北京市西城区2020届高三上学期期末考试 数学 含答案.pdf

北京市西城区2 0 1 9 2 0 2 0学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1 页 共5页 北京市西城区2 0 1 9 2 0 2 0学年度第一学期期末试卷 高三数学 2 0 2 0 1 本试卷共5页 共1 5 0分 考试时长1 2 0分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试 卷上作答无效 第 卷 选择题 共4 0分 一 选择题 本大题共8小题 每小题5分 共4 0分 在每小题列出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 设集合A x xy 且 x y 0 则下列不等式中一定成立的是 A 1 x 1 y B l n x l n y C 2 x y 2 5 已知直线x y 2 0与圆x 2 y 2 2 x 2y a 0有公共点 则实数a的取值范围为 A 0 B 0 C 0 2 D 2 北京市西城区2 0 1 9 2 0 2 0学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2 页 共5页 6 设三个向量a b c互不共线 则 a b c 0 是 以 a b c 为边长的三角 形存在 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品 其制作始于明朝正德年间 紫砂壶的壶型众 多 经典的有西施壶 掇球壶 石瓢壶 潘壶等 其中 石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的 下图给出了一个石瓢壶的 相关数据 单位 c m 那么该壶的容量约为 A 1 0 0c m 3 B 2 0 0c m 3 C 3 0 0c m 3 D 4 0 0c m 3 8 已知函数f x x 1 k 若存在区间 a b 使得函数f x 在区间 a b 上的 值域为 a 1 b 1 则实数k的取值范围为 A 1 B 1 0 C 1 4 D 1 4 0 北京市西城区2 0 1 9 2 0 2 0学年度第一学期期末试卷 高三数学 第3 页 共5页 第 卷 非选择题 共1 1 0分 二 填空题 本大题共6小题 每小题5分 共3 0分 9 在 1 x 5 的展开式中 x2的系数为 1 0 已知向量a 4 6 b 2 x 满足a b 其中x R 那么 b 1 1 在公差为d d 0 的等差数列 an 中 a1 1 且a2 a4 a1 2成等比数列 则d 1 2 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的四个侧面中 直角三角形有 个 1 3 对于双曲线 给出下列三个条件 离心率为2 一条渐近线的倾斜角为3 0 实轴长为8 且焦点在x轴上 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 1 4 某商贸公司售卖某种水果 经市场调研可知 在未来2 0天内 这种水果每箱的销售利 润r 单位 元 与时间t 1 t 2 0 t N 单位 天 之间的函数关系式为r 1 4 t 1 0 且日销售量y 单位 箱 与时间t之间的函数关系式为y 1 2 0 2t 第4天的销售利润为 元 在未来的这2 0天中 公司决定每销售1箱该水果就捐赠m m N 元给 精准扶 贫 对象 为保证销售积极性 要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大 则m 的最小值是 北京市西城区2 0 1 9 2 0 2 0学年度第一学期期末试卷 高三数学 第4 页 共5页 三 解答题 本大题共6小题 共8 0分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 1 5 本小题满分1 3分 已知函数f x 2 c o sx s i n x 6 求函数f x 的最小正周期 求函数f x 在区间 2 0 上的最小值和最大值 1 6 本小题满分1 3分 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行 更带动了我国经济的巨大发展 据统 计 在2 0 1 8年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为5 0万人次 为了 解乘客出行的满意度 现从中随机抽取1 0 0人次作为样本 得到下表 单位 人次 满意度 老年人中年人青年人 乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机 1 0分 满意 1 212 022 01 5分 一般 236249 0分 不满意 106344 在样本中任取1个 求这个出行人恰好不是青年人的概率 在2 0 1 8年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中 随机选取2人次 记其中老年人 出行的人次为X 以频率作为概率 求X的分布列和数学期望 如果甲将要从A市出发到B市 那么根据表格中的数据 你建议甲是乘坐高铁还是 飞机 并说明理由 1 7 本小题满分1 4分 如图 在三棱柱A B C A1B1C1中 B B1 平面A B C A B C为正三角形 侧面 A B B1A1是边长为2的正方形 D为B C的中点 求证 A1B 平面A C1D 求二面角C A C1 D的余弦值 试判断直线A1B1与平面A C1D的位置关系 并加以证明 北京市西城区2 0 1 9 2 0 2 0学年度第一学期期末试卷 高三数学 第5 页 共5页 1 8 本小题满分1 3分 已知椭圆W x 2 4 y 2 1的右焦点为F 过点F 且斜率为k k 0 的直线l与椭圆W 交于A B两点 线段A B的中点为M O为坐标原点 证明 点M在y轴的右侧 设线段A B的垂直平分线与x轴 y轴分别相交于点C D 若 O D C与 CMF的 面积相等 求直线l的斜率k 1 9 本小题满分1 4分 已知函数f x e x a x 1 2 x 2 其中a 1 当a 0时 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 当a 1时 求函数f x 的单调区间 若f x 1 2 x 2 x b对于x R恒成立 求b a的最大值 2 0 本小题满分1 3分 设整数集合A a1 a2 a1 0 0 其中1 a1 a2 所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市 13 分 3 17 本小题满分 14 分 解 由题意 三棱柱 111 ABCABC 为正三棱柱 连接 1 AC 设 11 ACACE 则E是 1 AC的中点 连接DE 由D E分别为BC和 1 AC的中点 得 1 DEAB 2 分 又因为DE 平面 1 AC D 1 AB 平面 1 AC D 所以 1 AB平面 1 AC D 4 分 取 11 BC的中点F 连接DF 因为 ABC为正三角形 且D为BC中点 所以ADBC 由D F分别为BC和 11 BC的中点 得 1 DFBB 又因为 1 BB 平面ABC 所以DF 平面ABC 所以DFAD DFBC 分别以DC DF DA为轴 y轴 z轴 如图建立空间直角坐标系 5 分 则 0 0 3 A 1 1 2 0 C 1 0 0 C 0 0 0 D 1 0 0 B 所以 1 1 2 0 DC 0 0 3 DA 1 0 3 CA 1 0 2 0 CC 6 分 设平面 1 AC D的法向量 1111 x y z n 由 1 0DA n 11 0DC n 得 1 11 30 20 z xy 令 1 1y 得 1 2 1 0 n 8 分 设平面 1 AC C的法向量 2222 xy z n B1 C D B A A1 C1 z y x F B1 C D B A A1 C1 E 4 由 2 0CA n 12 0CC n 得 22 2 30 20 xz y 令 2 1z 得 2 3 0 1 n 9 分 设二面角 1 CACD 的平面角为q 则 12 12 15 cos 5 q nn nn 由图可得二面角 1 CACD 为锐二面角 所以二面角 1 CACD 的余弦值为 15 5 10 分 结论 直线 1 1 AB与平面 1 AC D相交 11 分 证明 因为 1 0 3 AB 1 1 ABAB 且 1 1 ABAB 所以 11 1 0 3 A B 12 分 又因为平面 1 AC D的法向量 1 2 1 0 n 且 111 20A B n 所以 11 A B与 1 n不垂直 所以 1 1 AB 平面 1 AC D 且 1 1 AB与平面 1 AC D不平行 故直线 1 1 AB与平面 1 AC D相交 14 分 18 本小题满分 13 分 解 由题意 得 3 0 F 直线 3 lyk x 0k 2 分 设 11 A x y 22 B xy 联立 2 2 3 1 4 yk x x y 消去y 得 2222 41 8 3 124 0kxk xk 3 分 显然0D 2 12 2 8 3 41 k xx k 4 分 则点M的横坐标 2 12 2 4 3 241 M xxk x k 5 分 5 因为 2 2 4 3 0 41 M k x k 所以点M在y轴的右侧 6 分 由 得点M的纵坐标 2 3 3 41 MM k yk x k 7 分 即 2 22 4 33 4141 kk M kk 所以线段AB的垂直平分线方程为 2 22 314 3 4141 kk yx kkk 8 分 令0 x 得 2 3 3 0 41 k D k 令0y 得 2 2 3 3 0 41 k C k 9 分 所以 ODC的面积 22 2222 13 33 327 241412 41 ODC kkkk S kkk D 10 分 CMF的面积 22 2222 13 333 1 3 241412 41 CMF kkkk S kkk D 11 分 因为 ODC与 CMF的面积相等 所以 22 2222 27 3 1 2 41 2 41 kkkk kk 解得 2 4 k 所以当 ODC与 CMF的面积相等时 直线l的斜率 2 4 k 13 分 19 本小题满分 14 分 解 由 2 1 e 2 x f xx 得 exfxx 2 分 所以 0 1f 0 1 f 所以曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为10 xy 4 分 由 2 1 e 2 x f xxx 得 e1 x fxx 6 则 0 0 f 5 分 当0 x 时 由e10 0 x x 得 e10 x fxx 所以函数 f x在 0 上单调递增 7 分 当0 x 时 由e10 0 x x 得 e10 x fxx 10 分 随着x变化 g x 与 g x的变化情况如下表所示 x ln 1 a ln 1 a ln 1 a g x 0 g x 极小值 所以 g x在 ln 1 a 上单调递减 在 ln 1 a 上单调递增 所以函数 g x的最小值为 ln 1 1 1 ln 1 gaaaab 由题意 得 ln 1 0ga 即1 1 ln 1 baaa 12 分 设 1ln 0 h xxx x 则 ln1h xx 因为当 1 0 e x 当 1 e x 时 ln1 0 x 这与 100 a为集合A中的最大元素矛盾 所以任意 101 102 200 x xA 8 分 设集合 201 202 205 A中有 15 mm 个元素 100 m ab 由题意 得 12100 200 m aaa 10011002100 200 mm aaa 则1000bm 因为100100 100 55 100bmm 由题设条件 得 100100mbm aaA 因为 100100 100 100200 mbm aa 所以由 可得 100100 100 mbm aa 这与 100 m a 为A中不超过100的最大元素矛盾 所以 100 100 m am 又因为 12100 1 m aaa