推理与证明解答题含答案.pdf

推理与证明推理与证明 1 1 用反证法证明 在一个三角形中 至少有一个内角大于或等于60 2 已知试用分析法证明 2 2 2 用三段论证明 直角三角形两锐角之和为 3 3 某少数民族的刺绣有着悠久的历史 下图 1 2 3 4 为她们刺绣最简单的四个图案 这些图案都由小正方形构成 小正方形数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律刺绣 小正方形的摆放 规律相同 设第n个图形包含f n 个小正方形 1 求出 并猜测的表达式 2 求证 4 4 数列的前项和满足 1 计算的值 2 猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明 5 5 本小题满分13分 已知正项数列 an 的首项 a1 函数 f x g x 1 若正项数列 an 满足 an 1 f an n N 证明 是等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 若正项数列 an 满足 an 1 f an n N 数列 bn 满足 bn 证明 b1 b2 bn0 因为 1 0 显然成立 所以原命题成立 考点 反证法 点评 反证法的步骤是 1 假设结论不成立 2 从假设出发推出矛盾 3 假设不成立 则结论成立 在假设结论不成立时 要注意考虑结论的反面所有可能的情况 如果只有一种 那 么否定一种就可以了 如果有多种情况 则必须一一否定 2 解析 证明 设直角三角形两个锐角分别为 则有 因为等量减等量差相等 大前提 所以 小前提 所以 结论 考点 本题主要考查演绎推理的意义 三段论 推理一般形式 点评 三段论 是演绎推理的一般形式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究 的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 3 解析 1 f 1 1 f 2 5 f 3 13 f 4 25 f 5 25 4 4 41 2 f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 f 5 f 4 16 4 4 由上式规律得出f n 1 f n 4n f n f n 1 4 n 1 f n 1 f n 2 4 n 2 f n 2 f n 3 4 n 3 f 2 f 1 4 1 f n f 1 4 n 1 n 2 2 1 2 n 1 n f n 2n 2 2n 1 n 2 又n 1 时 f 1 也适合f n f n 2n 2 2n 1 3 当n 2 时 1 1 4 解 1 4 分 2 猜想证明如下 5 分 当时 成立 6 分 假设当时成立 即 则当时 8 分 所以 所以时结论也成立 10 分 由 知 对任意的 都成立 5 证明 1 an 1 f an 1 即 1 是以 2 为首项 1 为公差的等差数列 2 n 1 即 an 3 分 2 证明 an 1 an 0 即 1 当 n 2 时 n 1 n 1 an 当 n 1 时 上式也成立 an n N bn b1 b2 bn 1 1 0 又 an 1 an 由迭代关系可知 an 1 an 0 an a1 又 2 an 2 an 1 2 2 an 1 5 4an 1 7 13 分 6 解析 1 证明 构造函数 则 因为对一切 恒有 所以 故得 2 推广 若 则 证明 构造函数 则 因为对一切 恒有 所以 故得 7 证明 假设都不小于 2 则2 分 因为 所以 即 5 分 这与已知相矛盾 故假设不成立 综上中至少有一个小于 2 8 解析 假设都是非负数 因为 所以 又 所以 这与已知矛盾 所以中至少有一个是负数 10 1 当且仅当时取等号 4 分 2 证明 数学归纳法 当时 显然成立 假设当时成立 即 6 分 当时 左边 右 边 即当时 也成立 10 分 由知 成立 12 分 3 存在 13 分 可取 16 分 注 答案不唯一 11 解析 第一问中 利用因为 则 第二问 若 则的 则存在使得 与矛盾 运用反证法得到结论 解 1 因为 则 6 分 2 若 则的 则存在使得 与矛盾 所以假设不成立 原命题为 真 8 分 12 1 证明 又 故 6 分 2 证明 假设结论不成立 又 则假设或 7 分 若 又 则 与已知条件矛盾 故不成立 9 分 若 又 则 与已知条件矛盾 故不成立 11 分 由 可知或不成立 则假设不成立 故原命题成立 即 13 答案 解 分别令 2 3 得 证法一 猜想 由 可知 当 2时 得 即 1 当时 2 假设当 2 时 那么当时 2 这就是说 当时也成立 2 显然时 也适合 故对于n N 均有 要证 只要证 即 将代入 得 w w w k s 5 u c o m 即要证 即 1 且 即 故 1成立 所以原不等式成立 14 解析 I 证明 由及可归纳证明 从而有所以 当成立 II 证法一 当 所以故当 证法二 当 所以故当 15 解析 I 由于函数定义 对任意整数 有 II 函数在 R 上可导 令 得 若 则 这与矛盾 所以 当时 由于函数的图象和函数的图象知 有解 当时 II 证明 由函数的图象和函数的图象知 对于任意整数 在开区间 内方程只有一个根 当时 当时 而在区间 内 要么恒正 要么恒负 因此时的符号与时的符号相反 综合以上 得 的每一个根都是的极值点 由得 当时 即对于时 综合 对于任意 由 和 得 又 但时 综合 得 16 解析 1 证明 Sn 1 4an 2 Sn 2 4an 1 2 两式相减 得 Sn 2 Sn 1 4an 1 4an n 1 2 即 an 2 4an 1 4an 变形得 an 2 2an 1 2 an 1 2an bn an 1 2an n 1 2 bn 1 2bn 由此可知 数列 bn 是公比为2的等比数列 2 证明 由 S2 a1 a2 4a1 2 a1 1 得 a2 5 b1 a2 2a1 3 故 bn 3 2 n 1 cn n 1 2 cn 1 cn 将 bn 3 2 n 1代入得 cn 1 cn n 1 2 由此可知 数列 cn 是公差为的等差数列 它的首项 c1 故 cn n n 1 2 3 解 cn n 3n 1 an 2 n c n 3n 1 2 n 2 n 1 2 当 n 2时 Sn 4an 1 2 3n 4 2 n 1 2 由于 S1 a1 1也适合于此公式 所以 an 的前 n 项和公式为 Sn 3n 4 2 n 1 2 17 试题解析 1 定义域为 在上是增函数 2 因为 因为若存在单调递减区间 所以有正数解 即有的解 当时 明显成立 当时 开口向下的抛物线 总有的 解 当时 开口向上的抛物线 即方程有正根 因为 所以方程有两正根 当时 4分 解得 综合 知 9分 3 法一 根据 的结论 当时 即 令 则有 15分 法二 当时 即时命题成立 设当时 命题成立 即 时 根据 的结论 当时 即 令 则有 则有 即时命题也成立 因此 由数学归纳法可知不等式成立 15分 18 解析 1 又 2 猜想下面用数学归纳法证明 1 当 n 1时 猜想正确 2 假设当 n k 时 猜想正确 即 那么 n k 1时 由 猜想也成了 综上知 对一切自然数 n 均成立 考点 本题主要考查归纳 猜想 证明的推理方法 数学归纳法 点评 利用数学归纳法证明问题 要注意其步骤规范 做好做好 两步一结两步一结 19 试题解析 当时 所以 由 猜想 下面证明 1 易知时成立 2 假设时 则时 其中 为时可能的个数的乘积的和为 即时也成立 综合 1 2 知对 成立 所以 20 解析 1 由 从而证明是等差数列 2 在 1 的基础上 可先求出的通项公式 再根据求出的通项公式 3 先求出 下面解题的关键是确定 然后再考虑数学归纳法进行证明即可 1 为等差数列 2 由 1 从而 3 当时 不等式的左边 7 不等式成立 高考资源网版权所有当时 故只要证 如下用数学归纳法给予证明 当时 时 不等式成立 假设当时 成立 当时 只需证 即证 令 则不等式可化为 即 令 则 在上是减函数 又在上连续 故 当时 有 当时 所证不等式对的一切自然数均成立 综上所述 成立 21 解析 I 用数学归纳法证明 第一步 先验证 当 n 1时 不等式成立 第二步 先假设 n k 时 结论成立 再证明当 n k 1时 不等式也成立 在证明时 一定要用上 n k 时的归纳假设 II 解决本小题的关键是根据 从而可得 用数学归纳法证明 当时 成立 假设时结论成立 即 则 即 时结论也成立 综上 对一切的 成立 当时 与矛盾 故 1 1 22 解析 解 1 记 则 4分 2 设 则原展开式变为 则 所以 6分 当时 结论成立 假设时成立 即 那么时 结论成立 9分 所以当时 10分 23 解析 本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用 以及归纳猜想思想的运用 并运用数学 归纳法加以证明的综合运用 首先先分析前几项 然后发现规律得到通项公式 分两步进行证明 1 4分 猜想 6分 2 证明 i 当时 猜想成立 8分 ii 假设当时 猜想成立 即 那么 当时 这说明当时 猜想也成立 由 i ii 知 对 12分 2