf 111 1 求解得 mm fd fd di85 10 1 1 因此 出射光瞳在透镜左侧 10 85mm 处 出射光瞳变为mmddmmD i 85 10 10 1 宽 的方形孔 3 4 3 4 式中 piip ddd 表示出射光瞳到像面的距离 按照图 4 2 2 及上面的计算结果 mmmmfdip85 25485 102 由出射光瞳 D y D x yxP rect 表示出衍射受限成 像系统的相干传递函数即为 D fd D fd ffH yipxip yxC rect 习题习题 4 2 习题图 4 1 是由两面凸透镜 L1 L3及一面凹透镜 L2组成的变焦系统 平面 P0 Pi是 系统的共轭像面 设 L1 L2 L3的焦距分别是 f1 f2 f3 将 P0 Pi视为是一轴对称 ABCD 系统的 输入及输出平面 1 按照图 X4 1 写出系统的 ABCD 光学矩阵 计算式 2 试求 A B C D 的表达式 3 当 P0 Pi是系统的共轭像面时 根据矩阵光学理论 B 0 试求 di的表达式 4 当穿过 P0的光波是平行于光轴的平面波时 若到达 Pi的也是平行于光轴的平面波 根据 矩阵光学理论 矩阵元素 C 0 试写出各透镜焦距与图 X4 1 中 d1 d2的关系式 参考答案 参考答案 1 10 1 1 1 01 10 1 1 1 01 10 1 1 1 01 10 1 0 1 1 2 2 3 d f d f d f d DC BA i 2 进行上矩阵运算可得 1021203231010 121232311 10212032210103 1212322113 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 fdfdfdfdffdddD ffdffdffdC fdfdfdfdddfdddfdB ffdffdddfdfdA ii ii 3 令 B 0 可得 1021203231010 21021201010 1 1 1 1 1 1 1 fdfdfdfdffddd dfdfdfdfddd di 4 令 C 0 可得 121232311 1 1 1 1ffdffdffd 习题习题 4 3 在出射光瞳较大的前提下 脉冲响应 4 2 7 或 4 2 9 式可简化为 4 3 1 式 在简化 P0 L1 L2 L3 Pi d0 d1 d2 di 习题图习题图 4 1 变焦系统变焦系统 过程中 将脉冲响应中对应的相位因子 i aa Ad yx jk 2 exp 22 由 2 exp 22 i Ad yx jk代替 由于 Axa Aya 而 是物平面坐标 试问 1 物面上半径多大时 相位因子 i aa Ad yx jk 2 exp 22 相对于它在原点之值正好改变 弧度 2 设光瞳函数是一个半径为 a 的圆 在像平面上相应的脉冲响应的第一个零点的半径 0 r是 多大 参考答案 参考答案 1 将 Axa Aya 以及 0 ddA i 代入 i aa Ad yx jk 2 exp 22 得 0 22 0 22 exp 2 exp d j d jk 由于物平 面原点的 相位为零 于是与 原点相位 差为 的条 件是1 0 22 d 即 00 22 dr 2 根据 4 2 8 及 4 2 9 式 出射光瞳为 yxP 的衍射受限成像系统的脉冲响应为 AyAxh d jkA d yx jkjkLAyxh p ii i 2 exp 2 expexp 2222 其中 yxyxyipxipp uuyuxujududPyxhdd 2exp 由于脉冲响应的强度分布取决于 yxhp 将 22 22 circcirc a y a x a yx yxP代入 yxhp 得 yxyx yipxip p uuyuxuj a ud a ud yxhdd 2expcirc 22 利用第一章表 1 2 1 及相似性定理得 22 22 1 2 2 ipip ipip ip p d ay d ax d ay d ax J d a yxh 1阶 贝 塞 尔 函 数 的 第 一 个 零 点 满 足22 12 22 ipip d ay d ax 由 此 求 得 a d ryx ip 61 0 0 22 式中 ip d是出射光瞳到像平面的距离 习题习题 4 4 为什么在0 yx ff处光学传递函数的值均为 1 如果光学系统真正实现了点物 成像 这时的光学传递函数是怎样的形式 参考答案 参考答案 根据 4 4 16 式 令0 yx ff则有 1 dd dd 0 0 2 C CC O H HH H 对于理想成像 系统的出射瞳无限大 其相干传递函数为 1 yipxipyxC fdfdPffH 代入光学传递函数式 4 4 16 得 1 dd dd 2 C yxCC yxO H ffHH ffH 即系统对于任意频率均能完美传输 习题习题 4 5 若非相干成像系统的出射光瞳是由大量随机分布的小圆孔构成 小圆孔直径均为 2a 出瞳到像面的距离为 dip 光波长为 试证明这种系统可以实现非相干低通滤波 试讨 论系统的截止频率近似值 参考答案 参考答案 光学传递函数式 4 4 16 式为 dd dd 2 C yxCC yxO H ffHH ffH 其中 ipipC ddPH 代表随机排列的小圆孔 在进行相关运算时 无论从 哪一个方向移动出瞳计算重叠面积 其结果都一样 即系统的截止频率在任意方向均相同 为近似估计其数值 可以只考虑小孔自身的重叠 这时 N 个小孔的重叠面积除 N 个小孔 的总面积与单一小圆孔的重叠情况一致 根据 4 4 31 式 截止频率即 ip da 2 由于 2a 很 小 系统实现了低通滤波 第第 5 章章 习题习题 5 1 习题图 5 1 是杨氏双缝实验的 示意图 作为光源的单缝宽度为 a 1 证明 用光强均匀的准单色光照明时 P1和 P2点的 12 0 是一个 sinc 函数 2 若 a 0 1mm z 1m d 3mm 求观察 屏上干涉条纹的可见度 取光源的中心波 长 600nm 3 要保证观察屏上的可见度为 0 41 在 z 和 d 不变的情况下 光源的宽度应为多少 参考答案 参考答案 1 sinc z d a 2 0 637 3 0 1338mm 习题习题 5 2 已知太阳到地球的距离约 1 49 1011m 太阳的直径约 1 39 109m 若将太阳视为光 强均匀的准单色光圆盘形光源 平均波长取 550nm 问 1 要想用太阳光照射杨氏双缝 获得可见度不小于 0 88 的干涉条纹 双缝的间距不能大于 多少 2 双缝的间距大约等于多少时条纹消失 参考答案 参考答案 a z d 观 察 屏 P1 P2 习题图习题图 5 1 1 0 0188mm 2 0 0719mm 习题习题 5 3 用迈克尔逊恒星干涉仪测量距离地球 2 光年的一颗恒星的直径 当反射镜之间的 距离调整到 6m 时 干涉条纹消失 求这颗星的直径 平均波长 550nm 参考答案 参考答案 约 2 12 106km 第第 6 章章 习题习题 6 1 在图 6 1 2 的光学系统中 如果物的振幅透过率为 oooo uxyt x 其中函数 o t x如图习题 6 1 所示 4ab 在焦平面放置一个滤波器 挡住光轴中心的光 斑 其余成分全部通过 试推导像平面光强分布 并画出像的强度分布 参考答案 参考答案 由题意 物的振幅透过率 4 5ab db d为光栅常数 0 5 rect 4 ooo m xmb uxy b 根据公式 6 1 11 挡住零频分量 像平面光波场振幅为 54 rect 45 5 rect0 8 4 i ii m i m xmb u x b xmb b 可见在一个光栅周期内 物透光对应点 振幅正比于 0 2 强度正比于 0 04 为暗区 物不 透光对应点 振幅正比于 0 8 强度正比于 0 64 为亮区 则相对物 像对比度反转 如图 下图所示 o x o t x 1 ba 图习题 6 1 习题习题 6 2 在泽尼克相衬显微镜中 焦平面上变相板或多或少对光有吸收 设强度透过率为 01 试求观测到的像强度的表达式 参考答案 参考答案 根据题意 振幅透过率为 对正相衬 根据公式 7 3 3 像平面强度分布 2 2 2 j iiiii Iejxyxy 对负相衬 根据公式 7 3 4 像平面强度分布 2 3 2 2 j iiiii Iejxyxy 因为1 像强度变化的衬度得到改善 习题习题 6 3 在图 6 2 2 的光学成像系统中 用平行相干光照射物体 设物体是一个相位型物体 其振幅透过率为 oo jxy ooo uxye 在系统的后焦平面上放置一块厚度均匀的强度透过率为 4224 2h x yxx yy 的衰减板 试找出像强度与物的相位的关系 参考答案 参考答案 根据题意 衰减板的振幅透过率为 422422 2x yxx yyxy 又可以写为 i x i I x ba 22 2222 xy x yxy fff 其中 xy xy ff ff 是光的波长 f 为 4f 系统透镜的焦距 像平面光场振幅为 1 2222 1 22 11 jx y iiixy jx y xy u xyFF efff ff FF eff 利用下面傅里叶变换性质 22 222 22 4 xy FG x yffF G x y xy 有 1 22 22 222 22 22 222 4 4 ii ii jx y iiixy jxy ii jxy iiii ii iiii u xyFF eff e xy xyxy ejxy xyxy 因此像平面光场强度为 2 2 22 22 2 422 16 iiii iiiiii iiii xyxy Iu xyxy xyxy 习题习题 6 4 证明公式 6 4 18 2 1 22 jf a MjfaMjf 参考答案 参考答案 根据定义式 7 4 15 有 21 1 0 2d jf Mjff 1 21 0 2d jf a Mjff a 2 在 2 中 令a 则 d d aa 则 2 可变为 21 0 2 21 0 2 1 d 2 1 2 jf a jf jf jf Mjff aa fd a aMjf 即 2 1 22 jf a MjfaMjf 第第7章章 习题习题 7 1 在习题图 7 1 光路中 参考光束R和物光束O均为平行光 对称地倾斜入射在 记录介质平面H上 即 RO 二者的夹角为 O 2 习题图习题图 7 1 1 取坐标如习题图 7 1 所示 试分别写出参考光束R和物光束O在记录介质平面H上 的相位分布函数 y R 和 y O 2 说明全息图上干涉条纹的形状 3 当记录光波长为nm8 632 参物光夹角分别为 0 60 和 0 1 时 试计算 条纹间距分别为多少 4 若全息记录干版的感光层为m 8 折射率为52 1 n 分辨率为mm 3000条 试 说明 当参物光夹角 0 60 时 用此记录干版能否匹配 能否形成体积全息图 5 采用与记录时同样波长 同方向的再现光照射这张全息图 试分析零级 1 级和1 级衍射光的特征 并作图表示 参考答案 参考答案 1 记录介质平面H上的相位分布函数 y R 和 y O 分别为 000 2 sin 22 sin 2 RRRRR yyrky 00 2 sin 2 OOOO yrky 式中 0R 与 0O 别为参考光和物光在坐标原点处的初相 2 采用表达式 j expRecos的复数表达形式 则参考光和物光在记录平面上的 复振幅分布可分别表示为 00000 2 sin 2expexpexp RRRRR yjRrkjRyjRyu 0000 2 sin 2expexpexp OOOOO yOrkjOyjyu 它们形成的干涉条纹强度分布为 0000 2 0 2 0 2 sin2 sin 2cos2 OR yROROyI 00 2 0 2 0 00 2 0 2 0 2 sin2 2cos 2 1 OR y RO RO RO 000 2cos1 OR fyVI 故全息图上干涉条纹为平行于x轴的 明暗相间的 等距直条纹族 在y轴方向按余弦型式 而变化 沿x轴方向则为等强度分布 没有变化 条纹的能见度为 2 0 2 0 00 2 RO RO V 平均 光强为 2 0 2 00 ROI 条纹的空间频率为 O y ff sin22 sin2 条纹间距为 O f y sin22 sin2 1 3 当记录波长为 nm8 632 参物光夹角为 0 60 时 m m y 6328 0 30sin2 6328 0 2 sin2 0 当记录波长为nm8 632 参物光夹角为 0 1 时 m m y 3 36 5 0sin2 6328 0 2 sin2 0 两者相差约 57 倍 4 全息记录干版的感光层厚度为m 8 折射率为52 1 n 分辨率为mm 3000条 当 参物光夹角 0 60 时 若采用可见光的最长波长nm780所来记录 所形成的干涉条纹的 空间频率为 mmmyf 1128278 0 1 2 sin2 1 若采用可见光的最短波长nm390所形成的干涉条纹的空间频率为 mmmyf 1256439 0 1 2 sin2 1 前者是可见光所形成的干涉条纹的最低空间频率 后者是可见光所形成的干涉条纹的最高空 间频率 因此 只要所选取的激光波长在可见光范围 这种全息记录干版都能满足参物光夹 角 0 60 情况下拍摄体积全息图的要求 或 根据克林 Klein 提出的参量Q来计算 对于可见光的最长的波长我们有 42 78 052 1 82 2 sin 82 2 0 2 0 nnd Q 对于可见光的最短波长nm390我们有 85 39 052 1 82 2 sin 82 2 0 2 0 nnd Q 两种情况下都满足满足Q10 的要求 故都可以形成体积全息图 譬如 若采用常用的氦氖激光器记录 所形成的干涉条纹的空间频率为 mmmyf 115806328 0 1 2 sin2 1 若采用氩离子激光器 用其较短的波长 458nm 的谱线记录所形成的干涉条纹的空间频率为 mmmyf 12183458 0 1 2 sin2 1 均大于其所形成的干涉条纹的空间频率 因此用它能够匹配 能够形成一张透射型体积全息 图 但如果要制作反射型体积全息图却还不行 这时 参物光将从记录干板的两侧射入乳胶 譬如 当参物光夹角 0 180 时 以上述两种不同波长激光拍摄为例 它们形成的干涉条 纹的空间频率分别为 氦氖激光器 mm m n yf 14804 6328 0 90sin52 122 sin22 sin2 1 0 0 氩离子激光器 mm m n yf 16229 488 0 90sin52 122 sin22 sin2 1 0 0 它们的空间频率都大于这种全息记录干版的分辨率 故不能用它拍摄反射型体积全息图 在可见光范围 即使采用最长的波长nm780所来记录 所形成的干涉条纹的空间频率为 mm m n yf 13897 78 0 90sin52 122 sin22 sin2 1 0 0 也都超过了记录干版的分辨率 故在可见光范围 是不能用它拍摄反射型体积全息图的 5 在上题中若制作的全息图是相位型的 在线性处理的情况下 只考虑零级和正负一级衍 射时 其复振幅透射率可表示为 yxt cos2 10 jJJK 2 sin2 2exp 2 sin2 2exp 0010010 OR O OR O jJjJJK 式中 00 expexpEjbjbK b 采用与记录时同样波长 同方向的再现光照射这张全息图时 其1 级衍射光为 2 2 sin2 2exp 2 sin 2exp 001001 ORR jKJjRU 0000001 sin 2exp 2 exp O O jOEjORbJ 即1 级衍射光仍为平行光 与z轴夹角为 2 O 沿物光原来方向传播 其振幅比原 来物光衰减了 001 ORbJ 相位延迟了 2 00 E 其1 级衍射光为 2 2 sin2 2exp 2 sin 2exp 001001 ORR jKJjRU 2 2 sin3 2expexp 000010 OR O jEjJbR 00 1 0010 2 sin 2exp 2 exp OR jEjJbR O sin3sin 1 或 O sin3sin 1 1 即1 级衍射光也是平行光 与z轴夹角 1 为负值 其绝对值比参考光与z轴夹角的绝对值 0 还大 故与1 级衍射光分别在原参考光的两侧 其振幅与1 级衍射光一样 将1 级衍射光表示为 000000101 sin 2exp2 sin2 2exp 2 exp O O R O jOjEjOJbRU 可见 1 级衍射光是物光的共轭光 下图是正负一级衍射光的示意图 习题习题 7 2 在上题中改用正入射的平面波再现 1 级和1 级衍射光各发生什么变化 参考答案 参考答案 在上题中若制作的全息图仍是相位型的 当以振幅为 A 的平面波正入射再现时 其1 级衍射光为 2 sin 2exp 2 sin2 2exp 00 1 10011 OROR O jAKJjAKJU O sin2sin 1 或 O sin2sin 1 1 正入射平面波再现的1 级衍射光的方向与全息图法线的夹角为 O sin2sin 1 1 与原参考光再现相比较 正入射再现的1 级衍射光增大了 OO sin2sin 1 1 譬如 若 0 10 O 则 011 1 3 20347296 0sinsin2sin O 比用原参考光再现时增大了约 0 1 3 10 正入射平面波再现的1 级衍射光为 2 sin2 2exp 0011 OR O jAKJU 2 sin 2exp 00 1 1 OR jAKJ O sin2sin 1 或 O sin2sin 1 1 正入射平面波再现的1 级衍射光与全息图法线的夹角为 O sin2sin 1 1 故 O sin2sin 1 11 即正负一级衍射角对于z轴是对称的 在正入射平面波再现的情况下 也比用原参考光再现时增大 因为是负值 故绝对值减小 与原参考光再现相比较 正入射再现的1 级衍射光绝对值减小了 OO sin2sinsin3sin 11 1 譬如 若 0 10 O 则 01011 1 4 3152094 0sin10sin3sinsin3sin O 而 01 3 20sin2sin O 故 011 1 1 11sin2sinsin3sin OO 与原参考光再现相比较 正入射再现的1 级衍射光绝对值减小了约 0 1 11 若角度不大时 我们有 sin 于是以上结果可简化为 OOO sin2sin 1 1 OOO 2sin3sin 11 1 习题习题 7 3 如习题图 7 2 光路所示 参考光束R是正入射的平行光 物光是位于轴外 坐标 为 OO zy 0的点光源O发出的球面波 记录并经过线性处理后所得的全息图 用坐标为 O z 0 0的轴上点光源 R再现 如习题图 7 3 所示 试求1 和1 级两像点的位置 习题图习题图7 2 习题图习题图7 3 参考答案 参考答案 在记录平面上参考光和物光的复振幅分布 R u和 O u分别为 y z y jkyx z jk Au O O O OO exp 2 exp 22 constAu RR 记录平面上的光强分布为 y z y jkyx z jk AA y z y jkyx z jk AAAAI O O O R O O O OROR exp 2 exp exp 2 exp 22 0 22 22 在线性记录情况下得到的全息图的振幅透射率函数可表示为 4 项 4321 ttttt 其中 对应原始像和共轭像的两项分别为 y z y jkyx z jk AAt O O O RO exp 2 exp 22 3 y z y jkyx z jk AAt O O O RO exp 2 exp 22 4 再现时 作为照明光的 坐标为 O z 0 0的轴上点光源 R在全息图上的复振幅分布为 2 exp 2